Randomness · 5·~32 min read·🟢 Wiener-Khinchin — η γλώσσα όλου του θορύβου

PSD — Φασματική Πυκνότητα Ισχύος

Χρειάζεσαι:Stationarity & ergodicity Fourier transform

1. Νιώσε — γιατί χρειαζόμαστε νέο εργαλείο μετά την WSS

Στην /randomness/stationarity βγήκαμε από την σελίδα έχοντας μάθει ότι, για WSS ΤΔ, όλη η πληροφορία για τη χρονική δομή πέφτει σε δύο αριθμούς και μια συνάρτηση:

m_{X} = const, R_{X} (τ) = E [X (t) X (t + τ)]

Η $R_{X} (τ)$ μας λέει πόσο γρήγορα ξεχνάει το process — και «μνήμη» εδώ σημαίνει ότι η τιμή τώρα προβλέπει την τιμή αργότερα (το γιατί, αναλυτικά, στην /randomness/stationarity). Αν η $R_{X}$ είναι πλατιά, η ΤΔ θυμάται για πολλή ώρα — αργό, ομαλό σήμα· αν είναι στενή, ξεχνάει ακαριαία — γρήγορο, νευρικό σήμα. Αλλά αυτό είναι μια time-domain περιγραφή. Όταν θέλεις να απαντήσεις ερωτήσεις τύπου:

«Σε ποιες συχνότητες κάθεται η ισχύς του θορύβου;»
«Αν περάσω το $X (t)$ μέσα από LPF με cutoff $B$ , πόση ισχύς θα μου μείνει;»
«Ο θερμικός θόρυβος έχει την ίδια ένταση στα 100 Hz και στα 100 GHz;»

… η $R_{X} (τ)$ δεν σου απαντάει κατευθείαν. Χρειάζεσαι μια frequency-domain περιγραφή. Αυτή είναι η Φασματική Πυκνότητα Ισχύος ( $ΦΠ Ι$ , στα αγγλικά: Power Spectral Density / PSD):

S_{X} (f) ≜ F {R_{X} (τ)}

και το θεώρημα που κλείνει αυτή τη γέφυρα — από $R_{X} (τ)$ σε $S_{X} (f)$ και αντίστροφα — είναι το Wiener-Khinchin θεώρημα. Ολόκληρη αυτή η σελίδα δίνει συγκεκριμένη υλική μορφή σε αυτή τη μία γραμμή.

Τι ξεκλειδώνει η PSD — πρακτικός χάρτης

Η PSD δεν είναι «ένα ακόμη formula»· είναι η μοναδική γέφυρα που μετατρέπει WSS από abstract παραδοχή σε εργαλείο που λύνεις προβλήματα μαζί του. Έξι σημεία όπου θα τη χρησιμοποιήσεις στις επόμενες σελίδες:

/noise/sources — ο θερμικός θόρυβος ορίζεται μέσω PSD: $S_{N} (f) = N_{0} /2$ . Χωρίς PSD, δεν υπάρχει ορισμός του «θερμικού».
/noise/white-noise — η «λευκότητα» είναι ιδιότητα της PSD (επίπεδη), όχι του waveform.
/noise/through-filters — η μηχανή $S_{Y} (f) = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f)$ είναι μία γραμμή και απαντάει σε όλο τον LTI-θόρυβο.
/noise/bandpass — η ισχύς σε ζώνη $[f_{c} - B, f_{c} + B]$ είναι $\int_{band} S_{X} (f) df$ . Δεν υπάρχει $R_{X}$ -based τρόπος.
/am/modulator-demodulator — η ανάλυση SNR του AM ξεκινάει από PSD θορύβου εισόδου και τελειώνει σε ισχύ θορύβου εξόδου.
/fm/in-noise — το «τριγωνικό» PSD μετά τον discriminator, που δίνει το $9 β^{2}$ gain του FM, βγαίνει αποκλειστικά μέσω PSD-arithmetic.

Operational μηχανική. Από εδώ και κάτω, σε κάθε WSS πρόβλημα έχεις δύο ισοδύναμα κανάλια για την ίδια πληροφορία:

Time domain	Frequency domain
$R_{X} (τ)$ — «μνήμη»	$S_{X} (f)$ — «κατανομή ισχύος ανά Hz»
$R_{X} (0) = P_{X} = E [X^{2}]$	$\int S_{X} (f) df = P_{X}$
ΓΧΑ: $R_{Y} = R_{X} * h (τ) * h (- τ)$	ΓΧΑ: $S_{Y} = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X}$
Διπλή συνέλιξη (3 ολοκληρώματα)	Ένας πολλαπλασιασμός

Όποτε ο πρώτος δρόμος γίνεται δύσκολος, μεταβαίνεις στον δεύτερο μέσω WK — ποτέ δεν χάνεις τίποτα, αφού η ταυτότητα είναι αντιστρέψιμη.

2. Ο ορισμός

Η φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density) ενός σήματος ισχύος προκύπτει από τον μετασχηματισμό Fourier της αυτοσυσχέτισής του (ΣΑΣ) — την έννοια που ορίσαμε για σήματα χρόνου στο /foundations/fourier-transform §10, όπου είδαμε και ότι ο FT της αυτοσυσχέτισης δίνει φασματική πυκνότητα (εκεί, την ESD). Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ορίζεται και η ΦΠΙ μιας στάσιμης — αυστηρά ή υπό την ευρεία έννοια — ΤΔ.

