Σήματα

Στο intro είδαμε ότι κάθε communication system έχει ένα σήμα να ταξιδεύει μέσα του. Σε αυτό το κεφάλαιο θα κοιτάξουμε τα ίδια τα σήματα προσεκτικά. Στο τέλος, αν σου δείξω ένα σήμα θα μπορείς να μου πεις χωρίς δισταγμό: συνεχές ή διακριτό; Πραγματικό ή μιγαδικό; Άρτιο, περιττό, ή τίποτα από τα δύο; Αιτιατό; Περιοδικό; Σήμα ενέργειας ή σήμα ισχύος; Αυτές είναι οι ερωτήσεις που θα συναντάς σε κάθε εξέταση.

Τι είναι ένα σήμα;

Ξέχνα τους ορισμούς για ένα λεπτό. Ένα σήμα είναι:

Οτιδήποτε αλλάζει — ή θα μπορούσε να αλλάζει — σε σχέση με κάτι άλλο. Συνήθως, σε σχέση με τον χρόνο.

Στα μαθηματικά θα τα γράφουμε x(t), που σημαίνει «η τιμή του σήματος x τη χρονική στιγμή t». Καμία μαγεία — απλώς συμβολισμός.

Επίσης, ένα σήμα δεν χρειάζεται να εξαρτάται από τον χρόνο. Μια εικόνα είναι σήμα δύο μεταβλητών (x, y). Σε αυτό το μάθημα, όμως, εστιάζουμε σε σήματα του χρόνου.

Συνεχούς και διακριτού χρόνου

Πρώτος μεγάλος διαχωρισμός: ο άξονας του χρόνου μπορεί να είναι συνεχής ή διακριτός.

• Αν το σήμα ορίζεται για κάθε χρονική στιγμή → continuous-time σήμα. Γράφουμε x(t).
• Αν ορίζεται μόνο σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές (π.χ. κάθε ms) → discrete-time σήμα. Γράφουμε x[n] — με αγκύλες.

Γιατί νοιαζόμαστε; Ο φυσικός κόσμος είναι συνεχής, αλλά οι υπολογιστές δουλεύουν μόνο με διακριτά. Η γέφυρα είναι το sampling, που θα δούμε αναλυτικά σε ξεχωριστό κεφάλαιο.

Αναλογικά και ψηφιακά

Δεύτερος διαχωρισμός: ο άξονας του πλάτους (τιμές που μπορεί να πάρει το σήμα) μπορεί κι αυτός να είναι «συνεχής» ή «διακριτός».

• Αν το πλάτος μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή → analog.
• Αν το πλάτος επιτρέπεται να πάρει μόνο πεπερασμένες τιμές (π.χ. 0 V ή 5 V) → digital.

Αυτό που κρατάει τελικά το hard disk σου ή η μνήμη του DSP σου (Digital Signal Processor — ψηφιακός επεξεργαστής σήματος) είναι το κάτω-δεξιά τεταρτημόριο: διακριτός χρόνος + ψηφιακό πλάτος. Αυτή η διπλή διαδικασία (sample + quantize) είναι το ψηφιοποιείν ένα αναλογικό σήμα.

Δομικοί λίθοι: τα σήματα που θα δούμε ξανά και ξανά

Εδώ χτίζουμε λεξιλόγιο. Κάθε ένα από τα παρακάτω σήματα θα εμφανιστεί δεκάδες φορές στα επόμενα κεφάλαια — Fourier, modulation, sampling, παντού. Δεν είναι κάτι να αποστηθίσεις. Είναι «οι μελλοντικοί συνεργάτες σου» που πρέπει να αναγνωρίζεις με την πρώτη ματιά.

Cosines / sinusoidal signals

Η γενική μορφή ενός cosine:

Τρεις παράμετροι, καθεμία με σαφές νόημα:

• A — το πλάτος (amplitude). Πόσο ψηλά πάει το σήμα.
• f — η συχνότητα (Hz). Πόσοι κύκλοι ανά δευτερόλεπτο.
• φ — η φάση (rad). Από πού «ξεκινάει» ο κύκλος. Ορίζει τον χρονικό μηδενισμό.

Από τα τρία, η φάση είναι αυτή που μπερδεύει τους πιο πολλούς. Της δίνουμε τη δική της παράγραφο αμέσως μετά.

Η περίοδος είναι το αντίστροφο της συχνότητας: $T=1/f$.

Συχνά γράφουμε επίσης γωνιακή συχνότητα $\omega =2\pi f$ (rad/s). Γιατί το $2\pi$; Επειδή ένας πλήρης κύκλος του cosine αντιστοιχεί σε $2\pi$ rad. Άρα το $\omega =2\pi f$ είναι «πόσα rad διανύει ο κύκλος ανά δευτερόλεπτο».

Φάση

Δύο cosines με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα μπορούν να φαίνονται εντελώς διαφορετικοί αν έχουν διαφορετική φάση: ο ένας έχει peak στο $t=0$, ο άλλος ένα τέταρτο της περιόδου νωρίτερα, ή ίσως είναι ανεστραμμένος. Η φάση $\varphi$ στο $\cos (2\pi ft+\varphi )$ ορίζει πότε ξεκινάει ο κύκλος (σε rad), όχι πόσο γρήγορα ή πόσο ψηλά.

