Μετασχηματισμός Fourier

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι κάθε «λογικό» periodic σήμα γράφεται σαν άθροισμα από αρμονικά συσχετισμένες complex exponentials, και το φάσμα του είναι διακριτό — γραμμές μόνο στις αρμονικές $0,\pm f_0,\pm 2f_0,\dots$. Όμορφο, αλλά τα περισσότερα σήματα στην πράξη δεν είναι ακριβώς periodic. Ένας παλμός, μια μετάδοση δεδομένων, ένα κομμάτι ομιλίας — όλα έχουν αρχή και τέλος.

Ο μετασχηματισμός Fourier (Fourier transform, FT) είναι η γενίκευση που κλείνει αυτή την τρύπα. Είναι η ίδια ιδέα — αναλύουμε ένα σήμα σε complex exponentials — απλά για οποιοδήποτε σήμα, όχι μόνο periodic. Στο τέλος αυτής της σελίδας, η περίφημη $H(f)$ που εμφανίστηκε στα συστήματα θα έχει αποκαλυφθεί σαν ο Fourier transform της κρουστικής απόκρισης $h(t)$ — και ολόκληρη η ανάλυση των LTI θα γίνει απλός πολλαπλασιασμός στη συχνότητα.

1. Από Fourier series σε Fourier transform: το πέρασμα στο όριο

Η σειρά Fourier έδωσε, για κάθε periodic σήμα, ένα διακριτό φάσμα: γραμμές μόνο στις αρμονικές $0,\pm f_0,\pm 2f_0,\dots$. Όμως τα περισσότερα σήματα της πράξης — ένας παλμός, ένα κομμάτι ομιλίας, μια μετάδοση δεδομένων — δεν επαναλαμβάνονται· έχουν αρχή και τέλος.

Κι εδώ σκοντάφτει η διαίσθηση — και αξίζει να το πούμε φωναχτά αντί να το προσπεράσουμε: πώς γίνεται ένα σήμα που δεν επαναλαμβάνεται να «έχει συχνότητες»; Δεν ήταν η συχνότητα «πόσες φορές επαναλαμβάνεται κάτι ανά δευτερόλεπτο»; Αν ο παλμός χτυπήσει μία φορά και τελειώσει, τι νόημα έχει να ρωτάμε «πόσο από τη συχνότητα $f$ έχει μέσα του»;

Η συχνότητα δεν χρειάζεται επανάληψη — χρειάζεται συνταγή

Το ξεκλείδωμα είναι μια αλλαγή οπτικής. Μη σκέφτεσαι τη συχνότητα σαν ιδιότητα ολόκληρου του σήματος. Σκέψου τη σαν ιδιότητα των συστατικών του.

Ένα καθαρό cosine, $\cos (2\pi ft)$, όντως επαναλαμβάνεται για πάντα — τρέχει αναλλοίωτο από το $-\infty$ ως το $+\infty$. Είναι ένα «αιώνιο» συστατικό. Το εκπληκτικό είναι ότι πολλά τέτοια αιώνια συστατικά, ανακατεμένα με τα σωστά βάρη, μπορούν να συμφωνήσουν (constructive interference) σε ένα μόνο σημείο του χρόνου και να αλληλοαναιρεθούν (destructive interference) παντού αλλού — χτίζοντας έναν μοναχικό παλμό από κύματα που το καθένα δεν σταματά ποτέ.

Να, λοιπόν, τι σημαίνει «ο παλμός έχει μέσα του τη συχνότητα $f$»: ότι το αιώνιο cosine της $f$ είναι ένα από τα συστατικά του μείγματος, με κάποιο βάρος. Οι συχνότητες ζουν στα συστατικά, όχι στο τελικό σχήμα — το cosine επαναλαμβάνεται, η «τούρτα» όχι. Γι' αυτό κάθε σήμα, periodic ή όχι, έχει «περιεχόμενο συχνοτήτων»: είναι πάντα ένα μείγμα από καθαρές συχνότητες. Η μόνη διαφορά είναι ότι ένα μη-periodic σήμα δεν φτιάχνεται από λίγες ξεχωριστές αρμονικές, αλλά από ένα συνεχές φάσμα συχνοτήτων.

Αυτή τη «συνταγή» —πόσο από κάθε συχνότητα— τη λέμε $X(f)$: τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος. Για να βρούμε την ακριβή μορφή της, παίρνουμε τη μηχανή που ήδη ξέρουμε (τη σειρά Fourier) και τη σπρώχνουμε στο όριο.

(Δουλεύουμε με ordinary frequency $f_0=1/T_0$ σε Hz. Αλλού θα δεις angular frequency ${\omega }_0=2\pi f_0$ σε rad/s, με αρμονικές $e^{jk{\omega }_{0}t}$ — ίδιο μέγεθος, άλλες μονάδες.)

Το όριο: φτιάχνουμε το μη-periodic από το periodic

Ένα μη-periodic σήμα είναι το οριακό periodic με άπειρη περίοδο: μία μόνο «κόπια» του σχήματος, με τις γειτονικές της σπρωγμένες στο άπειρο. Ας μεγαλώσουμε λοιπόν την περίοδο $T_0$ ενός periodic σήματος και ας δούμε τι παθαίνει το διακριτό του φάσμα. Συμβαίνουν δύο πράγματα ταυτόχρονα:

• Οι γραμμές πυκνώνουν. Βρίσκονται στις αρμονικές $f_k=k{f}_0=k/T_0$, με απόσταση $\Delta f=1/T_0$ μεταξύ τους. Καθώς $T_0\to \infty$, το $\Delta f\to 0$ και οι γραμμές έρχονται κολλητά — ώσπου να γίνουν ένα συνεχές.
• Τα ύψη των γραμμών καταρρέουν προς το μηδέν. Κι αυτό, αν δεν το εξηγήσουμε, μοιάζει να λέει ότι «το σήμα εξαφανίζεται» — που δεν ισχύει.

Σύρε το $T_0$ και δες τα δύο να συμβαίνουν ταυτόχρονα — ενώ ο παλμός στον χρόνο μένει ολόιδιος:

Εδώ κρύβεται όλη η ουσία, οπότε ας δούμε γιατί χαμηλώνουν τα ύψη.

Γιατί σβήνουν τα $a_k$ — και ποιο μέγεθος επιβιώνει. Θυμήσου τι είναι ο συντελεστής:

Το $\frac{1}{T_0}$ μπροστά τον κάνει μέσο όρο πάνω σε μία περίοδο. Τώρα φαντάσου έναν μοναχικό παλμό μέσα σε μια ολοένα μεγαλύτερη περίοδο, γεμάτη κενό: ο μέσος όρος του αραιώνει. Ίδιος παλμός, μοιρασμένος σε όλο και περισσότερο κενό, δίνει όλο και μικρότερο «κατά μέσο όρο» — γι' αυτό $a_k\to 0$. Όχι επειδή χάνεται σήμα, αλλά επειδή το $a_k$ είναι μέσος όρος, και ο μέσος όρος ενός σπάνιου παλμού σβήνει.

Το ίδιο ακριβώς βλέπεις σε ένα ιστόγραμμα: αν στενέψεις τα bins, το πλήθος μέσα σε κάθε bin πέφτει προς το μηδέν — όχι επειδή χάθηκαν μετρήσεις, αλλά επειδή τις μοιράζεις σε όλο και πιο λεπτά κουτάκια. Αυτό που δεν καταρρέει είναι το πλήθος ανά πλάτος bin — η πυκνότητα.

Η ίδια ιστορία ξαναπαίζει αμέσως παρακάτω με τους συντελεστές στη θέση των bins.

Κάνε λοιπόν την ίδια κίνηση εδώ. Το $a_k$ είναι «πόσο σήμα σε μία γραμμή», και οι γραμμές απέχουν $\Delta f=1/T_0$. Το μέγεθος με νόημα στο όριο δεν είναι το «ανά γραμμή» αλλά το «ανά μονάδα συχνότητας»:

Πρόσεξε ότι το $T_0$ διέγραψε ακριβώς το $\frac{1}{T_0}$ του μέσου όρου — έμεινε το σκέτο ολοκλήρωμα. Δεν «διώξαμε μια ενόχληση»: μετατρέψαμε ένα ποσό-ανά-γραμμή σε πυκνότητα (ποσό ανά μονάδα συχνότητας) — το μόνο μέγεθος που έχει πεπερασμένο όριο όταν οι γραμμές συγχωνεύονται. Είναι η ίδια κίνηση που κάνεις περνώντας από ιστόγραμμα σε συνεχή κατανομή.

