Συνιστώμενη πινακίδα μελέτης

Ένα φύλλο που διαβάζεις πριν την εξέταση και αφήνεις στο σπίτι: το επίσημο τυπολόγιο + όλα τα formulas που πρέπει να θυμάσαι (AM, FM, θόρυβος). Δομημένο για στιγμιαία αναζήτηση — όχι για να σκαλίζεις σελίδες σημειώσεων το πρωί της εξέτασης.

Ενημέρωση 2026: από τις τελευταίες συζητήσεις με συμφοιτητές, στην εξέταση φέτος επιτρέπεται μόνο το επίσημο τυπολόγιο του /formulas. Αυτή η πινακίδα είναι φύλλο μελέτης πριν την εξέταση — όχι κάτι που σηκώνεις μαζί σου στο γραπτό. Διάβασέ τη, εμπέδωσε, άφησέ τη στο σπίτι.

Σε μελλοντικές περιόδους ο καθηγητής μπορεί να γίνει πιο ευέλικτος (παλιά υπήρχαν συζητήσεις για bring-your-own) — επιβεβαίωσε πριν την εξέταση. Στο μεταξύ: τα formulas εκτός τυπολογίου είναι «πρέπει να θυμάσαι», και προτεραιότητα μνήμης ανάλογα με τη συχνότητα στις παλιές εξετάσεις.

Σελίδα 1 — Πρέπει να θυμάσαι

1 / 2 · Συστήματα Επικοινωνιών K21

AM · FM · θόρυβος — δεν είναι στο επίσημο τυπολόγιο, οπότε ζουν εδώ.

Πρώτο πράγμα που σκέφτομαι

AM signal — ψάχνεις $P, η, μ$ AM Conventional · $η \leq 1/3$ για tone, $μ = 1$
Coherent demod με phase error $ϕ$ output × $cos ϕ /2$ — μηδέν στα ±90°
Φάσμα modulated σήματος — multiplication by cosineModulation theorem · $\frac{1}{2} [X (f \mp f_{c})]$
FM, ψάχνεις bandwidthCarson · $2 (β + 1) W$
FM single-tone, ψάχνεις πλάτη πλευρικώνBessel · πίνακας $J_{n} (β)$
Θόρυβος μέσα από LTI $S_{Y} (f) = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f)$
WSS process, ψάχνεις PSD ή ισχύWiener-Khinchin · $S = F {R}$

Conventional AM

Όταν δεις · «Συμβατικό AM», «πλάτος», «μ», «envelope detector», «efficiency η», «P_AM», «overmodulation».

AM σήμα
$x_{A M} (t) = [A_{c} + m (t)] cos (2 π f_{c} t)$
Με $μ \leq 1$ το envelope = $A_{c} [1 + μ m_{n}]$ .
Modulation index μ
$μ = \frac{∣ m ∣ _{m a x}}{A _{c}}, μ \leq 1 για να μην υπ \overset{α}{ˊ} ρχει overmodulation$
AM φάσμα
$X_{A M} (f) = \frac{A _{c}}{2} [δ (f - f_{c}) + δ (f + f_{c})] + \frac{1}{2} [M (f - f_{c}) + M (f + f_{c})]$
AM ισχύς
$P_{A M} = \frac{A _{c}^{2}}{2} + \frac{P _{m}}{2}, P_{m} = \overline{m^{2}}$
Πρώτο carrier ( $A_{c}^{2} /2$ ), μετά sidebands ( $P_{m} /2$ ).
AM efficiency η
$η = \frac{P _{m}}{A _{c}^{2} + P _{m}} = single-tone \frac{μ ^{2}}{2 + μ ^{2}} \leq \frac{1}{3}$
Single tone, $μ = 1$ ⇒ $η_{m a x} = 1/3$ .
Envelope detector RC range
$\frac{1}{f _{c}} ≪ R C ≪ \frac{1}{W}$
Πολύ μικρό RC ⇒ ripple· πολύ μεγάλο ⇒ diagonal clipping.

DSB-SC · SSB · VSB

Όταν δεις · «DSB», «suppressed carrier», «SSB», «μονόπλευρη», «VSB», «Hilbert».

DSB-SC σήμα
$x_{D S B - S C} (t) = A_{c} m (t) cos (2 π f_{c} t)$
DSB-SC ισχύς
$P_{D S B - S C} = \frac{A _{c}^{2} P _{m}}{2}, η = 100%$
Όλη η ισχύς στα sidebands· $η = 100%$ · χρειάζεται sync demod.
SSB σήμα
$x_{S S B} (t) = A_{c} m (t) cos (2 π f_{c} t) \mp A_{c} \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)$
USB: $-$ στο πρόσημο· LSB: $+$ .
AM bandwidth
$B_{A M} = B_{D S B - S C} = 2 W, B_{S S B} = W$
AM/DSB-SC: $2 W$ · SSB: $W$ · VSB: ≳W.