Σε formula form, για WSS ΤΔ $X (t)$ :

Η συνέχεια με τα σήματα χρόνου — και η μόνη πραγματική διαφορά. Η φασματική πυκνότητα ήταν πάντα ο FT της αυτοσυσχέτισης· εδώ κάνουμε ακριβώς το ίδιο πράγμα. Δεν αλλάζει η συνταγή « $F$ της αυτοσυσχέτισης» — αλλάζει μόνο πώς υπολογίζεται η ίδια η $R_{X}$ . Για ντετερμινιστικό σήμα ισχύος ήταν ένας χρονικός μέσος πάνω σε μία κυματομορφή· μια ΤΔ όμως έχει πλειάδα realizations $x_{i} (t)$ , η καθεμία διαφορετική — δεν υπάρχει «μία» κυματομορφή να ολοκληρώσεις. Γι' αυτό η $R_{X} (τ) = E [X (t) X (t + τ)]$ ορίζεται ως ensemble-average πάνω σε όλες τις realizations: το μοναδικό realization-independent αντικείμενο (η γνωστή διάκριση ensemble vs χρονικός μέσος από τα /randomness/random-processes & /randomness/stationarity). Πέρα από αυτή τη μία αλλαγή, ισχύει $S_{X} (f) = F {R_{X} (τ)}$ όπως ακριβώς και πριν — αυτό είναι το «μη-τυχαίο πρόσωπο» του process στο frequency domain.

S_{X} (f)

είναι ισχύς ανά Hz — όχι το φάσμα

X (f)

Η $S_{X} (f)$ είναι μια ντετερμινιστική καμπύλη που λέει πού κάθεται η μέση ισχύς στις συχνότητες (μονάδες W/Hz, βλ. §4) — όχι ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος.

Και το « $X (f)$ » μιας ΤΔ; Μπορείς θεωρητικά να πάρεις τον FT μιας realization $x_{i} (t)$ , αλλά (α) βγάζει διαφορετικό $X_{i} (f)$ σε κάθε realization — είναι κι αυτό τυχαίο, όχι σταθερό αντικείμενο — και (β) για σήμα ισχύος το $\int x_{i} (t) e^{- j 2 π f t} d t$ δεν συγκλίνει με τη συνηθισμένη έννοια (άπειρη ενέργεια). Δεν υπάρχει δηλαδή «το φάσμα της ΤΔ» να μελετήσεις.

Γι' αυτό η σωστή ερώτηση για μια τυχαία διεργασία δεν είναι «ποιο είναι το φάσμα της;» αλλά «πώς μοιράζεται η ισχύς της στις συχνότητες;» — κι αυτό ακριβώς απαντάει η $S_{X} (f)$ .

3. Από ESD σε PSD — η ντετερμινιστική γέφυρα

Η ίδια γραμμή που γράφει η WK για WSS ΤΔ ήταν ήδη γνωστή για ντετερμινιστικά σήματα ενέργειας. Ξεκινάμε ακριβώς από εκεί.

Για σήμα ενέργειας $x (t)$ με $X (f) = F {x (t)}$ , ο FT της αυτοσυσχέτισης δίνει το φάσμα πυκνότητας ενέργειας (Energy Spectral Density, ESD):

F {R_{x} (τ)} = ∣ X (f) ∣^{2} (Energy Spectral Density, ESD)

Η απόδειξη είναι μία γραμμή — η αυτοσυσχέτιση είναι η συνέλιξη του σήματος με την time-reversed conjugate εκδοχή του:

F {R_{x} (τ)} = F {x (τ) * x^{*} (- τ)} = X (f) X^{*} (f) = ∣ X (f) ∣^{2}

Για περιοδικό σήμα ισχύος $x (t)$ ορίζεται κατ' αναλογία η φασματική πυκνότητα ισχύος (Power Spectral Density, PSD):

S_{x} (f) ≜ F {R_{x} (τ)} (Power Spectral Density, PSD)

🎯 Κλείνει υπόσχεση από /foundations/fourier-transform §10: είχαμε ορίσει εκεί την ντετερμινιστική ESD ως FT της αυτοσυσχέτισης. Η σελίδα αυτή είναι όπου αυτή η ταυτότητα γενικεύεται — πάει από «energy signals με $∣ X ∣^{2}$ » σε «WSS power signals με $S_{X}$ », και η αλγεβρική μορφή είναι η ίδια.

Γιατί δεν δουλεύει η ESD κατευθείαν στις WSS ΤΔ. Η ESD ήταν το $∣ X (f) ∣^{2}$ , που — από το θεώρημα Parseval — ολοκληρώνεται στη συνολική ενέργεια του σήματος:

\int_{- \infty}^{\infty} ∣ x (t) ∣^{2} d t = \int_{- \infty}^{\infty} ∣ X (f) ∣^{2} df = E_{x}

Το αριστερό μέλος ζει στον χρόνο και το δεξί στη συχνότητα· η ισότητά τους είναι ακριβώς το Parseval. Για μια WSS ΤΔ όμως αυτή η ενέργεια είναι άπειρη, και ο λόγος είναι η ισχύς.