Και τώρα το όριο υπάρχει. Καθώς $T_0\to \infty$, το παράθυρο $[-T_0/2,T_0/2]$ ανοίγει σε ολόκληρο τον χρόνο και οι διακριτές $k{f}_0$ πυκνώνουν σε μια συνεχή $f$:

Αυτός είναι ο εμπρός μετασχηματισμός Fourier — από τον χρόνο στη συχνότητα. Κράτα τη σχέση-γέφυρα, θα τη χρειαστούμε αμέσως: το $X(f)$ είναι το όριο του $T_0{a}_k$ — της πυκνότητας — όχι του σκέτου $a_k$. Δες το ακριβώς αυτό: τα σκέτα $a_k$ βυθίζονται, ενώ η πυκνότητα $T_0{a}_k$ κλειδώνει πάνω σε μια σταθερή καμπύλη $X(f)$:

Πίσω στον χρόνο: ολοκληρώνεις την πυκνότητα. Η σύνθεση της σειράς ξαναχτίζει το σήμα από τους συντελεστές:

Αντικατέστησε $a_k=X(f_k)\Delta f$ (πυκνότητα × πλάτος bin — από τη σχέση πιο πάνω, με $f_k=k{f}_0$ και $\Delta f=1/T_0$):

Κάθε όρος είναι «πυκνότητα × λωρίδα πλάτους $\Delta f$» — δηλαδή πόσο σήμα σε μια λεπτή ζώνη συχνοτήτων. Ένα άθροισμα από τέτοιες λωρίδες είναι ένα άθροισμα Riemann, που γίνεται ολοκλήρωμα όταν οι λωρίδες λεπταίνουν. Δες το να συμβαίνει:

Καθώς λοιπόν $T_0\to \infty$ (άρα $\Delta f\to 0$):

Αυτός είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός. Το $df$ στο τέλος δεν είναι διακοσμητικό: είναι το $\Delta f=1/T_0$ που μηδενίστηκε στο όριο — το ίδιο «$1/T_0$» που είχε σβήσει τους μέσους όρους, ξαναγυρισμένο εδώ ως το «πλάτος» μέσα στο ολοκλήρωμα. Για να πάρεις σήμα πίσω, ολοκληρώνεις την πυκνότητα σε όλες τις συχνότητες.

Άρα τι είναι, τελικά, το $X(f)$;

Το $X(f)$ δεν είναι «πόσο σήμα υπάρχει ακριβώς στη συχνότητα $f$» — αυτό είναι μηδέν, γιατί μια μοναδική συχνότητα είναι μια απείρως λεπτή φέτα μέσα στο συνεχές. Το $X(f)$ είναι μια πυκνότητα: πόσο σήμα υπάρχει ανά μονάδα συχνότητας γύρω από την $f$. Πραγματικό «ποσό» παίρνεις μόνο αν ολοκληρώσεις σε μια ζώνη συχνοτήτων — και ακριβώς γι' αυτό η ανακατασκευή είναι ολοκλήρωμα, όχι άθροισμα: κάθε ζώνη πλάτους $df$ συνεισφέρει $X(f)df$.

Κι έτσι λύνεται ο γρίφος «πώς έχει συχνότητες κάτι που δεν επαναλαμβάνεται»: δεν έχει διακριτές συχνότητες — έχει μια συνεχή πυκνότητα συχνοτήτων, και το σήμα είναι το ολοκλήρωμα (το μείγμα) πάνω σε όλες τους, η καθεμία με βάρος $X(f)df$. Η διαίσθηση από τις σειρές δεν αλλάζει καθόλου: το $X(f)$ απαντά στο ίδιο ερώτημα που απαντούσαν τα $a_k$ — «πόσο από αυτή τη συχνότητα;» — μόνο που τώρα η απάντηση είναι μια πυκνότητα σε ένα συνεχές, αντί για διακριτά ποσά σε ξεχωριστές γραμμές.

Τι βγάλαμε. Από τις δύο εξισώσεις της σειράς Fourier, αφήνοντας $T_0\to \infty$, πήραμε τις δύο εξισώσεις του Fourier transform — μία για να πάμε στη συχνότητα και μία για να γυρίσουμε πίσω — μαζί με τη σχέση-γέφυρα $T_0{a}_k\to X(f)$. Τις δύο εξισώσεις τις γράφουμε «καθαρές», με όλη τη διαίσθησή τους, στη §2 ακριβώς από κάτω· τη σχέση-γέφυρα την αξιοποιούμε στη §2.1.

2. Οι δύο εξισώσεις του Fourier transform

Όπως η σειρά Fourier είχε δύο εξισώσεις (ανάλυση και σύνθεση), έτσι και ο FT. Ίδιο pattern — μία για να πάμε από χρόνο σε συχνότητα, μία για να γυρίσουμε πίσω.

Forward (ανάλυση):

Παίρνει ένα σήμα στον χρόνο και επιστρέφει το φάσμα του στη συχνότητα: μια συνεχή συνάρτηση $X(f)$ που λέει, σε κάθε συχνότητα $f$, πόσο πολύ από αυτή τη συχνότητα υπάρχει στο σήμα. Σε πλήρη αναλογία με τον τύπο των $a_k$ — απλώς αντί για ολοκλήρωση σε μία περίοδο, έχουμε ολοκλήρωση σε ολόκληρη την ευθεία.

Inverse (σύνθεση):

Ξαναχτίζει το σήμα από το φάσμα: ένα συνεχές «άθροισμα» από complex exponentials σε όλες τις συχνότητες, η καθεμία ζυγισμένη με $X(f)df$.

Σημειογραφία. Γράφουμε $X(f)=\mathcal{F}\{x(t)\}$ για τον forward και $x(t)={\mathcal{F}}^{-1}\{X(f)\}$ για τον inverse. Το ζεύγος γράφεται και αμφίδρομα:

Αυτή η γραφή τονίζει ότι το time-domain και το frequency-domain είναι δύο ισοδύναμες όψεις του ίδιου σήματος — δεν χάνεται καμία πληροφορία πηγαίνοντας από τη μια στην άλλη.

2.1. Οι FS συντελεστές ως samples του FT

Πολλοί απλοί παλμοί έχουν εύκολο, γνωστό μετασχηματισμό Fourier — π.χ. ένα rect δίνει sinc (θα το υπολογίσουμε στη §4). Κι αυτό μας χαρίζει κάτι πολύ χρήσιμο: μόλις ξέρεις τον FT ενός παλμού, ξέρεις και τους συντελεστές $a_k$ της periodic επανάληψής του — χωρίς να ξαναλύσεις ολοκλήρωμα.

Δες γιατί. Πάρε ένα periodic σήμα που είναι ένας παλμός $x_0$ επαναλαμβανόμενος κάθε $T_0$. Ο τύπος των $a_k$ ολοκληρώνει σε μία περίοδο, όπου ζει ακριβώς ένας παλμός — άρα το ολοκλήρωμα είναι ακριβώς ο FT εκείνου του παλμού, $X_0$, στη συχνότητα $k/T_0$. Μένει μόνο ο παράγοντας $\frac{1}{T_0}$ που έχει πάντα μπροστά ο τύπος των συντελεστών. Άρα: παίρνεις τον $X_0$, τον δειγματίζεις στις αρμονικές $k/T_0$, και τον διαιρείς με την περίοδο $T_0$ (η διαφάνεια 33 το γράφει ρητά, με σύμβολο $x_k$):

Κι αυτό το διά $T_0$ δεν είναι λεπτομέρεια: είναι το ίδιο το $\times \Delta f$ του §1, αφού $\Delta f=1/T_0$. Δηλαδή $a_k=X_0(k/T_0)\cdot \Delta f$ — πυκνότητα × πλάτος bin, ακριβώς η σχέση του §1, με τον $X_0$ τώρα στον ρόλο της πυκνότητας. Τη συνεχή καμπύλη $X_0$ τη λέμε περιβάλλουσα (envelope), και τα $a_k$ είναι κουκκίδες πάνω της (στην κοντύτερη $X_0/T_0$). Το ωραίο: σχεδιάζεις μία καμπύλη και τη χρησιμοποιείς για οποιαδήποτε περίοδο — μεγαλύτερο $T_0$ δίνει πιο πυκνά δείγματα.