Phase ↔ time shift. Η φάση είναι ισοδύναμη με μια χρονική ολίσθηση:

Θετική φάση → αρνητικό $t_0$ → ολίσθηση αριστερά (κύκλος ξεκίνησε «νωρίτερα»). Σημαντικό όμως: η μετατροπή εξαρτάται από το $f$. Η ίδια φάση $\varphi$ αντιστοιχεί σε διαφορετικό $t_0$ σε διαφορετικές συχνότητες — γι' αυτό λέμε ότι η φάση είναι «εξαρτώμενη από τη συχνότητα». Αν λοιπόν ένα σύστημα προσθέτει διαφορετική φάση σε κάθε συχνότητα, οι διάφορες συνιστώσες ενός σήματος ολισθαίνουν διαφορετικά στον χρόνο και το σχήμα του σήματος παραμορφώνεται· αυτό το φαινόμενο θα το συναντήσουμε αργότερα με το όνομα phase distortion — δεν χρειάζεται να ξέρεις τίποτα γι' αυτό προς το παρόν.

Connection to phasors. Λίγο πιο κάτω βλέπουμε τα complex exponentials σαν διανύσματα που στρίβουν στο μιγαδικό επίπεδο — αυτά τα στριφογυριστά διανύσματα τα λέμε phasors (μην αγχωθείς αν δεν λέει κάτι ακόμα η λέξη, στην επόμενη παράγραφο τα χτίζουμε από την αρχή). Η φάση εκεί είναι η αρχική γωνία του phasor στο $t=0$: το $f$ ελέγχει πόσο γρήγορα στρίβει, το $\varphi$ ελέγχει το από πού ξεκινάει.

Μονάδες. Στους τύπους πάντα rad· σε διαγράμματα συχνά μοίρες. Μετατροπή: $180°=\pi \text{rad}$.

Στο κεφάλαιο για τα συστήματα θα δούμε ότι ένα LTI σύστημα προσθέτει σε κάθε συχνότητα μια δική της φάση $\angle H(f)$ — ακριβώς αυτή που μόλις ορίσαμε, ως χρονική ολίσθηση μετρημένη σε rad.

Complex exponentials e^(jωt)

Το $e^{j\omega t}$ — ένα complex exponential που εξαρτάται από τον χρόνο — δεν είναι κάτι μυστήριο. Είναι ένα σημείο που γυρίζει γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο, με γωνιακή ταχύτητα $\omega$. Όταν προβάλλεις την κίνηση στον πραγματικό άξονα παίρνεις το $\cos (\omega t)$, όταν προβάλλεις στον φανταστικό παίρνεις το $\sin (\omega t)$ — δύο σήματα από την ίδια κίνηση.

«Γιατί τα μελετάμε σαν σήματα;» Δύο λόγοι:

1. Cosines γράφονται σαν άθροισμα δύο complex exponentials: $\cos (\omega t)=\frac{1}{2}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})$. Ολόκληρες σελίδες αλγέβρας με sin/cos μετατρέπονται σε δύο γραμμές με εκθετικά. (Για το γιατί αυτή η ταυτότητα ισχύει, δες Reference · Euler.)
2. Είναι η «μητρική γλώσσα» των LTI συστημάτων. Στο επόμενο κεφάλαιο θα δούμε ότι ένα LTI σύστημα παίρνει $e^{j\omega t}$ μέσα και βγάζει το ίδιο $e^{j\omega t}$ πολλαπλασιασμένο με έναν μιγαδικό αριθμό. Αυτή η ιδιότητα είναι ο λόγος που υπάρχει καν ο Fourier transform.

Δεν χρειάζεται να εμβαθύνεις εδώ — αρκεί να αναγνωρίζεις τη μορφή και να μην παγώνεις όταν τη βλέπεις σε κάποιον τύπο. Στην επόμενη ενότητα (I/Q αναπαράσταση) θα δούμε πώς η ίδια ιδέα ξεμπλέκει κάθε πραγματικό σήμα bandpass σε δύο πραγματικά «κανάλια».

Unit step u(t)

Ο διακόπτης. Στιγμή $t=0$ ανάβει το σήμα — πριν ήταν 0, τώρα είναι 1, και μένει εκεί. Το χρησιμοποιούμε σαν «δείκτη ότι κάτι ξεκίνησε».

Π.χ. ένας ραδιοφωνικός σταθμός που εκπέμπει ένα cosine μόνο μετά τις 8:00 είναι $\cos (2\pi ft)\cdot u(t-t_8)$. Το $u$ τον «ανοίγει».

Ορθογώνιος παλμός Π(t/T)

Ένα ορθογώνιο πλάτους $T$ και ύψους 1, κεντραρισμένο στο 0. Ο πιο χρήσιμος «πεπερασμένης διάρκειας» παλμός. Είναι στο επίσημο τυπολόγιο — δεν χρειάζεται να τον αποστηθίσεις, αλλά χρειάζεται να τον αναγνωρίζεις αμέσως.

Τριγωνικός παλμός Λ(t/T)

Ένα τρίγωνο ύψους 1 στο μηδέν, βάσης $2T$. Είναι κι αυτός στο τυπολόγιο.

Sinc function

Φθίνουσες ταλαντώσεις γύρω από το 0. Φαίνεται «παράξενο» αλλά είναι πανταχού παρόν: ο Fourier transform του ορθογώνιου παλμού είναι ένα sinc. Και αντίστροφα. Έρχεται με το θεώρημα δειγματοληψίας ως ιδανικό φίλτρο επανασύνθεσης. Για τώρα, απλά εξοικειώσου με το σχήμα του.