Η μέση ισχύς μιας ΤΔ σε μια στιγμή $t$ είναι η μέση τετραγωνική τιμή $E [X (t)^{2}]$ , που για WSS ισούται με $R_{X} (0) = P_{X}$ και είναι σταθερή σε κάθε $t$ (/randomness/stationarity §5) — αυτό εννοούμε «σταθερή μέση ισχύ σε όλους τους χρόνους». Σταθερή θετική ισχύς επί άπειρο χρόνο δίνει άπειρη ενέργεια:

E_{x} = \int_{- \infty}^{\infty} E [X (t)^{2}] d t = P_{X} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} d t = \infty

Άρα (ξανά μέσω Parseval) και το $\int ∣ X (f) ∣^{2} df = \infty$ : το $∣ X (f) ∣^{2}$ δεν υπάρχει ως πεπερασμένο, καλά-ορισμένο αντικείμενο. Αυτό που μένει πεπερασμένο είναι η μέση ισχύς ανά μονάδα χρόνου $P_{X} = E [X^{2}]$ — κι αυτήν «σπάει» κατά συχνότητα η PSD. Δηλαδή:

ESD \to PSD : ∣ X (f) ∣^{2} ⟶ S_{X} (f) = F {R_{X} (τ)}

Η ESD ήταν για «πεπερασμένη ενέργεια απλωμένη στις συχνότητες»· η PSD είναι για «πεπερασμένη μέση ισχύς απλωμένη στις συχνότητες». Ο ίδιος FT-μηχανισμός, διαφορετική πηγή (autocorrelation, όχι το σήμα).

4. $R_{X} (0) = P_{X}$ — γιατί η PSD μετράει ισχύ

Από την αντίστροφη WK, βάζοντας $τ = 0$ :

R_{X} (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} S_{X} (f) df

Αλλά $R_{X} (0) = E [X (t)^{2}] = P_{X}$ (ισχύς, από WSS). Άρα:

P_{X} = R_{X} (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} S_{X} (f) df

Διάβασμα: το ολοκλήρωμα της PSD πάνω σε όλες τις συχνότητες δίνει τη συνολική ισχύ. Άρα «ισχύς ανά μονάδα συχνότητας (Hz)» είναι ο φυσικός μετρητής μονάδων της $S_{X} (f)$ — μετριέται σε W/Hz.

Αυτή η μοναδική εξίσωση είναι το πιο συχνά εφαρμοζόμενο εργαλείο σε όλα τα προβλήματα θορύβου: όταν θέλεις «πόση ισχύς υπάρχει σε ζώνη $[f_{1}, f_{2}]$ », υπολογίζεις:

P_{X}^{[f_{1}, f_{2}]} = \int_{f_{1}}^{f_{2}} S_{X} (f) df + \int_{- f_{2}}^{- f_{1}} S_{X} (f) df

(δύο όροι λόγω της two-sided PSD που χρησιμοποιεί το μάθημα — δες §5).

5. Ιδιότητες της PSD — τι κληρονομεί από την $R_{X}$

Οι ιδιότητες της PSD προκύπτουν όλες ως άμεσες συνέπειες των αντίστοιχων ιδιοτήτων της $R_{X} (τ)$ (που μάθαμε στην /randomness/stationarity §5):

Ιδιότητα της $R_{X} (τ)$	Συνέπεια για $S_{X} (f)$	Γιατί
$R_{X} (τ) \in R$	$S_{X} (- f) = S_{X}^{*} (f)$	FT πραγματικής συνάρτησης είναι Hermitian
$R_{X} (- τ) = R_{X} (τ)$ (άρτια)	$S_{X} (f) \in R$ (πραγματική)	FT πραγματικής-άρτιας είναι πραγματική-άρτια
$R_{X}$ real ∧ άρτια	$S_{X} (f)$ real ∧ άρτια	συνδυασμός των δύο παραπάνω
$R_{X}$ positive semi-definite	$S_{X} (f) \geq 0$	ισχύς ανά ζώνη ≥ 0 — βλ. παρακάτω
$R_{X} (0) = P_{X}$	$\int S_{X} (f) df = P_{X}$	inverse WK με $τ = 0$

Συνεπώς, για WSS ΤΔ:

S_{X} (f) \in R, S_{X} (- f) = S_{X} (f), S_{X} (f) \geq 0

Γιατί $S_{X} (f) \geq 0$ ; Είναι η πιο βαθιά ιδιότητα, και δεν βγαίνει από απλή Fourier-arithmetic. Ο πιο καθαρός λόγος είναι φυσικός: το $S_{X} (f) df$ είναι η ισχύς του $X (t)$ μέσα σε μια λεπτή ζώνη πλάτους $df$ γύρω από το $f$ . Αυτή τη ζώνη μπορείς να την «κόψεις» κυριολεκτικά — πέρασε το $X (t)$ από ένα ιδανικό στενό φίλτρο που αφήνει να περάσει μόνο αυτή. Η έξοδος είναι WSS με ισχύ $P = E [(\overset{ε}{ˊ} ξοδος)^{2}] \geq 0$ , αφού είναι μέση τιμή ενός τετραγώνου. Ισχύς σε μια ζώνη δεν γίνεται αρνητική — άρα ούτε η πυκνότητά της $S_{X} (f)$ . (Θα το δεις αυστηρά σαν άμεση εφαρμογή της μηχανής $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ της §7: $P = \int ∣ H ∣^{2} S_{X} df \approx 2 S_{X} (f) df \geq 0$ .)