Πειραματίσου με το σχήμα του παλμού ($\tau$) και την περίοδο ($T_0$) — δες την περιβάλλουσα να δειγματίζεται:

(Έλεγχος στο $f=0$: $X_0(0)$ είναι το εμβαδόν του παλμού, οπότε $a_0=X_0(0)/T_0$ είναι η DC στάθμη του σήματος.)

Αυτό το εργαλείο δεν είναι ακαδημαϊκό:

• Το συναντάς με νούμερα αμέσως παρακάτω: το 50%-duty square wave (§4a) βγάζει $a_k=\frac{1}{2}\mathrm{sinc}(k/2)$ — ακριβώς η περιβάλλουσα $X_0(k/T_0)/T_0$ ενός rect παλμού. (Είναι η ίδια rect-pulse-train που είδες στις Σειρές Fourier, §10.)
• Στο σαμπλάρισμα: όταν δειγματίζεις στον χρόνο, το αντίστοιχο στη συχνότητα είναι η περιοδικοποίηση του φάσματος (sampling theorem).
• Σε FDM, όπου το ίδιο pulse επαναλαμβάνεται με διαφορετικές περιόδους.

Πάμε ένα βήμα πιο βαθιά — προαιρετικά: δύο αντίγραφα δίνουν τους ίδιους συντελεστές.

Πιο πάνω πήραμε έναν παλμό με FT $X_0$, τον κάναμε periodic με περίοδο $T_0$, και βρήκαμε $a_k=X_0(k/T_0)/T_0$ — δείγματα της περιβάλλουσας ανά $1/T_0$. Φυσική απορία: κι αν, αντί για έναν, πάρω δύο αντίγραφα του παλμού σαν μία μονάδα (με FT κάποιο $X_2$) και την επαναλάβω;

Τώρα η μονάδα έχει διάρκεια $2T_0$, άρα η περίοδος είναι $2T_0$ και $a_k=X_2(f)/(2T_0)$. Είναι όμως το ίδιο ακριβώς σήμα (ίδιο ατέρμονο rect-train) — οπότε οι συντελεστές οφείλουν να βγουν ίδιοι. Και βγαίνουν: στις αρμονικές $f=m/T_0$,

Στο διαδραστικό, κάθε περίπτωση φαίνεται όπως στη διαφάνεια 33: το κομμάτι, από κάτω το periodic, και δεξιά η περιβάλλουσά του δειγματισμένη ÷ περίοδο. Δες ότι οι δύο περιβάλλουσες είναι διαφορετικές — η $X_2$ είναι διπλάσια και έχει κυματισμό — και όμως οι $a_k$ βγαίνουν στο ίδιο ύψος (κοινός κάθετος άξονας): το $\times 2$ της περιβάλλουσας αναιρείται από το $÷2$ της περιόδου. Στη δεύτερη περίπτωση το periodic σήμα είναι ομαδοποιημένο σε ζευγάρια, για να φαίνεται ότι επαναλαμβάνουμε τη μονάδα των δύο αντιγράφων. (Τα φάσματα δείχνουν το μέτρο.)

Γιατί ίσοι; Στις αρμονικές τα δύο αντίγραφα προστίθενται σε φάση, άρα $X_2=2X_0$ εκεί· διαιρείς όμως με διπλάσια περίοδο, $2T_0$, οπότε το $\times 2$ και το $÷2$ αλληλοαναιρούνται και μένει $X_0/T_0$. Ανάμεσα στις αρμονικές τα αντίγραφα αλληλοαναιρούνται ($X_2=0$): εκείνα τα «έξτρα» δείγματα είναι μηδέν.

Για τους παρατηρητικούς — τι σχέση έχουν τα δύο πλέγματα δειγμάτων. Με δύο αντίγραφα (περίοδος $2T_0$) παίρνεις διπλάσια δείγματα, ανά $1/2T_0$. Τα μισά — αυτά στα $f=m/T_0$ — πέφτουν πάνω στα δείγματα του ενός παλμού και είναι ίσα μ' αυτά· τα άλλα μισά, ανάμεσα, είναι μηδέν (εκεί $X_2=0$) — έξτρα «θέσεις» που το πιο πυκνό πλέγμα προσφέρει αλλά το σήμα δεν τις γεμίζει. Αγνόησε τα μηδενικά και μένει ακριβώς το ίδιο πλέγμα, πάνω στην ίδια περιβάλλουσα. Δες τα δείγματα και των δύο μαζί:

Με τη γλώσσα της πυκνότητας γίνεται αυτονόητο: είναι το ίδιο σήμα, άρα έχει την ίδια πυκνότητα $X_0$ — και τα $a_k$ είναι δείγματά της. Είτε τη δειγματίσεις σε βήμα $1/T_0$ είτε σε $1/2T_0$, τα μη-μηδενικά δείγματα πέφτουν στα ίδια σημεία με την ίδια τιμή. (Γενικά $N$ αντίγραφα, περίοδος $N{T}_0$: $X_N(m/T_0)/(N{T}_0)=X_0(m/T_0)/T_0$ — τα $N$ αντίγραφα δίνουν $N{X}_0$ στις αρμονικές, και το $÷N{T}_0$ διώχνει το $N$.)

Και η γέφυρα προς τη §2.2. Άσε τα αντίγραφα να πληθαίνουν, $N\to \infty$ — δηλαδή φτιάξε ένα γνήσιο, ατέλειωτο periodic σήμα. Τότε ο FT παύει να είναι μια λεία περιβάλλουσα που τη δειγματίζεις: μαζεύεται γύρω από κάθε αρμονική σε μια κορυφή όλο και πιο ψηλή και στενή, ώσπου στο όριο γίνεται μια κρούση ($\delta$) με βάρος την τιμή $a_k$. Έτσι ο FT ενός periodic σήματος αποδεικνύεται ένα «χτένι» από κρούσεις με βάρη τους συντελεστές $a_k$ — κι αυτό ακριβώς χτίζει η §2.2 παρακάτω.

2.2. Ο Fourier transform καταπίνει τη σειρά Fourier

Χτίσαμε τον FT για μη-periodic σήματα — αφήνοντας $T_0\to \infty$. Δουλεύει όμως και σε periodic; Ας το δοκιμάσουμε με μοναδικό εργαλείο τον FT: για όση ώρα κρατήσει αυτή η παράγραφος, ξέχνα προς στιγμήν ότι υπάρχει σειρά Fourier. Δεν θα χρησιμοποιήσουμε ούτε έναν τύπο της — μόνο τον ορισμό του forward transform. Θα τον ρίξουμε πάνω σε ένα periodic σήμα, θα δούμε τι αριθμούς βγάζει μόνος του, και στο τέλος θα πάθουμε μια έκπληξη με το τι είναι αυτοί οι αριθμοί.

Ας το ανακαλύψουμε χτίζοντας ένα periodic σήμα από πεπερασμένα κομμάτια — έναν κύκλο, δύο κύκλους, … — και βλέποντας τι κάνει το φάσμα τους. Δουλεύουμε με ένα καθαρό $\cos (2\pi f_{0}t)$, περιόδου $T_0$ — σκέτο, χωρίς να του κρεμάσουμε κανέναν συντελεστή.

Ένας κύκλος. Κράτα μία περίοδο του cosine (διάρκεια $T_0$, μηδέν παντού αλλού) — πεπερασμένο σήμα. Υπολόγισε τον FT του για κάθε $f$, από τον ορισμό:

Με Euler, $\cos (2\pi f_{0}t)=\frac{1}{2}(e^{j2\pi f_{0}t}+e^{-j2\pi f_{0}t})$, οπότε το ολοκλήρωμα σπάει σε δύο απλά ολοκληρώματα εκθετικών:

Καθένα είναι το ίδιο στάνταρ ολοκλήρωμα:

Στο μεσαίο βήμα μπήκε η ταυτότητα Euler $e^{jx}-e^{-jx}=2j\sin x$: εδώ ο αριθμητής είναι στην ανάποδη σειρά, $e^{-jx}-e^{jx}=-2j\sin x$ (με $x=\pi \alpha T_0$), και ο παράγοντας $-2j$ απλοποιείται με τον παρονομαστή $-j2\pi \alpha$, αφήνοντας $\sin (\pi \alpha T_0)/(\pi \alpha )$. (Είναι στο τυπολόγιο ως $\sin x=\frac{1}{2j}(e^{jx}-e^{-jx})$, και την αποδεικνύουμε από τον Euler στις τριγωνομετρικές ταυτότητες.)