Coherent demodulation — recipe

Όταν δεις · «Σύγχρονη ανίχνευση», «coherent», «phase error φ», «LPF», «receiver».

cos·cos → product-to-sum
$cos (x) cos (y) = \frac{1}{2} [cos (x - y) + cos (x + y)]$
Πολλαπλασίασε σήμα με $2 cos (2 π f_{c} t)$ , LPF ⇒ message.
cos² = ½ + ½ cos(2x)
$cos^{2} (x) = \frac{1}{2} [1 + cos (2 x)]$
Από εδώ προκύπτει το factor $\frac{1}{2}$ κάθε coherent demod.
Hilbert (SSB demod)
$F {\overset{m}{^} (t)} = - j sgn (f) M (f)$
Quadrature companion· $\overset{m}{^} = m * 1/ (π t)$ .

Phase error $ϕ$ : $y (t) = \frac{1}{2} cos (ϕ) m (t)$ ⇒ μηδέν στα ±90° (quadrature null).

FM · PM · Bessel

Όταν δεις · «FM», «PM», «modulation index β», «στιγμιαία συχνότητα», «sidebands», «J_n».

FM σήμα (general)
$x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + 2 π K_{f} \int_{- \infty}^{t} m (τ) d τ]$
FM single-tone
$x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + β sin (2 π f_{m} t)]$
$β = Δ f / f_{m} = K_{f} A_{m} / f_{m}$ .
PM σήμα
$x_{P M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + K_{p} m (t)]$
Στιγμιαία συχνότητα
$f_{i} (t) ≜ \frac{1}{2 π} \frac{d θ ( t )}{d t} = f_{c} + \frac{1}{2 π} \frac{d ϕ ( t )}{d t} = f_{c} + K_{f} m (t) (FM)$
Discriminator recovers $f (t)$ .
Modulation index β (FM/PM)
$β_{f} = \frac{Δ f}{W} = \frac{K _{f} max ∣ m ∣}{W}, β_{p} = K_{p} max ∣ m ∣$
FM Bessel form
$x_{F M} (t) = A_{c} n = - \infty \sum \infty J_{n} (β) cos [2 π (f_{c} + n f_{m}) t]$
Πλευρική στο $f_{c} + n f_{m}$ με πλάτος $A_{c} J_{n} (β)$ .
Bessel symmetry + power
$J_{- n} (β) = (- 1)^{n} J_{n} (β), n = - \infty \sum \infty J_{n}^{2} (β) = 1$
Negative orders εναλλάσσουν πρόσημο· συνολική ενέργεια διατηρείται.
FM ισχύς
$P_{F M} = \frac{A _{c}^{2}}{2} (ανεξ \overset{α}{ˊ} ρτητο του β)$
Constant envelope ⇒ $P_{F M} = A_{c}^{2} /2$ , ανεξάρτητο του $β$ .

Carson · FM in noise

Όταν δεις · «Bandwidth FM», «Carson», «NBFM vs WBFM», «SNR FM», «FM gain», «threshold».

Carson's rule
$B ≅ 2 W (β + 1) = 2 (Δ f + W)$
Το slide 26 γράφει την ίδια έκφραση τόσο για PM όσο και για FM, με $β = β_{p}$ ή $β_{f}$ ανάλογα. Δίνει το «ενεργό εύρος ζώνης» — τη ζώνη που περιέχει σχεδόν όλη την ισχύ του σήματος (~98%). Slide 46 δίνει τις ρητές μορφές: $B_{P M} = 2 W (K_{p} α + 1)$ , $B_{F M} = 2 W (K_{f} α / W + 1)$ .
NBFM ( $β ≪ 1$ ) ≈ $2 W$ · WBFM ≈ $2Δ f$ .
FM output SNR
$SNR_{o u t, F M} = 3 β^{2} SNR_{r e f} = \frac{3 β ^{2} A _{c}^{2}}{2 N _{0} W}$
Πάνω από threshold (~10 dB input SNR).
FM gain over AM (μ=1, ίδιο P_T)
$G_{F M / A M} = 9 β^{2} (μ = 1, \overset{ι}{ˊ} διο P_{T})$
Broadcast FM ( $β = 5$ ) ⇒ ~23 dB πάνω από AM( $μ = 1$ ).

Random processes

Όταν δεις · «Στατιστικά», «WSS», «autocorrelation», «PSD», «Wiener-Khinchin», «random phase».