Το όνομα αυτής της ιδιότητας — «positive semi-definite». Το ότι η $R_{X}$ μιας WSS ΤΔ δίνει πάντα $S_{X} \geq 0$ είναι ισοδύναμο με μια ιδιότητα της ίδιας της $R_{X}$ , που — μέσω του θεωρήματος Bochner — λέγεται positive semi-definite. Προσοχή στο όνομα: ΔΕΝ σημαίνει « $R_{X} (τ) \geq 0$ ». Είναι συνθήκη για την $R_{X}$ ως σύνολο, όχι για κάθε τιμή της χωριστά: για οποιαδήποτε χρονικά σημεία $t_{1}, \dots, t_{n}$ και πραγματικά βάρη $c_{1}, \dots, c_{n}$ ισχύει

i, j \sum c_{i} c_{j} R_{X} (t_{i} - t_{j}) = E [(\sum_{i} c_{i} X (t_{i}))^{2}] \geq 0.

Είναι πάλι «μέση τιμή τετραγώνου $\geq 0$ », απλώς για έναν γραμμικό συνδυασμό δειγμάτων του process. Η συνθήκη δεσμεύει μόνο αυτόν τον σταθμισμένο συνδυασμό — όχι την κάθε τιμή $R_{X} (τ)$ ξεχωριστά. Γι' αυτό η $R_{X}$ επιτρέπεται να γίνει αρνητική σε μεμονωμένα $τ$ και παρ' όλα αυτά η $S_{X}$ να μένει $\geq 0$ παντού. Το παράδειγμα παρακάτω το δείχνει συγκεκριμένα.

Two-sided ή one-sided PSD; Υπάρχουν δύο συμβάσεις για το πού «ζει» η PSD πάνω στον άξονα συχνοτήτων — και δίνουν διαφορετικά νούμερα για το ίδιο φυσικό μέγεθος:

Two-sided (αυτή που χρησιμοποιούμε εδώ): η $S_{X} (f)$ ορίζεται για όλες τις συχνότητες, $- \infty < f < \infty$ . Ο λευκός θόρυβος έχει $S_{N} (f) = N_{0} /2$ — η ισχύς μοιράζεται σε θετικές και αρνητικές συχνότητες, γι' αυτό το «μισό» ύψος.
One-sided (συχνή σε εργαστηριακά βιβλία): η PSD ορίζεται μόνο για $f > 0$ , με $G_{N} (f) = N_{0}$ — διπλάσιο ύψος, αφού όλη η ισχύς στριμώχνεται στις μισές (θετικές) συχνότητες.

Και οι δύο δίνουν την ίδια συνολική ισχύ — απλώς τη μοιράζουν αλλιώς. Π.χ. στην two-sided σύμβαση, λευκός θόρυβος σε ζώνη $∣ f ∣ \leq B$ έχει

P = \int_{- B}^{B} \frac{N _{0}}{2} df = N_{0} B .

⚠️ Προσοχή όταν διαβάζεις μικτές πηγές: το $N_{0} /2$ της two-sided και το $N_{0}$ της one-sided περιγράφουν τον ίδιο θόρυβο. Αν τα μπερδέψεις, βγάζεις παράγοντα 2 λάθος στην ισχύ.

6. Παραδείγματα — 4 κανονικές αντιστοιχίες $R_{X} \leftrightarrow S_{X}$

Ας δούμε τώρα την αντιστοιχία $R_{X} \leftrightarrow S_{X}$ σε δράση, στις τέσσερις πιο συχνές περιπτώσεις. Στο διπλό διάγραμμα «Αυτοσυσχέτιση $R_{X} (τ)$ και PSD $S_{X} (f)$ » παρακάτω, για κάθε επιλογή (preset) σχεδιάζονται side-by-side το $R_{X} (τ)$ και η $S_{X} (f)$ — έτσι «πιάνεις στο μάτι» ότι πλατιά $R_{X}$ ↔ στενή $S_{X}$ και αντίστροφα — που είναι απλώς η συνηθισμένη συμπεριφορά του FT (scaling theorem). Η $R_{X} (τ)$ είναι συνάρτηση του lag $τ$ (μεταβλητή με μονάδες χρόνου), οπότε ο μετασχηματισμός της συμπεριφέρεται όπως κάθε σήμα στον χρόνο: όσο πιο πλατύ στον χρόνο, τόσο πιο στενό στη συχνότητα. Τίποτα ιδιαίτερο της PSD εδώ — το μόνο που προσθέτει η PSD είναι η ερμηνεία του $S_{X} (f)$ ως ισχύ ανά Hz.

Αυτοσυσχέτιση R_X(τ) και PSD S_X(f) — Wiener-Khinchin

Autocorrelation

R_X(τ) = (A²/2)·cos(2π f₀ τ)

PSD (Wiener-Khinchin)

S_X(f) = (A²/4)·[δ(f-f₀) + δ(f+f₀)]

Πώς να διαβάσεις τα 4 presets

«Λευκός θόρυβος» ( $R_{X} = (N_{0} /2) δ (τ)$ → $S_{X} = N_{0} /2$ , επίπεδη). Καμία μνήμη στον χρόνο ⇔ όλες οι συχνότητες ίδια ισχύς. Η ιδανική «λευκότητα» — όνομα από το λευκό φως που περιέχει όλα τα μήκη κύματος ισόποσα.
« $cos (2 π f_{0} t + Θ)$ » (random-phase cosine, βλ. /randomness/stationarity §6). $R_{X} (τ) = (A^{2} /2) cos (2 π f_{0} τ)$ → $S_{X} (f) = (A^{2} /4) [δ (f - f_{0}) + δ (f + f_{0})]$ . Όλη η ισχύς συγκεντρωμένη σε δύο impulses στις $\pm f_{0}$ — λογικό, αφού ο sinusoid έχει μία και μόνο συχνότητα.
«Lowpass-bandlimited» $S_{X} (f) = N_{0} /2$ μέσα σε $∣ f ∣ \leq B$ , αλλιώς 0. Από inverse WK: $R_{X} (τ) = N_{0} B \cdot sinc (2 B τ)$ . «Αργή» σχέση μνήμης — όσο μικρότερο το $B$ , τόσο πιο πλατύ το sinc, τόσο πιο πολλή «μνήμη» κρατάει ο θόρυβος. Αυτό είναι το PSD-μοντέλο του θερμικού θορύβου μετά από LPF.
«Bandpass» $S_{X} (f) = N_{0} /2$ σε $∣ f \pm f_{c} ∣ \leq B$ . $R_{X} (τ) = 2 N_{0} B \cdot sinc (2 B τ) \cdot cos (2 π f_{c} τ)$ — sinc-envelope × carrier. Bandpass εκδοχή του lowpass — η ίδια «αργή» μνήμη, μετατοπισμένη στο $f_{c}$ . Αυτό προετοιμάζει την /noise/bandpass σελίδα.