Μοναδιαία ώση δ(t) — η πιο λεπτή

Πώς να περιγράψεις «κάτι που συμβαίνει στιγμιαία αλλά αφήνει συγκεκριμένη επίδραση»; Π.χ. το χτύπημα στο τύμπανο, το κρότο μιας πόρτας, ένα φως που αναβοσβήνει για 0 χρόνο. Στιγμιαίο, αλλά με σαφές μέγεθος ενέργειας.

Το τέχνασμα της κατασκευής (slides 30-33):

1. Ξεκίνα με ένα ορθογώνιο πλάτους $ϵ$ και ύψους $1/ϵ$. Παρατήρησε ότι το εμβαδό του είναι πάντα 1 (πλάτος × ύψος):

2. Στένεψε το $ϵ$ προς το 0. Ο παλμός γίνεται όλο και ψηλότερος και στενότερος, αλλά το εμβαδό μένει 1.
3. Στο όριο $ϵ\to 0$ έχουμε το δ(t): «άπειρα στενός, άπειρα ψηλός, με εμβαδό 1».

Η σημαντικότερη ιδιότητα του δ(t) είναι η σαρωτική (sifting property):

Σε απλή Ελληνική: το δ «σαρώνει» το $x(t)$ και επιστρέφει την τιμή του στο $t_0$. Αυτό φαίνεται μυστηριώδες τώρα. Στο επόμενο κεφάλαιο θα δούμε ότι αυτή ακριβώς η ιδιότητα γίνεται η ραχοκοκαλιά της convolution και της impulse response ενός LTI συστήματος.

(Παρατήρησε ότι το $\delta (t-t_0)$ μέσα στο ολοκλήρωμα είναι απλώς η δ μετατοπισμένη — ένα standard time shift, όπως θα δούμε στους μετασχηματισμούς λίγο πιο κάτω.)

Βασικές αλγεβρικές ιδιότητες (slide 33):

Η scaling property έχει διαισθητική εξήγηση: αν συμπιέσεις τη δ κατά $a$, το «πλάτος» της βάσης μικραίνει κατά $a$ — για να μείνει το εμβαδό 1, το ύψος μεγαλώνει κατά $a$. Άρα η νέα δ είναι $1/|a|$ της παλιάς (όχι $a$ φορές).

I/Q αναπαράσταση — η canonical form

Μέχρι τώρα μάθαμε τους πραγματικούς δομικούς λίθους (cos, rect, δ, ...) και είδαμε έναν μιγαδικό — το $e^{j\omega t}$. Η ενότητα αυτή κάνει το επόμενο βήμα: συνδέει τα δύο μέσω της canonical I/Q form, που είναι η γέφυρα προς όλο το modulation chapter.

Αυτή είναι η πιο φορτωμένη ιδέα του κεφαλαίου. Παρουσιάζεται στα slides 13-16, ΠΡΙΝ από το modulation. Γιατί; Επειδή κάθε downstream κεφάλαιο (AM, DSB, SSB, FM, PM) είναι διαφορετική επιλογή ενός ζεύγους $(x_I(t),x_Q(t))$ που μπαίνει στον ίδιο αλγεβρικό τύπο. Αξίζει χρόνο τώρα.

Πραγματικά και Μιγαδικά Σήματα

Στο πιο βασικό επίπεδο (slide 13):

• Πραγματικά σήματα παίρνουν τιμές στο $\mathbb{R}$ — οτιδήποτε μετράς στον φυσικό κόσμο.
• Μιγαδικά σήματα παίρνουν τιμές στο $\mathbb{C}$ — μαθηματικές βολικότητες. Δεν «εκπέμπεις» μιγαδικούς αριθμούς στην κεραία, αλλά τους χρησιμοποιείς στους υπολογισμούς.

Το slide 13 το αιτιολογεί: «Τα μιγαδικά σήματα είναι χρήσιμα στα συστήματα επικοινωνιών καθώς περιέχουν διπλάσια πληροφορία (πλάτος και φάση).» Κάθε μιγαδικό μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πραγματικών, ή σε πολικές συντεταγμένες σαν $|x(t)|$ και $\angle x(t)$.

Το μιγαδικό φέρον $A{e}^{j2\pi f_{c}t}$ (slide 15)

Ξεκινάμε με το απλούστερο μιγαδικό σήμα — ένα εκθετικό φέρον σταθερού πλάτους $A$ και συχνότητας $f_c$. Από τον τύπο Euler:

• $x_I(t)$ — συμφασική (in-phase) συνιστώσα — το πραγματικό μέρος.
• $x_Q(t)$ — ορθογώνια (quadrature) συνιστώσα — το φανταστικό μέρος.

Το μέτρο και η φάση:

Δηλαδή — ένα phasor μήκους $A$ που στρίβει με γωνιακή ταχύτητα $2\pi f_c$. Η in-phase συνιστώσα είναι η Re-προβολή του στο μιγαδικό επίπεδο, η quadrature η Im-προβολή.

Το πραγματικό bandpass σήμα — η πραγματικά χρήσιμη μορφή (slide 16)

Όλο το παραπάνω ήταν με σταθερό πλάτος και γραμμική φάση. Σε ένα πραγματικό communications σήμα και τα δύο κουνιούνται αργά γύρω από το φέρον:

Αναπτύσσοντας με την τριγωνομετρική ταυτότητα $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ (όπου $\alpha =2\pi f_{c}t$, $\beta =\theta (t)$):

Αυτή είναι η canonical I/Q αναπαράσταση. Δύο πραγματικά «κανάλια» $x_I(t),x_Q(t)$ — αργά μεταβαλλόμενες περιβάλλουσες βάσης ζώνης — που πολλαπλασιάζονται με δύο ορθογώνιους φέροντες $\cos$ και $\sin$, και αθροίζονται με το $-$ στη μέση. Όλο το «πλάτος + φάση» του $x(t)$ έχει σπάσει σε δύο πραγματικά κανάλια.