με $\mathrm{sinc}(x)=\sin (\pi x)/(\pi x)$. Με $\alpha =f-f_0$ και $\alpha =f+f_0$:

Αυτό είναι συνάρτηση του $f$ — δύο «καμπανάκια» (sinc), ένα γύρω από το $+f_0$ κι ένα γύρω από το $-f_0$, ύψους $T_0/2$ στην κορυφή τους και πλάτους $\sim 1/T_0$ (πρώτο μηδενικό στο $f_0\pm 1/T_0$). Αυτό ακριβώς σχεδιάζει το διαδραστικό:

Από τα δύο αυτά καμπανάκια, ένας μόνο αριθμός θα επιβιώσει στο τέλος — κι αυτός δεν είναι το ύψος της κορυφής (που, θα δούμε, απειρίζεται). Είναι το εμβαδόν κάθε καμπανιού. Υπολόγισέ το κατευθείαν: το εμβαδόν ενός sinc είναι ${\int }_{-\infty }^{\infty }\mathrm{sinc}(\alpha T_0)d\alpha =1/T_0$ (αφού ${\int }_{-\infty }^{\infty }\mathrm{sinc}(x)dx=1$), οπότε το καμπανάκι ύψους $T_0/2$ έχει εμβαδόν

Κράτα αυτόν τον αριθμό, $\frac{1}{2}$: τον παρήγαγε ο FT μόνος του, κατευθείαν από το ολοκλήρωμα, χωρίς να δανειστούμε ούτε έναν τύπο από τις Σειρές Fourier.

Δύο κύκλοι. Το ίδιο ολοκλήρωμα, με όρια $\pm T_0$ (διάρκεια $2T_0$) — ίδια ακριβώς βήματα, αλλάζει μόνο η διάρκεια:

Ίδια μορφή, με $2T_0$ στη θέση του $T_0$: τα καμπανάκια έχουν διπλάσιο ύψος (κορυφή $X_2(f_0)=T_0$) και μισό πλάτος ($\sim 1/2T_0$). Το ύψος ανέβηκε, το πλάτος έπεσε — αλλά το εμβαδόν δεν κουνήθηκε, με τον ίδιο ακριβώς λογαριασμό:

Ο ίδιος αριθμός, $\frac{1}{2}$, που έβγαλε ο FT και στον έναν κύκλο.

$N$ κύκλοι. Το ίδιο, με διάρκεια $N{T}_0$:

Τα καμπανάκια έχουν ύψος $\frac{1}{2}N{T}_0$ ($\propto$ διάρκεια) και πλάτος $\sim 1/N{T}_0$ ($\propto 1/$διάρκεια) — όλο και πιο ψηλά, όλο και πιο στενά. Το εμβαδόν όμως (ύψος × πλάτος) μένει σταθερό:

Σύρε το $N$ και δες τα τρία μαζί (ύψος, πλάτος, εμβαδόν):

Άπειροι κύκλοι = το ίδιο το periodic σήμα. Το πλήρες $\cos (2\pi f_{0}t)$ είναι ακριβώς αυτό: άπειροι κύκλοι. Το καμπανάκι γίνεται απείρως ψηλό και απείρως στενό — μια κρούση — αλλά το εμβαδόν του, το πεπερασμένο που επιβιώνει, μένει $\frac{1}{2}$· αυτό γίνεται το βάρος της κρούσης:

Σύρε το $N$ μέχρι ψηλά και δες το καμπανάκι να καταρρέει στην κρούση:

Τι απέγινε το ύψος. Όσο οι κύκλοι ήταν πεπερασμένοι, η κορυφή μεγάλωνε ανάλογα με τη διάρκεια — γι' αυτό όλο και ανέβαινε. Στους άπειρους κύκλους απειρίζεται, οπότε δεν είναι αυτή που κουβαλά το φυσικό περιεχόμενο· το πεπερασμένο που επιβιώνει είναι το εμβαδόν, $\frac{1}{2}$ — αυτό που μόλις έγινε το βάρος της κρούσης. Να γιατί κοιτούσαμε το εμβαδόν, κι όχι την κορυφή, σε κάθε βήμα.

Το γενικό αποτέλεσμα. Το ίδιο παιχνίδι παίζεται σε κάθε αρμονική. Πάρε οποιοδήποτε periodic σήμα και ρίξ' του τον FT: κάθε αρμονική του δίνει το δικό της καμπανάκι, που στο όριο των άπειρων κύκλων καταρρέει σε μια κρούση στη θέση $k{f}_0$. Ονόμασε $a_k$ το βάρος (εμβαδόν) της κρούσης εκεί — όπως μόλις βρήκαμε $\frac{1}{2}$ για το cosine. Τότε ο FT του periodic σήματος είναι:

Και τώρα η κίνηση που κλείνει τον κύκλο. Πέρασε αυτό το «χτένι» από κρούσεις μέσα από τον inverse transform, για να ξαναχτίσεις το σήμα στον χρόνο (κάθε κρούση «διαλέγει» την τιμή του εκθετικού στη θέση της):

Κοίτα τι κρατάς: $x(t)={\sum }_k{a}_k{e}^{j2\pi k{f}_{0}t}$ — είναι ακριβώς η σύνθεση της σειράς Fourier. Ξεκινήσαμε με μοναδικό εργαλείο τον FT και καταλήξαμε να κρατάμε τη σειρά Fourier ολόκληρη: τους ίδιους συντελεστές $a_k$, τον ίδιο τύπο σύνθεσης. Η σειρά δεν ήταν ποτέ ξεχωριστή θεωρία — ήταν κρυμμένη μέσα στον FT και βγαίνει μόνη της μόλις τον εφαρμόσεις σε periodic σήμα.

Δες το με διάφορα σήματα, δίπλα-δίπλα:

Την αυστηρή εκδοχή — την απόδειξη της κρούσης, μόλις τη χτίσουμε στη §4, μαζί με ένα αριθμητικό check — τη μαζεύουμε στη §6.

2.3. Τι ορίζει το μέτρο και τι τη φάση: αριθμός κύκλων vs θέση

Στη §2.2 χτίσαμε το φάσμα κεντράροντας το πακέτο των κύκλων στο $t=0$: έναν κύκλο στο $[-T_0/2,T_0/2]$, μετά δύο, μετά $N$ — πάντα συμμετρικά γύρω από το μηδέν. Ήταν όμως αυτή η μια επιλογή μας. Φυσική απορία: πείραζε που το κεντράραμε; Αν σέρναμε ολόκληρο το πακέτο πιο πέρα, στο $t_0$, τι θα άλλαζε στο φάσμα;

Κάθε βάρος κρούσης $a_k$ είναι μιγαδικός αριθμός, και κάθε μιγαδικός κουβαλά δύο πληροφορίες: ένα μέτρο (πόσο μεγάλη η κρούση) και μια φάση. Το χτίσιμο με τους κύκλους ελέγχει τις δύο χωριστά — σαν δύο ανεξάρτητα κουμπιά:

• Πόσο σήμα → μέτρο. Όσο περισσότερους κύκλους στοιβάζεις, τόσο ψηλώνει και στενεύει το καμπανάκι, ώσπου να οξυνθεί στην κρούση. Το μέγεθος του βάρους, $|a_k|$, το ορίζει το πόσο δυνατή είναι η αρμονική μέσα στο σήμα — όχι το πού κάθεται το πακέτο.
• Πού κάθεται → φάση. Σύρε το πακέτο κατά $t_0$ στον χρόνο και το μέτρο του φάσματος δεν κουνιέται ούτε χιλιοστό — γυρίζει μόνο η φάση. Είναι η ιδιότητα time-shift (§5d): μετατόπιση κατά $t_0$ πολλαπλασιάζει τον FT με $e^{-j2\pi f{t}_0}$, έναν παράγοντα μέτρου 1 — καθαρή περιστροφή φάσης, με κάθε μέτρο να μένει άθικτο.