Mean function
$m_{X} (t) ≜ E [X (t)] = \int_{- \infty}^{\infty} a f_{X (t)} (a) d a$
Autocorrelation
$R_{X} (t_{1}, t_{2}) = E [X (t_{1}) X (t_{2})]$
WSS conditions
$m_{X} (t) = m_{X} = const, R_{X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X} (τ)$
Wiener-Khinchin (PSD)
$S_{X} (f) = F {R_{X} (τ)}, P_{X} = R_{X} (0) = \int S_{X} (f) df$
Συνολική ισχύς $= R (0) = \int S (f) df$ .
Random-phase cosine
$X = A cos (2 π f_{0} t + Θ), Θ \sim U [0, 2 π] \Rightarrow m_{X} = 0, R_{X} (τ) = \frac{A ^{2}}{2} cos (2 π f_{0} τ)$
Το textbook WSS παράδειγμα· εμφανίζεται σε κάθε «random phase» πρόβλημα.

Θόρυβος

Όταν δεις · «Θερμικός», «λευκός», «μέσω φίλτρου», «SNR», «noise figure», «equivalent T_e».

Thermal noise (Johnson-Nyquist)
$σ^{2} = 4 k T R W \Rightarrow P_{N} = k T W = k T B, S_{N} (f) = k T /2, k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J/K, T_{0} = 290 K, N_{0} = k T_{0} \approx - 174 dBm/Hz$
Στα $T_{0} = 290 K$ : −174 dBm/Hz.
White noise PSD
$S_{N} (f) = \frac{N _{0}}{2}, R_{N} (τ) = \frac{N _{0}}{2} δ (τ), N_{0} = k T$
Two-sided $N_{0} /2$ · one-sided $N_{0}$ .
PSD μέσα από LTI
$S_{Y} (f) = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f), P_{Y} = \int ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f) df$
Bandpass white noise R(τ)
$R_{Y} (τ) = N_{0} W sinc (W τ) cos (2 π f_{c} τ)$
Bandpass white noise μετά από φίλτρο εύρους $W$ γύρω από $f_{c}$ .
SNR (linear and dB)
$SNR = \frac{P _{s}}{P _{n}}, SNR_{d B} = 10 lo g_{10} (SNR)$
Noise figure / equivalent T_e
$F = \frac{SNR _{in}}{SNR _{o u t}}, T_{e} = (F - 1) T_{0}$
$F = 2$ ⇒ 3 dB υποβάθμιση.

Σελίδα 2 — Στο επίσημο τυπολόγιο

2 / 2 · Συστήματα Επικοινωνιών K21

Καθρέφτης του επίσημου PDF — σου δίνεται στην εξέταση, αλλά καλό να τα έχεις στο ίδιο χαρτί.

Fourier pairs

Όταν δεις · «Βρες τον FT του», «δείξε το pair», «δυϊκότητα», «sinc».

Rect ↔ sinc
$Π (t / T) \leftrightarrow T sinc (f T)$
Triangle ↔ sinc²
$Λ (t / T) \leftrightarrow T sinc^{2} (f T)$
Cosine ↔ impulses
$cos (2 π f_{0} t) \leftrightarrow \frac{1}{2} [δ (f - f_{0}) + δ (f + f_{0})]$
Sine ↔ impulses (imaginary)
$sin (2 π f_{0} t) \leftrightarrow \frac{1}{2 j} [δ (f - f_{0}) - δ (f + f_{0})]$
sgn(t) ↔ 1/(jπf)
$sgn (t) \leftrightarrow \frac{1}{j π f} ⟺ \frac{1}{π t} \leftrightarrow - j sgn (f)$
Σταθερά ↔ δ(f) (και η δυϊκότητα δ(t) ↔ 1)
$1 \leftrightarrow δ (f), δ (t) \leftrightarrow 1$

Fourier properties

Όταν δεις · «Modulation theorem», «time-shift», «differentiation», «scaling», «convolution».

Δυϊκότητα (symmetry)
$x (t) \leftrightarrow X (f) ⟹ X (t) \leftrightarrow x (- f)$
Scaling
$x (α t) \leftrightarrow \frac{1}{∣ α ∣} X (\frac{f}{α})$
Time shift
$x (t - t_{0}) \leftrightarrow X (f) e^{- j 2 π f t_{0}}$
Modulation theorem
$x (t) cos (2 π f_{c} t) \leftrightarrow \frac{1}{2} [X (f - f_{c}) + X (f + f_{c})]$
Καρδιά κάθε AM/DSB/SSB derivation.
Frequency shift (μιγαδικός φέρων)
$x (t) e^{j 2 π f_{0} t} \leftrightarrow X (f - f_{0})$
Convolution ↔ multiplication
$x (t) * h (t) \leftrightarrow X (f) H (f), x (t) y (t) \leftrightarrow X (f) * Y (f)$
Παράγωγος στο time domain
$\frac{d x ( t )}{d t} \leftrightarrow j 2 π f X (f)$
Ολοκλήρωση στο time domain
$\int_{- \infty}^{t} x (τ) d τ \leftrightarrow \frac{X ( f )}{j 2 π f} + \frac{X ( 0 )}{2} δ (f)$

Hilbert transform

Όταν δεις · «SSB», «μονόπλευρο φάσμα», «analytical signal», «Hilbert».