Βασικοί μετασχηματισμοί σήματος

Έχουμε τη βιβλιοθήκη με τους δομικούς λίθους (§4) και την I/Q αναπαράσταση (§5) που τους κουμπώνει σε bandpass μορφή. Πριν τα συνθέσουμε σε κάτι μεγαλύτερο, χρειαζόμαστε πέντε standard «κουμπιά» για να τα μετακινούμε, να τα ζυγίζουμε, να τα αντιστρέφουμε και να τα συμπιέζουμε. Είναι μικρές πράξεις που εμφανίζονται παντού — στη συνέλιξη, στους Fourier, στη διαμόρφωση. Όταν τις διαβάζεις άνετα, τα επόμενα κεφάλαια κυλάνε εύκολα.

Amplitude scaling — A · x(t)

Πολλαπλασιάζοντας όλο το σήμα με έναν σταθερό αριθμό $A$ αλλάζει μόνο ο κάθετος άξονας. Δεν αλλάζει η χρονική του συμπεριφορά:

• $A>1$ → ψηλαίνει
• $0<A<1$ → χαμηλώνει
• $A<0$ → ανάκλαση γύρω από τον $x$-άξονα (αλλαγή προσήμου ταυτόχρονα με αλλαγή πλάτους)

Ένα cosine παραμένει cosine ίδιας συχνότητας — απλώς πιο ψηλό ή πιο χαμηλό.

Time shift — x(t − t₀)

Αντικαθιστούμε t με t − t₀ στο όρισμα. Το σήμα ολισθαίνει κατά μήκος του χρόνου.

Time reversal — x(−t)

Αντικαθιστούμε t με −t. Το σήμα καθρεφτίζεται γύρω από τον $y$-άξονα.

• Αν το $x(t)$ ήταν αιτιατό (μη μηδενικό μόνο για $t>0$), τότε το $x(-t)$ είναι μη-μηδενικό μόνο για $t<0$.
• Άρτια σήματα (όπως ο cosine) δεν αλλάζουν: $\cos (-t)=\cos (t)$.
• Περιττά σήματα (όπως ο sine) αλλάζουν πρόσημο: $\sin (-t)=-\sin (t)$.

(Αυτή η σύνδεση με άρτιο/περιττό αποτυπώνεται καθαρά στην ενότητα ταξινομίας λίγο πιο κάτω.)

Time scaling — x(at)

Αντικαθιστούμε t με at, όπου $a$ ένας μη-μηδενικός σταθερός αριθμός.

• $|a|>1$ → συμπίεση στον χρόνο. Το σήμα τρέχει πιο γρήγορα.
• $0<|a|<1$ → επέκταση στον χρόνο. Πιο αργά.
• $a<0$ → επιπλέον flip (όπως στο time reversal).

Κρατήσε αυτό για τα cosines: $\cos (2\pi ft)$ έχει συχνότητα $f$. Αν αντικαταστήσουμε t με at, παίρνουμε $\cos (2\pi fat)$ — δηλαδή νέα συχνότητα $|fa|$. Συμπίεση στον χρόνο = αύξηση της συχνότητας. Θα ξανασυναντήσουμε αυτό το ίδιο φαινόμενο σαν ιδιότητα του Fourier transform αργότερα.

Συνδυασμοί — η σειρά παίζει ρόλο

Συχνά συναντάμε «σύνθετα» ορίσματα όπως $x(at+b)$ ή $A\cdot x(-t+T)$. Πώς διαβάζονται;

Παράδειγμα 1. $x(2t-4)=x(2(t-2))$. Πρώτα συμπίεση κατά 2 (το σήμα τρέχει διπλά γρηγορότερα), μετά shift δεξιά κατά 2.

Παράδειγμα-κλειδί που εμφανίζεται στη συνέλιξη. Δες το $h(t-\tau )$ θεωρώντας το $\tau$ ως μεταβλητή και το $t$ ως σταθερά (γιατί η συνέλιξη ολοκληρώνει ως προς $\tau$ ενώ το $t$ είναι παγωμένο):

Ο συντελεστής του $\tau$ είναι $-1$. Άρα: πρώτα flip (από το πρόσημο μείον), μετά shift δεξιά κατά $t$. Αυτό είναι το «flip-and-slide» που θα δούμε στη συνέλιξη στο επόμενο κεφάλαιο. Αν το έχεις στο μυαλό σου από τώρα, η συνέλιξη δεν θα φαίνεται μαγική.

Worked example. Έστω $x(t)$ το τρίγωνο πλάτους 1, με βάση από 0 έως 2 και κορυφή στο 1. Σχεδίασε το $x(-t+3)$.

Λύση βήμα-βήμα:

• Ξαναγράφουμε: $x(-t+3)=x(-(t-3))$.
• Βήμα 1 — flip: βάση γίνεται από −2 έως 0, κορυφή στο −1.
• Βήμα 2 — shift δεξιά κατά 3: βάση γίνεται από 1 έως 3, κορυφή στο 2.

