PSD — Power Spectral Density

Στο FT chapter §10 είδαμε ότι για ντετερμινιστικά energy signals, η autocorrelation $R_x(\tau )=\int x(t)x(t+\tau )dt$ έχει FT ίση με την Energy Spectral Density $|X(f){|}^2$:

Αλλά για random processes (ή genericά power signals), το $X(f)=\mathcal{F}\{x(t)\}$ δεν είναι καλά ορισμένο — γιατί το $x(t)$ είναι μια συγκεκριμένη realization, και διαφορετικές realizations δίνουν διαφορετικά $X(f)$.

Σε αυτό το κεφάλαιο γενικεύουμε την Wiener-Khinchin για WSS random processes:

1. Ορίζουμε την Power Spectral Density (PSD) $S_X(f)$.
2. Wiener-Khinchin theorem — $S_X(f)=\mathcal{F}\{R_X(\tau )\}$.
3. Ιδιότητες της PSD.
4. Παραδείγματα — λευκός θόρυβος, sinusoid, lowpass, bandpass.
5. Πώς διαβάζουμε ισχύ από την PSD.

1. Από ESD σε PSD — γιατί χρειαζόμαστε νέο εργαλείο

Για ντετερμινιστικό σήμα έχουμε ενέργεια:

Αλλά για ένα random process WSS με σταθερή ισχύ, η συνολική ενέργεια είναι άπειρη ($\int |X{|}^{2}dt=\infty$) — άρα δεν μπορούμε να ορίσουμε ESD.

Αντί για ενέργεια χρησιμοποιούμε μέση ισχύ:

(Από WSS, σταθερή σε όλα τα t.)

Η PSD $S_X(f)$ είναι η κατανομή αυτής της ισχύος στις συχνότητες:

2. Wiener-Khinchin theorem — η σύνδεση R_X ↔ S_X

Το θεμελιώδες αποτέλεσμα:

Σημαντικό: η PSD είναι η FT της autocorrelation — όχι του ίδιου του σήματος. Η αυτοσυσχέτιση είναι το «μη-τυχαίο πρόσωπο» του random process — όλη η spectral information κρύβεται εκεί.

🎯 Κλείνει υπόσχεση από /foundations/fourier-transform §10: εκεί ορίσαμε τη ντετερμινιστική ESD $|X(f){|}^2$ ως FT της autocorrelation. Εδώ εκτείνουμε στο random/power case: η ίδια FT-ταυτότητα ισχύει με PSD αντί ESD.

Διαισθητική απόδειξη

Τυπική απόδειξη: ορίζουμε truncated process $X_T(t)=X(t)\cdot \mathrm{rect}(t/2T)$ και υπολογίζουμε $E[|X_T(f){|}^2]/(2T)$. Παίρνοντας $T\to \infty$ προκύπτει η Wiener-Khinchin.

Διαισθητικά: η FT της autocorrelation σπάει τη μνήμη του process σε «πόσο γρήγορα ξεχνάει». Αν $R_X(\tau )$ είναι «πλατιά» (αργή λήθη), τότε $S_X(f)$ είναι «στενή» (χαμηλή frequency content). Αν $R_X(\tau )$ είναι δ-spike (καμία μνήμη — λευκός θόρυβος), τότε $S_X(f)$ είναι flat (όλες οι συχνότητες ίδιες ισχύς).

3. Ιδιότητες της PSD

Η μη-αρνητικότητα $S_X(f)\ge 0$ είναι κρίσιμη — σημαίνει ότι η PSD μετρά πραγματική ισχύς σε κάθε συχνότητα. Δεν μπορεί να είναι αρνητική, διαφορετικά «θα έβγαζες ενέργεια» από συχνότητες, που είναι αδύνατο φυσικά.

4. Παραδείγματα PSD

Πάμε να συνδέσουμε γνωστά autocorrelation patterns με PSDs:

(α) Λευκός θόρυβος

$R_X(\tau )=(N_0/2)\delta (\tau )$ → $S_X(f)=N_0/2$ (επίπεδη).