Π.χ. ένα cosine κεντραρισμένο στο $0$ έχει πραγματικό βάρος $a_1=\frac{1}{2}$ (μηδενική φάση). Μετατόπισέ το, και γίνεται $a_1=\frac{1}{2}{e}^{j\phi }$: ίδιο μέτρο $\frac{1}{2}$, μόνο η φάση γύρισε. (Να γιατί το $\sin$ — ένα cosine μετατοπισμένο κατά τέταρτο περιόδου — έχει ολόιδιο φάσμα μέτρου με το $\cos$, αλλά φανταστικά βάρη: η μετατόπιση τού γύρισε τη φάση κατά $90^{\circ }$.)

Με δυο λόγια: το πόσο σήμα υπάρχει χτίζει το μέτρο της κρούσης· το πού βρίσκεται στον χρόνο δίνει μόνο τη φάση.

2.4. Γιατί η περιοδικότητα θέλει ΚΑΙ τις δύο κατευθύνσεις

Υπήρχε όμως και μια δεύτερη σιωπηλή επιλογή στη §2.2. Όσο προσθέταμε κύκλους, το πακέτο μεγάλωνε και προς τις δύο μεριές — αριστερά και δεξιά — ώσπου στο $N\to \infty$ γέμισε όλον τον άξονα και έδωσε ένα κανονικό, δίπλευρο periodic σήμα. Τι θα γινόταν αν το μεγαλώναμε μόνο προς τα δεξιά, για $t>0$ — ένα cosine που «ανάβει» στο $t=0$ και είναι μηδέν για $t<0$; Θα έβγαζε πάλι καθαρές κρούσεις;

Θα περίμενες ίσως τις ίδιες κρούσεις. Δεν βγαίνουν. Το $\cos (2\pi f_{0}t)u(t)$ δεν είναι periodic — έχει αρχή — και ο μετασχηματισμός του είναι:

Δύο αλλαγές σε σχέση με το γνήσιο periodic cosine: οι κρούσεις μισιάζουν ($\frac{1}{4}$ αντί για $\frac{1}{2}$), και ξεφυτρώνει ένα συνεχές μέρος απλωμένο σε όλες τις συχνότητες.

Πού ακριβώς κρυβόταν το «και προς τις δύο μεριές». Γύρνα στο ολοκλήρωμα-κλειδί της §2.2. Κάθε φορά το γράφαμε με συμμετρικά όρια γύρω από το μηδέν — έναν κύκλο στο $[-T_0/2,T_0/2]$, $N$ κύκλους στο $[-N{T}_0/2,N{T}_0/2]$:

Αυτά τα συμμετρικά όρια είναι το «αριστερά και δεξιά»: ίσο κομμάτι σήματος εκατέρωθεν του $0$. Και δεν ήταν αθώα. Σπάσε το $e^{-j2\pi ft}=\cos (2\pi ft)-j\sin (2\pi ft)$: ο φανταστικός όρος του ολοκληρώματος, $\cos (2\pi f_{0}t)\sin (2\pi ft)$, είναι περιττός (άρτιο × περιττό), κι επειδή το παράθυρο είναι συμμετρικό, ολοκληρώνεται σε μηδέν. Αυτό —και μόνο αυτό— έκανε κάθε βήμα της §2.2 να βγάζει καθαρά πραγματικά sinc, άρα στο όριο πραγματικές κρούσεις βάρους $\frac{1}{2}$. Η συμμετρία του παραθύρου ήταν ο σιωπηλός λόγος που το φάσμα έβγαινε τόσο καθαρό.

Τι σπάει μόλις πάμε μόνο δεξιά. Άναψε το cosine στο $t=0$ και το κάτω όριο γίνεται $0$ — το παράθυρο γίνεται ${\int }_0^{N{T}_0}$, με όλο το σήμα δεξιά του μηδενός. Τώρα δεν είναι πια συμμετρικό: η ακύρωση του περιττού όρου παύει να συμβαίνει, και χάνεις κάθε εγγύηση για καθαρές πραγματικές κρούσεις. Κάτι φανταστικό κι απλωμένο πρέπει να ξεφυτρώσει — μένει να δούμε τι ακριβώς.

Πώς προκύπτει το νέο αποτέλεσμα. Αφού η συμμετρία έσπασε, σπάσε κι εσύ το μονόπλευρο σήμα σε ένα άρτιο κι ένα περιττό μισό γύρω από το $t=0$ — που δεν είναι παρά το $u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)$ επί $\cos$:

• Το άρτιο μισό είναι ένα γνήσιο δίπλευρο cosine, απλώς στο μισό ύψος — συμμετρικό, ακριβώς ό,τι ξέρει να χειρίζεται η μηχανή της §2.2. Της δίνει τις ίδιες ακριβώς κρούσεις στις $\pm f_0$, στο μισό βάρος: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Να από πού μισιάζουν — όχι νέος τύπος, αλλά η ίδια η §2.2 πάνω σε ένα cosine μισού ύψους.
• Το περιττό μισό είναι το ολοκαίνουργιο κομμάτι: στον συμμετρικό κόσμο της §2.2 ήταν πάντα μηδέν — γι' αυτό δεν το συναντήσαμε ποτέ. Είναι η ακμή του ανάμματος στο $t=0$. Πραγματικό και περιττό σήμα δίνει καθαρά φανταστικό φάσμα (συμμετρία που χτίζουμε στη Section 8), και χωρίς καμία κρούση: μια κρούση θα σήμαινε «ζει εδώ ένας αιώνιος τόνος», όμως η ακμή δεν είναι τόνος — είναι ένα απότομο, στιγμιαίο γεγονός, κι ό,τι είναι στενό στον χρόνο απλώνεται φαρδιά στη συχνότητα. Δίνει λοιπόν το συνεχές, φανταστικό $\frac{f}{j2\pi (f^2-f_0^2)}$, απλωμένο σε όλον τον άξονα.

Πρόσθεσε τα δύο μισά και έχεις ακριβώς τις δύο αλλαγές που δείχνει το φάσμα: μισές κρούσεις ($\frac{1}{4}$) συν το συνεχές μέρος.

(Ο γρήγορος δρόμος για το ίδιο, μέσω του πίνακα: ο μοναδιαίος βηματικός έχει $u(t)\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}\frac{1}{2}\delta (f)+\frac{1}{j2\pi f}$· ο πολλαπλασιασμός με $\cos$ τον μετατοπίζει στις $\pm f_0$ και τον μισιάζει — δίνει τις κρούσεις $\frac{1}{4}$ και το συνεχές $\frac{f}{j2\pi (f^2-f_0^2)}$. Δες και τον πίνακα Fourier, §13.)

3. Πριν τους «πρωταγωνιστές» — λίγα λόγια για το X(f)

Δυο γρήγορες αλλά απαραίτητες παρατηρήσεις πριν δούμε παραδείγματα: πότε υπάρχει ο FT, και τι είδους αντικείμενο επιστρέφει.

3.1. Πότε υπάρχει ο FT (συνθήκες Dirichlet)

Σχόλιο για τη μαθηματική πληρότητα: ο FT υπάρχει για ένα σήμα $x(t)$ κάτω από ορισμένες συνθήκες (Dirichlet), που χονδρικά απαιτούν το σήμα να είναι «λογικό» — απολύτως ολοκληρώσιμο, με πεπερασμένα ακρότατα και ασυνέχειες σε πεπερασμένο πλήθος. Όλα τα σήματα που θα συναντήσουμε σε αυτό το μάθημα τις πληρούν, οπότε δεν θα μας απασχολήσουν.

3.2. Τι επιστρέφει ο FT — μέτρο και φάση

Πριν γνωρίσουμε τους «πρωταγωνιστές», μισό λεπτό για το τι είδους αντικείμενο είναι το $X(f)$. Αν το προσπεράσουμε, τα παραδείγματα παρακάτω θα μοιάζουν με μαγικά κουτιά· αν το ξεκαθαρίσουμε τώρα, θα τα διαβάζεις.

Το $X(f)$ είναι μιγαδική συνάρτηση πραγματικής συχνότητας.