Πώς να το διαβάσεις: πατώντας από preset σε preset, παρατήρησε ότι όταν η $R_{X}$ είναι «πλατιά» η $S_{X}$ είναι «στενή» (lowpass), όταν η $R_{X}$ είναι «στενή» η $S_{X}$ είναι «πλατιά» (white), και όταν η $R_{X}$ είναι ταλαντούμενη η $S_{X}$ έχει peaks στη συχνότητα ταλάντωσης (cosine, bandpass). Οι δύο πρώτες είναι η ίδια FT-reciprocity (scaling) που μόλις είπαμε· η τρίτη — ταλάντωση στον χρόνο → peak σε συγκεκριμένη συχνότητα — είναι η ιδιότητα μετατόπισης/διαμόρφωσης του FT. Καμία δεν είναι αποκλειστική της PSD· είναι όλες κανονικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier.

7. Η ΦΠΙ της εξόδου ΓΧΑ συστήματος — η πλήρης παραγωγή

Έρχεται τώρα το πιο εξαμηνιαίως-φορτωμένο αποτέλεσμα της σελίδας: η PSD της εξόδου ΓΧΑ συστήματος. Η εξής εξίσωση είναι η ιδρυτική γλώσσα της επόμενης ομάδας:

S_{Y} (f) = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f)

Την κατασκευάζουμε σε τρία βήματα — συνέλιξη, διπλή συνέλιξη της $R_{X}$ , και FT των δύο πλευρών.

7α. Βήμα 1 — η συνέλιξη (input → output)

Έστω ότι η WSS ΤΔ $X (t)$ διέρχεται από ένα σύστημα ΓΧΑ με κρουστική απόκριση $h (t)$ . Για τη WSS ΤΔ $Y (t)$ της εξόδου ισχύει:

Y (t) = X (t) * h (t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} X (τ) h (t - τ) d τ

Σημαντικό background: όταν περνάς WSS ΤΔ μέσα από ΓΧΑ σύστημα, η έξοδος είναι κι αυτή WSS (αυτό είναι θεώρημα, όχι ορισμός). Άρα η $Y (t)$ έχει δική της $R_{Y} (τ)$ και $S_{Y} (f)$ , και έχει νόημα να τις υπολογίσουμε.

7β. Βήμα 2 — από συνέλιξη σε double convolution της $R_{X}$

Ξεκινώντας από τον ορισμό της $R_{Y} (τ)$ :

R_{Y} (τ) = E [Y (t) Y (t + τ)]

= E [\int_{- \infty}^{\infty} X (τ_{1}) h (t - τ_{1}) d τ_{1} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} X (τ_{2}) h (t + τ - τ_{2}) d τ_{2}]

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} E [X (τ_{1}) X (τ_{2})] h (t - τ_{1}) h (t + τ - τ_{2}) d τ_{1} d τ_{2}

Με αλλαγή μεταβλητών $u = t - τ_{1}, v = t + τ - τ_{2}$ :

= \int \int E [X (t - u) X (t + τ - v)] h (u) h (v) d u d v

Από WSS, η εσωτερική μέση τιμή εξαρτάται μόνο από τη διαφορά χρόνων: $(t + τ - v) - (t - u) = τ + u - v$ . Άρα:

= \int \int R_{X} (τ + u - v) h (u) h (v) d u d v

Αναγνώριση ως διπλή συνέλιξη:

R_{Y} (τ) = R_{X} (τ) * h (τ) * h (- τ)

(Το $h (- τ)$ είναι ο time-reversed της κρουστικής απόκρισης — προκύπτει από τη σχέση $\int X (τ) h (- τ + v) d v$ που είναι συνέλιξη με $h (- τ)$ .)

7γ. Βήμα 3 — FT της διπλής συνέλιξης = $∣ H ∣^{2}$

Παίρνοντας FT και των δύο πλευρών της παραπάνω, και υπενθυμίζοντας:

$F {x (t) * y (t)} = X (f) Y (f)$
$F {h (- τ)} = H (- f) = H^{*} (f)$ (όταν $h$ πραγματική)

προκύπτει:

S_{Y} (f) = F {R_{Y} (τ)} = S_{X} (f) \cdot H (f) \cdot H^{*} (f) = S_{X} (f) ∣ H (f) ∣^{2}

που είναι το πολυπόθητο αποτέλεσμα:

S_{Y} (f) = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f), P_{Y} = R_{Y} (0) = \int_{- \infty}^{\infty} ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f) df

8. Το πιο σημαντικό visual — δες την $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ μηχανή να δουλεύει

Το παρακάτω viz σου δείχνει σε τρεις στήλες (input PSD, $∣ H ∣^{2}$ , output PSD) πώς δουλεύει ο πολλαπλασιασμός $∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f)$ για τα τρία πιο συχνά φίλτρα στο μάθημα: ιδανικό LPF, ιδανικό BPF, RC LPF (1-pole).