Όνομα: «λευκός» γιατί όλες οι συχνότητες έχουν ίδια ισχύ, όπως το λευκό φως. Στην πράξη, δεν υπάρχει αληθινά λευκός θόρυβος (θα είχε άπειρη ισχύ) — ο θόρυβος που μετράμε είναι «λευκός σε εύρος που μας ενδιαφέρει» (συνήθως μέχρι κάποια GHz).

(β) Τυχαίας φάσης sinusoid

$R_X(\tau )=(A^2/2)\cos (2\pi f_0\tau )$ → $S_X(f)=(A^2/4)[\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)]$.

Συνέπεια: όλη η ισχύς $A^2/2$ συγκεντρώνεται σε δύο impulses στις $\pm f_0$. Λογικό — ο sinusoid έχει συγκεκριμένη συχνότητα.

(γ) Lowpass-bandlimited θόρυβος

Αν $S_X(f)=N_0/2$ για $|f|\le B$ και 0 αλλιώς (ιδανικό LPF στον λευκό θόρυβο), τότε

(η συμμετρική FT του rect είναι sinc).

Διαβάζεται: ο θόρυβος μετά από LPF έχει «κάποια μνήμη» — η αυτοσυσχέτιση πέφτει σε αργό sinc, όχι σε δ-spike. Όσο μικρότερο το $B$, τόσο πιο πλατύ το sinc — δηλαδή ο θόρυβος γίνεται πιο «αργός».

(δ) Bandpass θόρυβος

PSD επίπεδο σε ζώνη $[f_c-B,f_c+B]$ (και συμμετρικά αρνητική) → autocorrelation:

Δηλαδή lowpass-style envelope πολλαπλασιασμένο με carrier — όπως η bandpass εκδοχή ενός sinc.

5. Συνολική ισχύς από την PSD

Πρακτική χρήση: σε FM-in-noise υπολογισμούς, όπου ο θόρυβος μετά τον discriminator έχει $S_n(f)=N_0{f}^2/A_c^2$ μέσα σε $|f|\le W$:

Αυτό ακριβώς εμφανίστηκε στο /fm/in-noise Section 4.

6. Cross-PSD

Για δύο jointly WSS processes $X(t),Y(t)$:

Γενικά μιγαδική (σε αντίθεση με αυτο-PSD που είναι real-even). Ικανοποιεί $S_{XY}(f)=S_{YX}^{\ast }(f)$.

Αν τα δύο processes είναι uncorrelated ($R_{XY}=0$), τότε $S_{XY}(f)=0$ — δηλαδή δεν υπάρχει συσχέτιση σε καμία συχνότητα.

7. PSD μετά από LTI φίλτρο

Πανίσχυρο αποτέλεσμα. Αν περάσεις WSS process $X(t)$ με PSD $S_X(f)$ μέσα από LTI φίλτρο με transfer function $H(f)$, η έξοδος $Y(t)$ είναι WSS και η PSD της είναι:

Παρατηρήσεις:

• Η φάση του $H(f)$ δεν εμφανίζεται — μόνο το μέτρο. Λογικό, αφού η PSD μετρά μόνο ισχύς.
• Αυτή η εξίσωση είναι το βασικό εργαλείο για να αναλύσεις πώς ο θόρυβος αλλάζει μέσα από φίλτρα — που είναι όλη η δουλειά του Noise group που έρχεται.

Παράδειγμα: ιδανικό LPF με cutoff $B$ έχει $|H(f){|}^2=1$ για $|f|\le B$ και 0 αλλιώς. Αν εισέρχεται λευκός θόρυβος ($S_X=N_0/2$):

Output power:

8. Worked example — ισχύς θορύβου σε συγκεκριμένη ζώνη

9. Σύνοψη formulas

Εξάσκηση

Πέντε ερωτήσεις πάνω στο PSD και τη σχέση του με autocorrelation και LTI φίλτρα.

Έχουμε ολοκληρώσει την Randomness ομάδα. Επόμενα βήματα: Noise group — εφαρμογή όλων αυτών σε θερμικό θόρυβο, λευκό θόρυβο, θόρυβος μέσα από φίλτρα, και SNR.