• Ο άξονας συχνοτήτων (το input του $X$) είναι πάντα real — δεν υπάρχουν «imaginary frequencies».
• Οι τιμές του $X$ (το output) είναι μιγαδικοί αριθμοί. Σε κάθε συχνότητα $f$, το $X(f)$ είναι ένας μιγαδικός $a+jb$.

Μπορεί το $X(f)$ να είναι φανταστικό; Ναι — και όχι ως σπάνια εξαίρεση. Ένα απλό $\sin (2\pi f_{0}t)$ έχει καθαρά φανταστικό φάσμα (το δείχνουμε στη 4g). Το ότι τα πρώτα παραδείγματα θα βγουν πραγματικά είναι θέμα συμμετρίας, όχι κανόνας: σήμα real-and-even στον χρόνο δίνει real φάσμα (το αποδεικνύουμε στη Section 8).

Δύο πληροφορίες σε έναν μιγαδικό — μέτρο και φάση. Σε πολική μορφή $X(f)=|X(f)|e^{j\angle X(f)}$:

• Μέτρο $|X(f)|$ → «πόσο πολύ» από αυτή τη συχνότητα υπάρχει στο σήμα.
• Φάση $\angle X(f)$ → «σε τι φάση» είναι η συνιστώσα αυτής της συχνότητας.

Τι σου λέει η τιμή του $X(f)$ σε μια συχνότητα — ανάλογα με το πού «δείχνει» ο μιγαδικός:

• καθαρά πραγματικός θετικός → φάση $0$ → cosine συνιστώσα.
• καθαρά πραγματικός αρνητικός → φάση $\pm \pi$ → cosine αναποδογυρισμένο (peaks ↔ κοιλιές).
• καθαρά φανταστικός ($\pm j\cdot$κάτι) → φάση $\pm \pi /2$ → sine συνιστώσα.
• μιγαδικός (real + imag) → ενδιάμεση φάση → cosine με phase shift.

Ταιριάζει με το κεφάλαιο της φάσης: $\cos$ και $\sin$ ίδιας συχνότητας διαφέρουν μόνο σε φάση — και στο φάσμα αυτό εμφανίζεται ως real vs imaginary τιμή στο ίδιο $f$.

Πώς το ζωγραφίζουμε — δύο τρόποι. Σπάνια σχεδιάζουμε το $X(f)$ «ολόκληρο» ως μιγαδική επιφάνεια. Έχουμε δύο επιλογές, και θα τις δεις δίπλα-δίπλα σε κάθε παράδειγμα παρακάτω:

• Τρόπος Α — μία γραφή με πρόσημο. Αν το $X(f)$ είναι καθαρά πραγματικό, αρκεί ένα plot: το $\mathrm{Re}\{X(f)\}$, με τους αρνητικούς λοβούς κάτω από τον άξονα. Αν είναι καθαρά φανταστικό, ένα plot του $\mathrm{Im}\{X(f)\}$. Συμπαγές — αλλά δουλεύει μόνο σε αυτές τις δύο ειδικές περιπτώσεις.
• Τρόπος Β — μέτρο + φάση. Δύο plots: το φάσμα πλάτους $|X(f)|$ (πάντα $\ge 0$) και το φάσμα φάσης $\angle X(f)$. Αυτό κωδικοποιεί οποιοδήποτε μιγαδικό $X(f)$ — γι' αυτό είναι η γενική γραφή.

Για την πλήρη συζήτηση με τον πίνακα μετατροπών και επιπλέον παραδείγματα, δες reference/spectrum-conventions.

4. Παραδείγματα — οι «πρωταγωνιστές»

Πριν τις ιδιότητες, ας δούμε τους FT των σημάτων που θα ξανασυναντήσουμε σε κάθε επόμενο κεφάλαιο. Όλοι αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι στο επίσημο τυπολόγιο — το έχεις στις εξετάσεις. Δεν χρειάζεται να τους θυμάσαι απ' έξω, αλλά πρέπει να τους αναγνωρίζεις αμέσως.

4a. Single rectangular pulse → sinc

Έστω $x(t)=A\cdot \mathrm{rect}(t/T)$ — ένας τετραγωνικός παλμός πλάτους $A$, συνολικού χρονικού μήκους $T$, κεντραρισμένος στο 0. Δηλαδή $x(t)=A$ για $|t|<T/2$ και $0$ αλλιώς.

Από τον ορισμό:

Αξιοποιώντας ότι $e^{-j\theta }-e^{j\theta }=-2j\sin \theta$:

όπου χρησιμοποιήσαμε τον κανονικοποιημένο ορισμό $\mathrm{sinc}(x)=\sin (\pi x)/(\pi x)$. Άρα:

Παρατηρήσεις που αξίζει να εμπεδώσεις:

• Το πλάτος στο μηδέν είναι $X(0)=AT$ — ίσο με το «εμβαδόν» του παλμού. Κι αυτό ισχύει πάντα: στο $f=0$ ο παράγοντας $e^{-j2\pi ft}$ παγώνει στο $1$, οπότε $X(0)=\int x(t)dt$ — το συνολικό (προσημασμένο) εμβαδόν του σήματος. Προσοχή: εμβαδόν σκέτο, όχι μέσος όρος — τον μέσο όρο (τη DC στάθμη) θα τον έπαιρνες διαιρώντας με τη διάρκεια, όπως στα periodic όπου ήταν $a_0=X_0(0)/T_0$· εδώ δεν διαιρούμε με τίποτα. (Το θεμελιώνουμε ως γενική ιδιότητα στη Section 5.)
• Τα μηδενικά του sinc είναι σε $f=\pm 1/T,\pm 2/T,\dots$ — όσο πιο στενός ο παλμός στον χρόνο, τόσο πιο πλατύ το φάσμα.
• Αυτή είναι η πρώτη εμφάνιση μιας από τις πιο βαθιές αρχές του Fourier: time-frequency duality — στενό στον χρόνο = πλατύ στη συχνότητα και αντίστροφα. Δες το να δουλεύει ζωντανά στο παρακάτω viz.

4b. Triangular pulse → sinc²

(Ο τριγωνικός παλμός $\Lambda (t/T)$ έχει βάση $2T$ και κορυφή $1$ στο $0$.)

Διαισθητικά γιατί βγαίνει sinc²: ένα τρίγωνο γράφεται σαν συνέλιξη δύο rectangles. Από την ιδιότητα convolution↔multiplication που θα δούμε στη Section 5b:

(Υπενθύμιση από Section 2: το σύμβολο $\mathcal{F}\{\cdot \}$ διαβάζεται «ο μετασχηματισμός Fourier του» — δηλαδή $\mathcal{F}\{x(t)\}=X(f)$. Είναι ίδιο πράγμα με τη γραφή $x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}X(f)$ που είδαμε στους πίνακες πιο πάνω, απλώς πιο συμπαγές για παρεμβολή σε εξισώσεις.)

Δεν χρειάστηκε να ξανακάνουμε το ολοκλήρωμα — το sinc² προκύπτει «δωρεάν» από το rect. Αυτή είναι μια πρώτη γεύση της δύναμης των ιδιοτήτων.

4c. Single impulse δ(t) → 1

Από τη σαρωτική ιδιότητα της δ:

για κάθε $f$. Το φάσμα μιας κρούσης είναι σταθερό — όλες οι συχνότητες παρούσες με ίσο πλάτος. Αυτή είναι η μαθηματική διατύπωση του «μια στιγμιαία κρούση περιέχει όλες τις συχνότητες», που δικαιολογεί γιατί η $\delta (t)$ χρησιμοποιείται ως test signal για να βρούμε την κρουστική απόκριση ενός LTI: «χτυπάς» το σύστημα με όλες τις συχνότητες ταυτόχρονα και βλέπεις πώς αντιδρά σε καθεμία.

4d. Constant 1 → δ(f)

Συμμετρικό του 4c. Το σταθερό $1$ δεν είναι απολύτως ολοκληρώσιμο, οπότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε απευθείας τον forward FT integral — αλλά μπορούμε να εφαρμόσουμε τον inverse FT στο $\delta (f)$ και να χρησιμοποιήσουμε τη σαρωτική ιδιότητα της δ, ίδιο τέχνασμα με τη 4c απλώς στη συχνότητα:

για κάθε $t$. Άρα ένα σταθερό σήμα στο χρόνο έχει ένα μόνο σημείο στο φάσμα: το $f=0$ (DC). Όλη η ενέργεια συμπυκνωμένη σε μηδενική συχνότητα.