F{x̂(t)} = −j sgn(f) X(f)
$F {\overset{m}{^} (t)} = - j sgn (f) M (f)$
Time domain: $\overset{x}{^} = x * 1/ (π t)$ . Energy preserved.

Τριγωνομετρικές ταυτότητες

Όταν δεις · «Product-to-sum», «double angle», «sin/cos μέσω εκθετικών».

cos(x ± y)
$cos (x \pm y) = cos (x) cos (y) \mp sin (x) sin (y)$
sin(x ± y)
$sin (x \pm y) = sin (x) cos (y) \pm cos (x) sin (y)$
cos(x) μέσω εκθετικών
$cos (x) = \frac{1}{2} (e^{j x} + e^{- j x})$
sin(x) μέσω εκθετικών
$sin (x) = \frac{1}{2 j} (e^{j x} - e^{- j x})$
cos(x)·cos(y) → product-to-sum
$cos (x) cos (y) = \frac{1}{2} [cos (x - y) + cos (x + y)]$
sin(x)·sin(y) → product-to-sum
$sin (x) sin (y) = \frac{1}{2} [cos (x - y) - cos (x + y)]$
sin(x)·cos(y) → product-to-sum
$sin (x) cos (y) = \frac{1}{2} [sin (x - y) + sin (x + y)]$
cos²(x) (διπλάσιο τόξο)
$cos^{2} (x) = \frac{1}{2} [1 + cos (2 x)]$
sin²(x) (διπλάσιο τόξο)
$sin^{2} (x) = \frac{1}{2} [1 - cos (2 x)]$

Βασικά ολοκληρώματα

Όταν δεις · «Υπολόγισε ολοκλήρωμα», «μέση ισχύς», «Fourier coefficient».

∫ cos(x) dx
$\int cos (x) d x = sin (x) + C$
∫ sin(x) dx
$\int sin (x) d x = - cos (x) + C$
∫ (a + bx)ⁿ dx
$\int (a + b x)^{n} d x = \frac{( a + b x ) ^{n + 1}}{b ( n + 1 )} + C (n \neq = - 1)$
∫ eˣ dx
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
∫ ln(x) dx
$\int ln (x) d x = x ln (x) - x + C$
∫ (1/x) dx
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
∫ (1/cos²(x)) dx
$\int \frac{1}{cos ^{2} ( x )} d x = tan (x) + C$
∫ (1/sin²(x)) dx
$\int \frac{1}{sin ^{2} ( x )} d x = - cot (x) + C$

Πίνακας Bessel

Όταν δεις · «FM single-tone», «πλάτη sidebands», «J_n», «carrier null».

Bessel table Jₙ(β)
$J_{n} (β), n = 0 (carrier), 1, 2, \dots, 16$
Πίνακας τιμών για συνηθισμένα $β$ — δίνει το πλάτος $A_{c} J_{n} (β)$ της $n$ -οστής πλευρικής στο FM single-tone.
Στον επίσημο PDF — πίνακας J_n(β) για n = 0..16.

Carrier μηδενίζεται στα $β \approx 2.405, 5.520, 8.654, 11.79 \dots$ (zeros του $J_{0}$ ).

ΔΕΝ ξεχνάω

•AM efficiency cap — $η \leq 1/3$ για tone με $μ = 1$ . Ποτέ δεν φτάνει 100%.
•FM ισχύς = $A_{c}^{2} /2$ — ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ του $β$ . Το $β$ αναδιανέμει, δεν προσθέτει.
•Modulation theorem δίνει $\frac{1}{2}$ σε ΚΑΘΕ αντίγραφο — μην ξεχάσεις το $\frac{1}{2}$ !
•FM threshold ~10 dB — κάτω από αυτό, $9 β^{2}$ gain πάει χαμένο.
•SSB = μισό bandwidth ΑΛΛΑ απαιτεί Hilbert + synchronous demod.
•Coherent demod πάντα δίνει factor $\frac{1}{2}$ (από $cos^{2}$ ). Πολλαπλασίασε με 2 αν το πρόβλημα θέλει το $m (t)$ καθαρό.
•Bessel: αναδιανέμει ισχύ· carrier μπορεί να μηδενιστεί στα Bessel zeros ( $β \approx 2.405, 5.52, \dots$ ).
•White noise PSD two-sided = $N_{0} /2$ , one-sided = $N_{0}$ . Πρόσεξε ποια σύμβαση χρησιμοποιεί η εκφώνηση.

Tip · Στο Chrome print dialog διάλεξε A4, Background graphics: on, Margins: minimum/none για το πιο πιστό αποτέλεσμα.

Φόρτωση σχολίων…