Δοκίμασε άλλους συνδυασμούς ζωντανά. Το παρακάτω viz σου επιτρέπει να σύρεις τα $A,a,b$ και να δεις βήμα-βήμα τι κάνει το pipeline. Η προεπιλογή «x(2t − 4)» είναι το Παράδειγμα 1 παραπάνω· «x(−t + 3)» είναι ο worked example. Άναψε το «naive path» toggle για να δεις τι θα είχε προκύψει αν είχες αλλάξει σειρά — ίδιο τελικό αποτέλεσμα, αλλά εντελώς διαφορετικά intermediates (όπου ξεκινά η σύγχυση).

Πώς ξεχωρίζουμε σήματα — ταξινομία

Με τους δομικούς λίθους στα χέρια μας, ας δούμε τις ετικέτες που κολλάμε σε κάθε σήμα. Κάθε ετικέτα απαντάει σε μια συγκεκριμένη «ναι/όχι» ερώτηση. Πριν μπούμε σε κάθε ετικέτα ξεχωριστά, δες πώς δουλεύουν όλες μαζί σε μια συλλογή σημάτων-παραδειγμάτων:

Πραγματικά / Μιγαδικά

Καλύφθηκαν στην ενότητα I/Q αναπαράσταση παραπάνω. Σύντομα: στις μετέπειτα ενότητες θα συναντήσεις παντού την I/Q μορφή — μιγαδική αναπαράσταση που βγάζει νόημα φυσικό όταν ξανασπάει σε δύο πραγματικά κανάλια.

Άρτια / Περιττά

(Όπως είδαμε στους μετασχηματισμούς, το $x(-t)$ είναι ένα time reversal. Ο διαχωρισμός άρτιου/περιττού είναι ακριβώς «τι κάνει αυτή η αντιστροφή»:)

• Άρτιο σήμα: $x(-t)=x(t)$. Συμμετρία γύρω από τον άξονα y. Ο cosine είναι άρτιος.
• Περιττό σήμα: $x(-t)=-x(t)$. Σημειακή συμμετρία γύρω από την αρχή. Ο sine είναι περιττός.
• Κάθε σήμα διασπάται σε άρτιο + περιττό μέρος (slide 18):

Αυτή η διάσπαση δεν είναι μαθηματικό κόλπο — απλοποιεί δεκάδες ολοκληρώματα στους υπολογισμούς Fourier συντελεστών (έρχεται).

Γιατί «κάθε σήμα»; Τα $x_e,x_o$ που ορίσαμε είναι σίγουρα άρτιο και περιττό (το δείξαμε πιο πάνω) και αθροίζονται στο $x$ — άρα μια τέτοια διάσπαση υπάρχει για οποιοδήποτε σήμα.

Γιατί «μοναδικά»; Ας υποθέσουμε ότι το ίδιο $x$ γράφεται με δύο τρόπους ως άρτιο + περιττό:

$x=x_e+x_o=x_e^{\prime }+x_o^{\prime }.$

Αφαιρώντας τις δύο εκφράσεις και μαζεύοντας τα άρτια στη μία πλευρά και τα περιττά στην άλλη, παίρνουμε $x_e-x_e^{\prime }=x_o^{\prime }-x_o$. Όμως η διαφορά δύο άρτιων σημάτων είναι άρτια, ενώ η διαφορά δύο περιττών είναι περιττή — οπότε αυτό το ένα και μοναδικό σήμα ($x_e-x_e^{\prime }$, που ισούται με το $x_o^{\prime }-x_o$) είναι ταυτόχρονα άρτιο και περιττό. Κι ένα σήμα που είναι και τα δύο ικανοποιεί $x(-t)=x(t)$ και $x(-t)=-x(t)$ μαζί, δηλαδή $x(t)=-x(t)$, άρα είναι παντού μηδέν. Συνεπώς $x_e-x_e^{\prime }=0$ και $x_o^{\prime }-x_o=0$, δηλαδή $x_e=x_e^{\prime }$ και $x_o=x_o^{\prime }$: οι δύο «διαφορετικές» διασπάσεις ήταν τελικά η ίδια. Νά γιατί το άρτιο και το περιττό κομμάτι ορίζονται μονοσήμαντα.

Αιτιατά / Μη αιτιατά

• Αιτιατό (causal) σήμα: $x(t)=0$ για κάθε $t<0$. Δηλαδή, ξεκινάει στο 0 ή αργότερα.
• Μη αιτιατό: έχει μη μηδενικές τιμές για $t<0$ (το σήμα «ξέρει το παρελθόν»).

Όλα τα σήματα που μπορείς πραγματικά να ηχογραφήσεις είναι αιτιατά — ξεκινούν τη στιγμή που πάτησες record. Πολλά «μαθηματικά» σήματα δεν είναι αιτιατά (π.χ. ένας cosine «από το αρχέγονο μέχρι το πάντα»), και αυτό είναι εντάξει στις αναλύσεις.

Αιτιοκρατικά / Τυχαία

• Deterministic (αιτιοκρατικό): περιγράφεται από τύπο. Δίνεις $t$, παίρνεις $x(t)$ ακριβώς. Π.χ. $\cos (2\pi \cdot 5t)$.
• Random (τυχαίο): οι τιμές δεν είναι προβλέψιμες από τύπο — μόνο στατιστικά. Θόρυβος, ομιλία (πριν την ξέρεις), χρηματιστηριακές τιμές.

Στο μάθημα θα δούμε πρώτα τα deterministic (παντού στις επόμενες ενότητες). Όταν φτάσουμε στο κεφάλαιο Randomness θα μάθουμε εργαλεία για τα τυχαία.