Συγκριτικά, τα 4c–4d εκφράζουν την ίδια αρχή και από τις δύο πλευρές: απείρως εντοπισμένο στον έναν τομέα ↔ απείρως απλωμένο στον άλλον.

4e. cos(2π f₀ t) → δύο κρούσεις στις ±f₀

Πιθανώς το πιο σημαντικό αποτέλεσμα αυτής της ενότητας:

Απόδειξη. Από Euler:

Πρώτα, ας βρούμε τον FT ενός complex exponential $e^{j2\pi f_{c}t}$. Έναν δρόμο τον ξέρουμε ήδη: στη §2.2 πήραμε ακριβώς τέτοιες κρούσεις από τον forward μετασχηματισμό — κόβοντας πεπερασμένους κύκλους, μετασχηματίζοντας, κι αφήνοντας το παράθυρο να μεγαλώσει ($N\to \infty$) ώσπου το sinc να οξυνθεί σε κρούση. Δουλεύει· απλώς θέλει όλη εκείνη τη μηχανή του ορίου, γιατί ο ατέρμονος $e^{j2\pi f_{c}t}$ από μόνος του δεν είναι απολύτως ολοκληρώσιμος — το σκέτο, άπειρο forward integral δεν συγκλίνει ως συνηθισμένο ολοκλήρωμα, χρειάζεται το όριο για να αποκτήσει νόημα. Εδώ παίρνουμε τον σύντομο δρόμο, μέσω του inverse: αν εφαρμόσουμε τον inverse FT στο $\delta (f-f_c)$, χρησιμοποιώντας τη σαρωτική ιδιότητα της δ — όπως ακριβώς στη 4c, αλλά τώρα στη συχνότητα — παίρνουμε:

Δηλαδή:

Με την ίδια λογική, εφαρμόζοντας τον inverse FT στο $\delta (f+f_0)$:

Άρα:

Από γραμμικότητα του FT (που έπεται απευθείας από τη γραμμικότητα του ολοκληρώματος — βλ. Section 5a παρακάτω για τον τυπικό πίνακα ιδιοτήτων), αθροίζοντας τα δύο complex exponentials με συντελεστή $1/2$:

Όλη η ενέργεια του cosine είναι συμπυκνωμένη ακριβώς στις δύο συχνότητες ±f₀ — δύο κρούσεις, η καθεμία με «βάρος» $\frac{1}{2}$. Στα διαγράμματα φάσματος εμφανίζονται σαν δύο κάθετα «καρφιά».

4f. Gaussian → Gaussian (η αυτο-δυϊκή καμπάνα)

Η Gaussian είναι το μοναδικό σχήμα που έχει τον ίδιο τύπο στον χρόνο και στη συχνότητα — μια καμπάνα μετασχηματίζεται σε καμπάνα (self-dual). Με ένα πλάτος $T$ ισχύει $e^{-\pi (t/T{)}^2}\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}T{e}^{-\pi (fT{)}^2}$, οπότε ξαναβλέπουμε το time-frequency duality: στενή καμπάνα στον χρόνο → πλατιά στη συχνότητα.

Η πλήρης απόδειξη χρειάζεται το Gaussian integral και ξεφεύγει από το τυπολόγιο — για εμάς αρκούν δύο πράγματα: να αναγνωρίζεις το σχήμα, και να προσέξεις ότι η Gaussian είναι πάντα θετική. Άρα ανήκει στην ίδια «εύκολη» οικογένεια με το τρίγωνο: πραγματικό, μη-αρνητικό φάσμα, με φάση επίπεδη στο $0$ — ο Τρόπος Α και το μέτρο ταυτίζονται.

4g. sin(2π f₀ t) → δύο φανταστικές κρούσεις

Το αδελφάκι του cosine — και η πρώτη φορά που το $X(f)$ βγαίνει καθαρά φανταστικό, όχι πραγματικό. Ίδιο κόλπο Euler με τη 4e, αλλά τώρα για το sin:

Από το ότι $e^{j2\pi f_{c}t}\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}\delta (f-f_c)$ και γραμμικότητα:

Ο συντελεστής $\frac{1}{2j}=-\frac{j}{2}$ είναι καθαρά φανταστικός (θυμήσου ότι $\frac{1}{j}=-j$: πολλαπλασίασε πάνω και κάτω με $j$ → $\frac{1}{j}=\frac{j}{j^2}=\frac{j}{-1}=-j$· έλεγχος: $j\cdot (-j)=-j^2=1$, άρα το $-j$ είναι όντως ο αντίστροφος του $j$). Γράφοντας τα βάρη ξεκάθαρα:

— βάρος $-j/2$ στη $+f_0$ και $+j/2$ στη $-f_0$. Αυτό είναι το παράδειγμα που σπάει τον Τρόπο Α, γιατί δεν υπάρχει «αρνητικό ύψος» στον πραγματικό άξονα για να δείξει ένα φανταστικό βάρος:

• Μέτρο: $|-j/2|=|+j/2|=\frac{1}{2}$ — δύο ίσες θετικές κρούσεις, σαν του cosine.
• Φάση: $\angle (-j/2)=-\pi /2$ στη $+f_0$ και $\angle (+j/2)=+\pi /2$ στη $-f_0$ — όχι μηδέν.

5. Ιδιότητες του FT — η εργαλειοθήκη

Οι ιδιότητες είναι αυτό που κάνει τον FT πραγματικά χρήσιμο. Δεν θα ολοκληρώνεις τυχαία ολοκληρώματα — θα τα ανάγεις σε γνωστά μετασχηματίζοντας. Όλες οι ιδιότητες παρακάτω είναι στο τυπολόγιο.

5a. Γραμμικότητα

Ο FT είναι ένα ολοκλήρωμα — δηλαδή ένα (συνεχές) άθροισμα με βάρη. Και τα αθροίσματα σέβονται την πρόσθεση: βγάζεις τις σταθερές μπροστά, σπας το άθροισμα στα κομμάτια του. Διαισθητικά, ο FT στο $f$ ρωτάει «πόσο από τη frequency $f$ κρύβεται εδώ μέσα;». Αν ρίξεις δύο σήματα στον ίδιο κουβά, το «πόσο $f$» είναι απλώς το άθροισμα του «πόσο $f$» του καθενός — τίποτα δεν αναμειγνύεται.

Φαίνεται απλό, αλλά η γραμμικότητα είναι ο αθόρυβος εργάτης πίσω από όλες τις άλλες ιδιότητες: είναι ακριβώς το βήμα «πρόσθεσε τα κομμάτια πίσω» του κλειδιού παραπάνω. Σε συνδυασμό με τους πρωταγωνιστές της Section 4, λύνει άμεσα μεγάλη οικογένεια προβλημάτων.

Και μια δεύτερη ιδιότητα «τζάμπα» από τον ορισμό: η τιμή στο μηδέν. Βάλε $f=0$ στην εξίσωση ανάλυσης· τότε $e^{-j2\pi \cdot 0\cdot t}=1$ και μένει:

Η τιμή του φάσματος στο $f=0$ είναι το συνολικό εμβαδόν του σήματος στον χρόνο. Λογικό: στο $f=0$ ο περιστρεφόμενος παράγοντας $e^{-j2\pi ft}$ παγώνει στο $1$, οπότε το ολοκλήρωμα απλώς αθροίζει όλο το σήμα — το καθαρό, προσημασμένο εμβαδόν. Είναι το εμβαδόν, όχι ο μέσος όρος: ο μέσος όρος (η DC στάθμη) θα ήθελε διαίρεση με τη διάρκεια — εδώ δεν διαιρούμε με τίποτα. (Στα periodic, αντίθετα, η DC στάθμη ήταν $a_0=X_0(0)/T_0$: εκεί διαιρέσαμε με την περίοδο.) Συμμετρικά, βάζοντας $t=0$ στην εξίσωση σύνθεσης (όλα τα $e^{j2\pi f\cdot 0}=1$):

η τιμή του σήματος τη στιγμή $t=0$ είναι το εμβαδόν κάτω από όλο το φάσμα.