S_Y(f) = |H(f)|² S_X(f) — άσπρος θόρυβος μέσα από φίλτρο

|H|² = 1 για |f| ≤ B

B = 0.40

Output power P_Y = ∫ |H(f)|² S_X(f) df

0.400

Reading guide για τα 3 φίλτρα

Ιδανικό LPF (cutoff $B$ ). $∣ H ∣^{2} = 1$ μέσα στο $∣ f ∣ \leq B$ , μηδέν αλλιώς. Με input $S_{X} = N_{0} /2$ → $S_{Y} = N_{0} /2$ μέσα στη ζώνη. Έξοδος ισχύος: $P_{Y} = N_{0} B$ . Αυτή είναι η περίπτωση που εμφανίστηκε στα 4 presets της §6 (δες και /noise/through-filters).
Ιδανικό BPF (κέντρο $f_{c}$ , εύρος $Δ B$ ). $∣ H ∣^{2} = 1$ μέσα σε δύο rect-ζώνες $∣ f \pm f_{c} ∣ \leq Δ B /2$ . Output: $P_{Y} = N_{0} Δ B$ (μετράμε διπλάσιες ζώνες λόγω two-sided PSD). Αυτό είναι το ίδιο PSD-μοντέλο του bandpass θορύβου της §6, εδώ από LTI-perspective.
RC LPF (1-pole). $∣ H (f) ∣^{2} = 1/ (1 + (f / f_{c})^{2})$ — Lorentzian σχήμα. Output: $S_{Y} (f) = (N_{0} /2) / (1 + (f / f_{c})^{2})$ . Συνολική ισχύς: $P_{Y} = (N_{0} /2) \cdot π f_{c} = π N_{0} f_{c} /2$ . Σύγκριση με ιδανικό LPF: το $π /2 \approx 1.57 \times$ extra noise προέρχεται από τις «ουρές» έξω από $∣ f ∣ = f_{c}$ — το πραγματικό RC δεν είναι ιδανικό φίλτρο.

9. Cross-PSD — μία πρόταση και τέλος

Για δύο jointly WSS ΤΔ $X (t), Y (t)$ ορίζουμε αντίστοιχα:

S_{X, Y} (f) ≜ F {R_{X, Y} (τ)}, R_{X, Y} (τ) = E [X (t) Y (t + τ)]

Γενικά μιγαδική (σε αντίθεση με την αυτο-PSD που είναι real-even), και ικανοποιεί $S_{X, Y} (f) = S_{Y, X}^{*} (f)$ .

Πρακτική χρήση: όταν δύο ΤΔ είναι ασυσχέτιστες ( $R_{X, Y} = 0$ παντού), τότε $S_{X, Y} (f) = 0$ — δηλαδή καμία συσχέτιση σε καμία συχνότητα. Αυτό είναι χρήσιμο όταν αναλύσεις θόρυβο σε κανάλια AM ή FM όπου ο θόρυβος είναι ανεξάρτητος του σήματος.

10. Worked example — Lorentzian PSD ⇔ exponential $R_{X}$

11. Worked example — λευκός θόρυβος μέσα από LPF (set-up για /noise/through-filters)

12. Σύνοψη — η μηχανή PSD σε έναν πίνακα

Έννοια	Τύπος	Ενότητα
Wiener-Khinchin (forward)	$S_{X} (f) = F {R_{X} (τ)} = \int R_{X} (τ) e^{- j 2 π f τ} d τ$	§2
Wiener-Khinchin (inverse)	$R_{X} (τ) = \int S_{X} (f) e^{+ j 2 π f τ} df$	§2
Συνολική ισχύς	$P_{X} = R_{X} (0) = \int S_{X} (f) df$	§4
Properties	$S_{X} \in R$ , $S_{X} (- f) = S_{X} (f)$ , $S_{X} \geq 0$	§5 (Bochner)
ESD γέφυρα	$F {R_{x} (τ)} = ∣ X (f) ∣^{2}$ (energy signal)	§3
Cross-PSD	$S_{X, Y} (f) = F {R_{X, Y} (τ)}$ (γενικά μιγαδική)	§9
Συνέλιξη ΓΧΑ output	$Y (t) = X (t) * h (t)$	§7α
$R_{Y}$ μηχανή	$R_{Y} (τ) = R_{X} (τ) * h (τ) * h (- τ)$	§7β
$S_{Y}$ μηχανή (⚠️ must-learn)	$S_{Y} (f) = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f)$	§7γ
Output ισχύς ΓΧΑ	$P_{Y} = R_{Y} (0) = \int ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f) df$	§7γ
Two-sided convention	$S_{N} (f) = N_{0} /2$ για λευκό θόρυβο	§5

13. Εξάσκηση — πέντε προβλήματα + δύο νέα

0 / 7 λυμένα

Πριν λύσεις τα προβλήματα, σταμάτα και ρώτησε τον εαυτό σου: «ποια κατεύθυνση θα δουλέψω — από $R_{X}$ προς $S_{X}$ ή ανάποδα; Είναι η ΓΧΑ-έξοδος μηχανή προφανής εφαρμογή ή χρειάζομαι κάποια ταυτότητα του τυπολογίου;» Η αναγνώριση της κατεύθυνσης είναι το 90% της λύσης.