Περιοδικά / Μη περιοδικά

Ένα σήμα είναι περιοδικό αν υπάρχει $T>0$ τέτοιο ώστε $x(t)=x(t+T)$ για κάθε $t$. Το μικρότερο τέτοιο $T$ είναι η θεμελιώδης περίοδος.

Συνεχούς χρόνου: άθροισμα cosines (slide 10)

Άθροισμα δύο cosines $\cos ({\omega }_{1}t)+\cos ({\omega }_{2}t)$ είναι περιοδικό μόνο αν ο λόγος των περιόδων είναι ρητός αριθμός. Αν είναι άρρητος (π.χ. $\sqrt{2}$), δεν υπάρχει κοινή περίοδος.

Η παραγωγή στο slide 10:

— άρα $T_1/T_2=k_2/k_1$ πρέπει να γράφεται σαν λόγος ακεραίων. Ο boxed τύπος στο slide 10:

Διακριτού χρόνου: η αυστηρότερη συνθήκη (slides 11-12)

Στο διακριτό χρόνο η συνθήκη είναι ΠΙΟ αυστηρή και αυτό είναι ένα από τα πιο συχνά mishaps στις εξετάσεις. Από τη συνθήκη $x[n]=x[n+N]$ με $N\in {\mathbb{Z}}^{+}$:

— δηλαδή ο λόγος $2\pi /\omega =N/m$ πρέπει να είναι ρητός με ακέραιο αριθμητή N. Όχι «ρητός» σκέτο, ακέραιο N.

Το slide 11 δίνει το παράδειγμα $x[n]=\sin (4\pi n/13)$. Ας δούμε αναλυτικά πώς βγαίνει το $2\pi /\omega =13/2$:

Βήμα 1 — βρες το $\omega$. Το $\omega$ είναι απλώς ο συντελεστής του $n$ μέσα στο ημίτονο. Ξαναγράφουμε το όρισμα ώστε να φαίνεται: $x[n]=\sin \left(\frac{4\pi }{13}n\right)$, άρα $\omega =\frac{4\pi }{13}$. (Το $\sin$ υπακούει στην ίδια συνθήκη περιοδικότητας με το $\cos$.)

Βήμα 2 — υπολόγισε το $2\pi /\omega$. Το κλειδί: το $\pi$ απλοποιείται.

Βήμα 3 — διάβασε τα $N$ και $m$. Γράφουμε το αποτέλεσμα σαν κλάσμα ακεραίων στην απλούστερη μορφή: $\frac{2\pi }{\omega }=\frac{N}{m}=\frac{13}{2}$. Άρα $N=13$ και $m=2$ — δηλαδή το σήμα ξανακλείνει μετά από $N=13$ δείγματα, μέσα στα οποία χωράνε ακριβώς $m=2$ πλήρεις κύκλοι. ✓ Περιοδικό με $N=13$.

Στο slide 12 το παρατεταμένο worked example: $x[n]=A\cos (n/4)$. Έλεγχος:

Επειδή το $\pi$ είναι άρρητο, δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $k,m$ ώστε το $N$ να γίνει ακέραιος → $N\notin \mathbb{N}$ → το σήμα δεν είναι περιοδικό, παρόλο που η συνεχής του αδελφή $\cos (t/4)$ είναι (περίοδος $8\pi$ s).

Ενέργεια και Ισχύς

Ίσως η πιο εξεταζόμενη ερώτηση. Το «είναι σήμα ενέργειας ή ισχύος;» πέφτει συχνά σαν True/False, και πολλοί φοιτητές χάνουν 5-10% γιατί τους θολώνουν τα δύο.

Πότε ένα σήμα έχει «ενέργεια»

Ξεκινάμε από κάτι χειροπιαστό. Φαντάσου ότι το σήμα $x(t)$ είναι μια τάση που εφαρμόζεις πάνω σε μια αντίσταση $1\Omega$. Δύο βήματα:

• Στιγμιαία ισχύς. Από τη φυσική, η ισχύς που καίει μια αντίσταση είναι $P=V^2/R$. Με $R=1\Omega$ και τάση $x(t)$, αυτό γίνεται $|x(t){|}^2$ — πόση ισχύς «καίγεται» την κάθε στιγμή. (Γράφουμε $|x(t){|}^2$ κι όχι σκέτο $x(t{)}^2$ ώστε ο τύπος να δουλεύει και για μιγαδικά σήματα· για πραγματικό σήμα είναι απλώς $x(t{)}^2$.)
• Συνολική ενέργεια. Η ισχύς είναι «ενέργεια ανά δευτερόλεπτο». Αν την προσθέσεις σε όλη τη διάρκεια του σήματος — και «πρόσθεση σε συνεχή χρόνο» σημαίνει ολοκλήρωμα — παίρνεις τη συνολική ενέργεια που διαλύθηκε στην αντίσταση. Αυτή είναι η ενέργεια του σήματος (slide 21):

Τι σημαίνει το «ολοκλήρωμα ως το $\infty$»; Δεν αποδεικνύουμε κάποια ισότητα — το δεξί μέλος είναι εξ ορισμού συντομογραφία για το αριστερό. Το $\infty$ δεν είναι αριθμός που μπορείς να «βάλεις» σαν άκρο ολοκλήρωσης· έτσι το ${\int }_{-\infty }^{\infty }$ σημαίνει ακριβώς «ολοκλήρωσε σε ένα πεπερασμένο παράθυρο $[-T,T]$ και άσε το $T$ να μεγαλώνει απεριόριστα». Διαισθητικά, το ολοκλήρωμα στο $[-T,T]$ μετράει την ενέργεια ανάμεσα στις στιγμές $-T$ και $+T$· όσο μεγαλώνει το $T$ «πιάνεις» όλο και μεγαλύτερο κομμάτι του άξονα, μέχρι να τον καλύψεις ολόκληρο. Κι επειδή το $|x(t){|}^2$ είναι πάντα $\ge 0$, κάθε διεύρυνση μόνο προσθέτει εμβαδόν — άρα το τρέχον σύνολο ανεβαίνει μέχρι να σταθεροποιηθεί σε μια τελική τιμή (ή να φύγει στο $\infty$).