5b. Convolution ↔ multiplication ⭐

Σε λόγια: η συνέλιξη στον χρόνο γίνεται απλός πολλαπλασιασμός στη συχνότητα. Είναι ίσως η πιο σημαντική ιδιότητα του FT για το μάθημα μας — όλο το flip-and-slide της συνέλιξης απλώς εξαφανίζεται. Δες την πρώτα να δουλεύει, και μετά θα δούμε γιατί ισχύει:

Γιατί ισχύει — μέσα από τα συστήματα. Το μισό το έχουμε ήδη δει. Μια υπενθύμιση πρώτα: η συνέλιξη $x_1(t)\ast x_2(t)$ είναι ακριβώς το σήμα που παίρνεις όταν περάσεις το $x_1$ μέσα από ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση το δεύτερο σήμα. Ας το ονομάσουμε λοιπόν $h(t)$· τότε η ιδιότητα γράφεται $x_1(t)\ast h(t)\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}{X}_1(f)H(f)$, με $H(f)=\mathcal{F}\{h(t)\}$. Και — όπως θα αποδείξουμε σε λίγο (στο πλαίσιο «$H(f)=\mathcal{F}\{h(t)\}$» πιο κάτω) — αυτό το $H(f)$ είναι ακριβώς η συνάρτηση συχνοτικής απόκρισης που γνωρίσαμε στη σελίδα των συστημάτων.

Κι εκεί είχαμε δει το κλειδί: ρίξε ένα καθαρό κύμα $e^{j2\pi ft}$ μέσα στο σύστημα και βγαίνει το ίδιο κύμα, πολλαπλασιασμένο μόνο με τον αριθμό $H(f)$:

Αυτό αρκεί για να βγει η ιδιότητα. Σπάσε το $x_1$ σε καθαρά κύματα με τη σύνθεση, $x_1(t)=\int X_1(f)e^{j2\pi ft}df$, όπου το $X_1(f)$ είναι το βάρος του κάθε κύματος. Αφού το σύστημα είναι γραμμικό, περνάει το καθένα ξεχωριστά και το πολλαπλασιάζει με το δικό του $H(f)$: το κομμάτι $X_1(f)e^{j2\pi ft}$ βγαίνει ως $X_1(f)H(f)e^{j2\pi ft}$. Συναρμολογώντας πίσω, η έξοδος έχει φάσμα $X_1(f)H(f)=X_1(f)X_2(f)$ — ακριβώς όπως λέει η ιδιότητα. (Ονομάσαμε «σύστημα» το $x_2$, αλλά δεν παίζει ρόλο: η ιδιότητα είναι συμμετρική — το γινόμενο $X_1{X}_2$ δεν αλλάζει αν πεις σύστημα το $x_1$.)

Η τυπική απόδειξη, σε δύο γραμμές. Αν προτιμάς καθαρή άλγεβρα, χωρίς LTI, η ίδια ιδιότητα βγαίνει κατευθείαν από τους ορισμούς — και κλείνει μια παλιά υπόσχεση:

Το αποτέλεσμα-κλειδί για τα LTI. Όποια από τις δύο αποδείξεις κι αν προτιμάς, το συμπέρασμα είναι το ίδιο και αξίζει κορνίζα: αφού η έξοδος ενός LTI είναι $y=x\ast h$, στη συχνότητα γίνεται

Το ολοκλήρωμα συνέλιξης γίνεται ένας απλός πολλαπλασιασμός σε κάθε $f$ — αυτή είναι η πραγματική δύναμη του να δουλεύεις στη συχνότητα.

Τι είναι, τελικά, το $H(f)$. Σε όλα τα παραπάνω το $H(f)$ έπαιξε τον ρόλο του «gain». Όμως στο κεφάλαιο των συστημάτων το είχαμε ορίσει ως ένα ολοκλήρωμα και το αφήσαμε «μυστηριώδες», με την υπόσχεση να εξηγηθεί εδώ. Ώρα να κλείσει κι αυτή η υπόσχεση:

Κράτα αυτή τη στιγμή. Είναι ο πυρήνας όλου του υπόλοιπου μαθήματος. Κάθε φορά που στο μέλλον θα γράφουμε «$X(f)$ μετά το φίλτρο», θα εννοούμε «$X(f)\cdot H(f)$» — και θα έχουμε ξεμπερδέψει με το LTI σε δύο πολλαπλασιασμούς αντί για συνελίξεις.

5c. Multiplication ↔ convolution

Η δυϊκή ιδιότητα της 5b:

Πολλαπλασιασμός στον χρόνο = συνέλιξη στη συχνότητα. Αλλά γιατί ο πολλαπλασιασμός να γεννά συνέλιξη; Ας το χτίσουμε σε δύο βήματα: πρώτα να ξαναθυμηθούμε τι είναι η συνέλιξη, και μετά να δούμε έναν πολλαπλασιασμό να τη φτιάχνει μπροστά μας.

Γιατί ο πολλαπλασιασμός γεννά συνέλιξη. Ξεκίνα από το μικρότερο δυνατό κομμάτι: τι βγαίνει όταν πολλαπλασιάζεις δύο καθαρά κύματα, με πλάτη $A$ και $B$; Από τον κανόνα των εκθετικών $e^a{e}^b=e^{a+b}$:

Δύο κύματα πολλαπλασιάζονται και δίνουν ένα κύμα: στη frequency που είναι το άθροισμα των δύο, και με πλάτος το γινόμενο $AB$ των δύο πλατών. Τα πλάτη δηλαδή πολλαπλασιάζονται. Αυτό είναι όλο το μυστικό· τα υπόλοιπα είναι λογιστική.

Θυμήσου ότι κάθε σήμα είναι ένα μείγμα από καθαρά κύματα (η σύνθεση), και το $X(f)$ λέει πόσο βαρύ είναι το κύμα της frequency $f$ μέσα στο μείγμα. Όταν πολλαπλασιάζεις $x_1\cdot x_2$, κάθε κύμα του $x_1$ (βάρος $X_1(f_1)$) συναντά κάθε κύμα του $x_2$ (βάρος $X_2(f_2)$), και — με τον κανόνα $AB$ παραπάνω — το ζευγάρι τους βγάζει ένα κύμα στη frequency $f_1+f_2$ με βάρος το γινόμενο $X_1(f_1)X_2(f_2)$.

Πόσο βάρος μαζεύεται, λοιπόν, σε μια συγκεκριμένη frequency εξόδου $f$; Πρόσθεσε τα βάρη όλων των ζευγαριών $(f_1,f_2)$ που κάνουν $f_1+f_2=f$. Βάζοντας $f_2=f-f_1$, το «όλων των ζευγαριών» γίνεται ένα ολοκλήρωμα ως προς το $f_1$:

Κοίτα τώρα τη δομή: τα δύο ορίσματα, $f_1$ και $f-f_1$, αθροίζονται πάντα σε $f$ — ακριβώς το μοτίβο της συνέλιξης από την υπενθύμιση. Άρα αυτό το «άθροισμα όλων των ζευγαριών που κάνουν $f$» είναι η συνέλιξη $X_1\ast X_2$ υπολογισμένη στο $f$. Να γιατί ο πολλαπλασιασμός στον χρόνο γίνεται συνέλιξη στη συχνότητα.

Η εικόνα με δύο cosines. Για να το πιάσεις στα χέρια σου, πάρε την πιο απλή περίπτωση: δύο πραγματικά cosines. Από την ταυτότητα γινομένου → αθροίσματος (στο τυπολόγιο):

Εδώ ξεπροβάλλουν δύο νέες frequencies, όχι μία — η διαφορά και το άθροισμα. Δένει ακριβώς με τον κανόνα $AB$: ένα πραγματικό cosine είναι, από Euler, δύο καθαρά κύματα βάρους ½ (στις $+f$ και $-f$). Πολλαπλασιάζοντας δύο cosines, κάθε ζευγάρι κυμάτων δίνει βάρος $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ — τα τέσσερα ¼ στις $\pm (f_1+f_2)$ και $\pm (f_1-f_2)$ που θα δεις στη viz. (Δύο τέτοιες κρούσεις ¼, στο $+g$ και στο $-g$, μαζί είναι ένα πραγματικό cosine πλάτους $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ — να από πού το ½ της ταυτότητας.)