14. Ανακάλεσε — drills

Βάλε τα βήματα στη σωστή σειρά

Βάλε στη σωστή σειρά τα 5 βήματα της αλυσίδας ΓΧΑ-output — από είσοδο WSS ΤΔ σε output PSD.

Σύρε τις γραμμές για αναδιάταξη — ή χρησιμοποίησε τα βελάκια .

1.
Συνέλιξη στο time-domain: $Y (t) = X (t) * h (t)$ .
2.
Output PSD: $S_{Y} (f) = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f)$ (⚠️ must-learn, δεν δίνεται στο τυπολόγιο).
3.
Η είσοδος είναι WSS ΤΔ $X (t)$ με γνωστή $R_{X} (τ)$ ή $S_{X} (f)$ .
4.
Διπλή συνέλιξη της $R_{X}$ : $R_{Y} (τ) = R_{X} (τ) * h (τ) * h (- τ)$ .
5.
FT των δύο πλευρών χρησιμοποιώντας $F {h (- τ)} = H^{*} (f)$ .

Συμπλήρωσε τα κενά

Συμπλήρωσε τα κενά της WK μηχανής. Όλα τα blanks αναφέρονται σε γνωστές ταυτότητες της σελίδας — χωρίς να ξανακοιτάς.

Forward WK:

S_{X} (f) = F {

}

. Inverse WK με τ=0:

P_{X} = R_{X} (0) = \int

. Output PSD:

S_{Y} (f) =

. PSD φυσικά νόημα: είναι . Bochner: για WSS . Random-phase cosine:

R_{X} (τ) = (A^{2} /2) cos (2 π f_{0} τ) \Rightarrow S_{X} (f) =

Ανακάλεσε από μνήμη

Από μνήμη, **ξαναχτίσε** την αλυσίδα παραγωγής: ξεκίνα από $Y = X * h$ και κατάληξε στο $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ . Σου ζητείται μόνο το **σκελετό** των βημάτων (3-4 γραμμές), όχι όλη η αλγεβρική παραγωγή. Όταν τελειώσεις, αποκάλυψε και σύγκρινε.

15. Αναγνώρισε — πώς θα δεις την PSD σε εξέταση

Πώς θα το αναγνωρίσεις

Αν δεις στην εκφώνηση

«φασματική πυκνότητα ισχύος»
«ΦΠΙ»
«PSD»
«λευκός θόρυβος»
«kT/2»
«N₀/2»
«thermal noise»
«φέρεται μέσα από φίλτρο»
«output ισχύς μετά το φίλτρο»
«noise floor»
«Wiener-Khinchin»
«autocorrelation της εξόδου»
«συσχέτιση εξόδου ΓΧΑ»

Αν δεις PSD-ορολογία, σχεδόν πάντα ζητείται μία από τρεις μηχανές της σελίδας:

Forward WK — δίνεται $R_{X} (τ)$ , ζητείται $S_{X} (f)$ . Αναγνώρισε FT pair: rect ↔ sinc, cos ↔ impulses, δ ↔ flat (τυπολόγιο p.1) · exponential ↔ Lorentzian (⚠️ must-learn — δεν δίνεται στο τυπολόγιο).
Inverse WK + ολοκλήρωμα — δίνεται $S_{X} (f)$ , ζητείται $P_{X}$ (συνολική ή ζώνης). Ολοκλήρωσε την PSD πάνω στη ζώνη που ζητείται.
ΓΧΑ output PSD — δίνεται input PSD + $∣ H (f) ∣^{2}$ , ζητείται output PSD ή $P_{Y}$ . Πολλαπλασιασμός στο frequency domain, μετά ολοκλήρωση αν χρειάζεται ισχύς.

Σ/Λ-παγίδες: «λευκός θόρυβος = Gaussian», «αν $R_{X} < 0$ τότε $S_{X} < 0$ », «η φάση του φίλτρου επηρεάζει την output PSD». Όλες ΛΑΘΟΣ — δες τα aντίστοιχα ExamProblems της §13.

Πού εμφανίζεται στα παλιά θέματα

16. Πού θα χρειαστείς την PSD στις επόμενες σελίδες

/noise/sources — ο θερμικός θόρυβος ορίζεται μέσω PSD. Όλη η δουλειά εκεί είναι «PSD identity για διαφορετικές πηγές» (resistor, antenna, amplifier).
/noise/white-noise — λευκός = επίπεδη PSD. Παράγωγα: $R_{X} (τ) = (N_{0} /2) δ (τ)$ , $P_{X} = \infty$ θεωρητικά, $N_{0} B$ μετά από LPF.
/noise/through-filters — καθαρή εφαρμογή της §7-§8 μηχανής. Όλη η σελίδα είναι παραδείγματα του $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ .
/noise/bandpass — bandpass noise → I/Q decomposition $n (t) = n_{I} (t) cos (2 π f_{c} t) - n_{Q} (t) sin (2 π f_{c} t)$ , με PSD-arithmetic για κάθε component.
/am/modulator-demodulator — SNR εισόδου = $P_{s} / P_{n}$ όπου $P_{n} = \int S_{n} (f) df$ μέσα στο bandwidth του receiver.
/fm/in-noise — το «τριγωνικό» output noise PSD $S_{n}^{out} (f) = N_{0} f^{2} / A_{c}^{2}$ μέσα σε $∣ f ∣ \leq W$ προκύπτει από την $∣ H_{disc} ∣^{2} = (2 π f / A_{c})^{2}$ μηχανή — δίνει το χαρακτηριστικό FM gain $3 β^{2} (β + 1)$ .
/foundations/fourier-transform §10 — η αρχική ESD ταυτότητα που γενικεύσαμε εδώ. Η §10 του fourier-transform είναι ο deterministic precursor αυτής της σελίδας.