Για διακριτά σήματα το ολοκλήρωμα γίνεται άθροισμα: ${\mathcal{E}}_x={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2$.

Πότε λέμε ότι ένα σήμα «έχει ενέργεια»; Όταν αυτός ο αριθμός βγαίνει πεπερασμένος και θετικός: $0<{\mathcal{E}}_x<\infty$. Με απλά λόγια, όλο το σήμα κουβαλάει συνολικά μια πεπερασμένη ποσότητα ενέργειας. Αυτό απαιτεί το σήμα να σβήνει: είτε να έχει πεπερασμένη διάρκεια (π.χ. ορθογώνιος παλμός), είτε να φθίνει στο μηδέν αρκετά γρήγορα (π.χ. φθίνον εκθετικό). Αυτά τα λέμε σήματα ενέργειας (energy signals).

Και γιατί ένας cosine ΔΕΝ είναι σήμα ενέργειας; Επειδή δεν σβήνει ποτέ. Εδώ απαντιέται και η φυσική απορία «μα μία περίοδος δεν φτάνει;». Σε μία περίοδο ο cosine έχει πεπερασμένη ενέργεια — π.χ. ο $\cos (2\pi t)$ (περίοδος $1$) έχει ${\int }_0^1{\cos }^2(2\pi t)dt=\frac{1}{2}$. Όμως το $(-\infty ,\infty )$ περιέχει άπειρες ίδιες περιόδους:

Δηλαδή το ολοκλήρωμα μιας περιόδου (πεπερασμένο) δεν ισούται με το ολοκλήρωμα στο άπειρο (άπειρο): διαφέρουν κατά τον παράγοντα «πλήθος περιόδων», που είναι $\infty$. Γι' αυτό κανένα περιοδικό σήμα δεν είναι σήμα ενέργειας — κι εδώ μπαίνει στο παιχνίδι το επόμενο μέγεθος, η ισχύς.

Πότε ένα σήμα έχει «ισχύ»

Μόλις είδαμε ότι ένα σήμα που δεν σβήνει (cosine, σταθερό σήμα, …) έχει άπειρη ενέργεια. Το «$\infty$» όμως είναι άχρηστο σαν μέτρο — δεν ξεχωρίζει έναν δυνατό cosine από έναν αδύναμο, αφού και οι δύο δίνουν $\infty$.

Η ιδέα: αντί για τη συνολική ενέργεια, μέτρα τον ρυθμό — πόση ενέργεια καίγεται ανά δευτερόλεπτο, κατά μέσο όρο. Αυτή είναι η ισχύς. Στην αναλογία της αντίστασης: δεν μετράμε πια τη συνολική ενέργεια που κάηκε (άπειρη), αλλά τη μέση ισχύ που καταναλώνει η αντίσταση — ένα πεπερασμένο, ουσιαστικό νούμερο. Παίρνουμε λοιπόν την ενέργεια σε ένα παράθυρο $[-T,T]$, τη διαιρούμε με τη διάρκεια $2T$ (γι' αυτό βγαίνει «ανά δευτερόλεπτο»), και μετά αφήνουμε το παράθυρο να μεγαλώσει:

Γρήγορη απόδειξη του $P=A^2/2$. Για $x(t)=A\cos (2\pi ft)$, η ισχύς είναι ο χρονικός μέσος όρος του $|x{|}^2=A^2{\cos }^2(2\pi ft)$. Όλο το ερώτημα καταλήγει σε ένα: πόσο κάνει κατά μέσο όρο το ${\cos }^2$;

Από την ταυτότητα ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$: ο όρος $\cos 2\theta$ ταλαντώνεται και μηδενίζεται κατά μέσο όρο σε μία περίοδο, οπότε μένει μόνο το σταθερό $\frac{1}{2}$. (Διαισθητικά: το ${\cos }^2$ κινείται συμμετρικά μεταξύ $0$ και $1$, άρα «κάθεται» στο $\frac{1}{2}$.) Άρα:

Το πλάτος $A$ είναι το μόνο που μετράει· η συχνότητα $f$ και η φάση δεν παίζουν ρόλο. (Ίδιο αποτέλεσμα για ημίτονο. Η πλήρης παραγωγή με το ολοκλήρωμα βήμα-βήμα είναι παρακάτω, στην ενότητα DC και RMS.)

