Γιατί χρειαζόμαστε πιθανότητα στα σήματα

Μέχρι τώρα όλα τα σήματα ήταν ντετερμινιστικά — γνωρίζαμε ακριβώς την τιμή τους κάθε στιγμή. Παράδειγμα: $x(t)=A\cos (2\pi f_{0}t+\varphi )$ — αν ξέρεις A, f₀, φ ξέρεις και την τιμή του σε κάθε t.

Αλλά τα σήματα του πραγματικού κόσμου δεν είναι έτσι. Τρία βασικά πραγματικά παραδείγματα:

1. Ο θόρυβος

Όταν συνδέσεις ένα μικρόφωνο σε ενισχυτή και αφήσεις σιωπή, κάτι ακούγεται — ένα ελαφρύ «σσσσσ». Αυτό είναι θερμικός θόρυβος: η τυχαία κίνηση των ηλεκτρονίων στους αγωγούς δημιουργεί ένα μικρό πλην απρόβλεπτο σήμα.

• Δεν μπορούμε να γράψουμε «ο θόρυβος είναι $n(t)=\dots$» — δεν υπάρχει κλειστή φόρμα.
• Αλλά μπορούμε να ποσοτικοποιήσουμε τις στατιστικές ιδιότητές του: ο μέσος είναι 0, η ισχύς είναι $kTB$ Watts, το φάσμα είναι περίπου επίπεδο.

Όλο το noise floor ενός δέκτη — και άρα όλη η ανάλυση SNR της AM/FM — εξαρτάται από αυτές τις στατιστικές ιδιότητες, όχι από τη συγκεκριμένη μορφή του $n(t)$.

2. Τα μηνύματα που στέλνουμε δεν είναι προβλέψιμα

Πριν να κάνεις ένα τηλεφώνημα, δεν μπορείς να γράψεις τη φωνητική κυματομορφή που θα παράγεις. Είναι κάτι τυχαίο — εξαρτάται από τι θα πεις. Όταν σχεδιάζουμε ένα σύστημα FM ραδιοφώνου, δεν μπορούμε να υποθέσουμε «το $m(t)$ θα είναι $\cos (2\pi \cdot 1000t)$» γιατί δεν θα είναι.

• Άρα το $m(t)$ είναι τυχαίο — αλλά όχι αυθαίρετο. Έχει στατιστικές ιδιότητες (typical bandwidth ~3-15 kHz, average power level, κατανομή πλατών).
• Σχεδιάζουμε τους πομπούς και τους δέκτες ώστε να χειρίζονται οποιαδήποτε μορφή φωνής/μουσικής εντός αυτών των στατιστικών ορίων.

3. Το κανάλι αλλάζει με τον χρόνο

Όταν περπατάς κρατώντας κινητό, το σήμα από το base station κουνιέται — σε στιγμές δυναμώνει, σε στιγμές εξασθενεί (αυτό λέγεται fading). Δεν μπορείς να γράψεις «το gain του καναλιού είναι $h(t)=\dots$» γιατί εξαρτάται από εμπόδια, αντανακλάσεις, σύννεφα.

• Η ανάλυση τέτοιων καναλιών απαιτεί τυχαίες συναρτήσεις του χρόνου — το ίδιο εργαλείο που χρειαζόμαστε για τον θόρυβο.

Τι θα κάνουμε στις επόμενες σελίδες

1. /randomness/random-variables — ένα γρήγορο recap πάνω στις τυχαίες μεταβλητές. Ορισμοί (PDF, CDF, μέσος, διασπορά), βασικές κατανομές (Gaussian, uniform), ιδιότητες (independence).

2. /randomness/random-processes — η ιδέα του random process: ένα σήμα που είναι τυχαίο σε κάθε χρονική στιγμή. Ορίζουμε mean, autocorrelation, autocovariance, cross-correlation. Λύνουμε το κλασικό παράδειγμα: $X(t)=A\cos (2\pi f_{0}t+\Theta )$ με $\Theta \sim U[0,2\pi )$.

3. /randomness/stationarity — πότε ένα random process έχει «σταθερές ιδιότητες» στον χρόνο (Wide-Sense Stationary — WSS). Ergodicity: πότε μπορούμε να μετράμε τις ιδιότητες ενός process από μία καταγραφή αντί για πολλές.

4. /randomness/psd — η Power Spectral Density $S_X(f)$ ενός random process. Σύνδεση με τη ντετερμινιστική Wiener-Khinchin που είδαμε στο FT chapter §10.

Στη συνέχεια μπαίνουμε στην ομάδα Noise όπου εφαρμόζουμε όλη αυτή τη μηχανή για να μελετήσουμε τι κάνει ο θόρυβος μέσα από φίλτρα και αποδιαμορφωτές — πραγματικά καρπίζει εκεί.

Εξάσκηση

Πέντε γρήγορες έννοιες για να μπεις σωστά στην ομάδα — τα μαθηματικά έρχονται στις επόμενες σελίδες.