17. Συμπύκνωσε — όλη η σελίδα

Συμπύκνωσε όλο το κεφάλαιο

Λέξεις-κλειδιά

PSD = ΦΠΙ = F{R_X(τ)}
Wiener-Khinchin: forward + inverse
P_X = R_X(0) = ∫S_X df
S_X(f) ≥ 0 (Bochner)
S_X(f) real, even
W/Hz (Watt per Hz)
ESD γέφυρα: |X(f)|² για energy
S_Y(f) = |H(f)|² S_X(f)
R_Y = R_X * h * h(-τ)
Two-sided: N_0/2 για λευκό
rect ↔ sinc στις 4 περιπτώσεις
Lorentzian ↔ exponential R_X

Βήματα

Πριν αγγίξεις τη σελίδα: επιβεβαίωσε ότι η ΤΔ είναι WSS. Αν δεν είναι, δεν έχεις PSD.
Αν δίνεται R_X, εφαρμόζεις forward WK: αναγνώρισε FT pair — rect/sinc/cos/δ στο τυπολόγιο, exponential↔Lorentzian must-learn.
Αν δίνεται S_X, εφαρμόζεις inverse WK (ή recognize pair) για R_X, μετά τ=0 για P_X.
Αν ζητείται ισχύς σε ζώνη: ∫_band S_X df, με προσοχή στη two-sided convention (διπλάσιες ζώνες).
Αν περνάει μέσα από ΓΧΑ: εφάρμοσε S_Y = |H|² S_X κατευθείαν στο frequency domain — αποφεύγεις τη διπλή συνέλιξη.
Sanity checks: P_X ≥ 0; S_X(-f) = S_X(f); R_X(0) = P_X.

Η συχνότερη παγίδα

Τρεις διακριτές παγίδες: (α) «

R_{X} < 0

⇒

S_{X} < 0

» — ΛΑΘΟΣ, Bochner εξασφαλίζει

S_{X} \geq 0

ανεξάρτητα. (β) «λευκός θόρυβος = Gaussian» — ΛΑΘΟΣ, λευκό αναφέρεται σε PSD-σχήμα, Gaussian σε amplitude distribution. (γ) «η φάση του φίλτρου επηρεάζει output ισχύ» — ΛΑΘΟΣ, μόνο

∣ H ∣^{2}

εμφανίζεται στη μηχανή εξόδου ΓΧΑ.

Τι μάθαμε

Για WSS ΤΔ, ορίζεται PSD $S_{X} (f) = F {R_{X} (τ)}$ — η FT της αυτοσυσχέτισης.
Wiener-Khinchin: forward + inverse FT pair για $R_{X} \leftrightarrow S_{X}$ . Γενικεύει την ντετερμινιστική ESD ταυτότητα $F {R_{x}} = ∣ X (f) ∣^{2}$ .
Properties: $S_{X} \in R$ , άρτια, non-negative (Bochner). Συνολική ισχύς $P_{X} = R_{X} (0) = \int S_{X} df$ .
AutocorrelationViz §6: 4 canonical pairs (white, cosine, lowpass, bandpass) — visualize την time-frequency δυϊκότητα.
ΓΧΑ μηχανή (§7): $R_{Y} = R_{X} * h * h (- τ)$ στο time domain, $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ στο frequency domain. Η φάση του H δεν παίζει ρόλο.
NoiseFilterShapingViz §8: ιδανικό LPF/BPF + RC δείχνουν τη μηχανή $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ σε action.
Εφαρμογές: όλη η Noise group (sources, white, through-filters, bandpass) χρησιμοποιεί αυτές τις 4 ταυτότητες ως καθημερινό λεξιλόγιο.

🎯 Κλείνει υπόσχεση από /foundations/fourier-transform §10 — η deterministic Wiener-Khinchin έγινε εδώ η random-process generalization.

Επόμενο βήμα — η ομάδα Noise

Έχουμε ολοκληρώσει τη Randomness ομάδα (5/5 σελίδες): από /randomness/why (γιατί), /randomness/random-variables (μηχανή ΤΜ), /randomness/random-processes (μηχανή ΤΔ), /randomness/stationarity (WSS + ergodicity), μέχρι την παρούσα PSD.

Από εδώ, κάθε page της Noise group εφαρμόζει αυτές τις 4 ταυτότητες:

/noise/sources — οι πηγές θορύβου (θερμικός, shot, flicker) ορίζονται μέσω PSD.
/noise/white-noise — λευκός = επίπεδη PSD, δ-spike $R_{X}$ .
/noise/through-filters — εξάσκηση πάνω στην $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ μηχανή.
/noise/bandpass — bandpass θόρυβος → I/Q components για AM/FM analyses.
/noise/snr — SNR ορισμός μέσω $P_{s} / P_{n}$ , όπου τα δύο noise-ισχύς υπολογίζονται από PSD.

Όλα αυτά είναι εφαρμογές του Wiener-Khinchin και της μηχανής $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ — όχι νέοι ορισμοί. Αν έχεις απορία στη μηχανή, γύρισε εδώ.

Τελείωσες αυτή τη σελίδα;

Φόρτωση σχολίων…