Για περιοδικό σήμα με περίοδο $T_0$ ο τύπος απλοποιείται:

Γιατί εδώ «μία περίοδος φτάνει», ενώ στην ενέργεια όχι; Επειδή η ισχύς είναι μέσος όρος, όχι άθροισμα. Αν το παράθυρο $[-T,T]$ μεγαλώσει ώστε να χωρά $N$ περιόδους, το ολοκλήρωμα γίνεται $N$ φορές η ενέργεια μιας περιόδου — αλλά διαιρείς και με $2T$, που είναι $N$ φορές η διάρκεια μιας περιόδου. Τα $N$ απλοποιούνται και μένει η μέση ισχύς μιας μόνο περιόδου, όσο μεγάλο κι αν γίνει το παράθυρο. Νά γιατί ο ίδιος αριθμός βγαίνει είτε μετρήσεις μία περίοδο είτε όλο τον χρόνο — κάτι που δεν ισχύει για την ενέργεια:

Ένα σήμα είναι σήμα ισχύος (power signal) όταν $0<{\mathcal{P}}_x<\infty$ — δηλαδή «τρέχει» για πάντα, αλλά με πεπερασμένο μέσο ρυθμό ενέργειας. Τα περιοδικά σήματα είναι σχεδόν πάντα σήματα ισχύος.

DC και RMS (slide 26)

Δύο μετρικές που προκύπτουν φυσικά από όσα είπαμε και ξεπροβάλλουν συνεχώς στα εξεταστικά.

DC value — ο σταθερός «πάτος» του σήματος. Κάθε σήμα σπάει σε δύο κομμάτια: ένα σταθερό μέρος που δεν αλλάζει (το DC, από το «direct current») κι ένα μεταβαλλόμενο μέρος που κατά μέσο όρο μηδενίζεται (το AC). Το DC value είναι αυτό το σταθερό κέντρο — απλώς ο μέσος όρος του σήματος στον χρόνο (γράφεται $R_x^{\mathrm{DC}}$· το $\triangleq$ διαβάζεται «ορίζεται ως»):

$R_x^{\mathrm{DC}}\triangleq {\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t)dt$

Πρόσεξε ότι εδώ ολοκληρώνουμε το ίδιο το $x(t)$ (όχι το $|x(t){|}^2$): ζητάμε μέσο όρο, όχι ισχύ — γι' αυτό μπορεί να βγει και αρνητικός. Για ένα σκέτο cosine η DC είναι $0$: ταλαντώνεται συμμετρικά γύρω από το μηδέν, οπότε όσο ανεβαίνει πάνω από το $0$ τόσο κατεβαίνει και κάτω, και ο μέσος όρος μηδενίζεται.

Με «offset» εννοούμε ότι προσθέτουμε μια σταθερά $C$ — μια κατακόρυφη μετατόπιση: $x(t)=A\cos (2\pi ft)+C$. Το σχήμα του κύματος δεν αλλάζει· απλώς ανεβαίνει ολόκληρο κατά $C$ και πλέον ταλαντώνεται γύρω από τη γραμμή $y=C$ αντί για το $0$. Ο μέσος όρος του αθροίσματος είναι το άθροισμα των μέσων όρων: $0$ από το $A\cos$ (εξουδετερώνεται όπως πριν) συν $C$ από τη σταθερά. Κι ο μέσος όρος μιας σταθεράς είναι η ίδια η σταθερά (ο μέσος όρος του «πάντα $5$» είναι $5$). Άρα DC $=C$ — ακριβώς το offset.

Προσοχή — μην το μπερδέψεις με phase shift ($\cos (2\pi ft+\varphi )$): αυτό μετακινεί το κύμα αριστερά/δεξιά, το αφήνει συμμετρικό γύρω από το $0$, οπότε η DC παραμένει $0$. Μόνο η κατακόρυφη μετατόπιση (το $+C$) αλλάζει τη DC. Αν περίμενες $0$, μάλλον σκεφτόσουν χρονική ολίσθηση — εδώ το «offset» είναι το πάνω-κάτω, όχι το αριστερά-δεξιά.

RMS — το «ισοδύναμο σταθερό πλάτος». Το όνομα root-mean-square περιγράφει τα βήματα ανάποδα: square (ύψωσε στο τετράγωνο) → mean (πάρε μέσο όρο) → root (ρίζα). Αλλά ο μέσος όρος του $|x{|}^2$ είναι ακριβώς η ισχύς ${\mathcal{P}}_x$ — άρα (γράφεται $R_x^{\mathrm{RMS}}$):

$R_x^{\mathrm{RMS}}=\sqrt{{\mathcal{P}}_x}$

Τι σημαίνει διαισθητικά; Είναι το σταθερό επίπεδο που θα κατανάλωνε την ίδια ισχύ: ένα σταθερό σήμα τιμής $V$ έχει ισχύ $V^2$, οπότε θέτοντας $V^2={\mathcal{P}}_x$ παίρνεις $V=\sqrt{{\mathcal{P}}_x}$. (Γι' αυτό λέμε ότι η πρίζα δίνει «230 V» — είναι η RMS τιμή ενός ημιτόνου με πλάτος περίπου $325$ V.) Για $A\cos (2\pi ft)$: $R_x^{\mathrm{RMS}}=\sqrt{A^2/2}=A/\sqrt{2}$.

Παγίδες που πέφτουν στα εξεταστικά

Πριν τα τυπικά exam problems, ας μαζέψουμε τις «φωτεινές παγίδες» — μοτίβα που έχουν εμφανιστεί στα παλιά εξεταστικά πολλαπλές φορές και που οι φοιτητές χάνουν μέτρα γιατί δεν τα έχουν «προετοιμασμένα».

Εξάσκηση

Επτά ερωτήσεις τύπου εξετάσεων. Δοκίμασέ τες πρώτα μόνος σου, μετά αποκάλυψε τη λύση.

🧪 Lab — Συνεχή και διακριτά σήματα στο MATLAB