Σήματα

Στο intro είδαμε ότι κάθε communication system έχει ένα σήμα να ταξιδεύει μέσα του. Σε αυτό το κεφάλαιο θα κοιτάξουμε τα ίδια τα σήματα προσεκτικά. Στο τέλος, αν σου δείξω ένα σήμα θα μπορείς να μου πεις χωρίς δισταγμό: συνεχές ή διακριτό; Άρτιο, περιττό, ή τίποτα από τα δύο; Αιτιατό; Περιοδικό; Σήμα ενέργειας ή σήμα ισχύος; Αυτές είναι οι ερωτήσεις που θα συναντάς σε κάθε εξέταση.

Τι είναι ένα σήμα;

Ξέχνα τους ορισμούς για ένα λεπτό. Ένα σήμα είναι:

Οτιδήποτε αλλάζει — ή θα μπορούσε να αλλάζει — σε σχέση με κάτι άλλο. Συνήθως, σε σχέση με τον χρόνο.

Στα μαθηματικά θα τα γράφουμε x(t), που σημαίνει «η τιμή του σήματος x τη χρονική στιγμή t». Καμία μαγεία — απλώς συμβολισμός.

Επίσης, ένα σήμα δεν χρειάζεται να εξαρτάται από τον χρόνο. Μια εικόνα είναι σήμα δύο μεταβλητών (x, y). Σε αυτό το μάθημα, όμως, εστιάζουμε σε σήματα του χρόνου.

Συνεχούς και διακριτού χρόνου

Πρώτος μεγάλος διαχωρισμός: ο άξονας του χρόνου μπορεί να είναι συνεχής ή διακριτός.

• Αν το σήμα ορίζεται για κάθε χρονική στιγμή → continuous-time σήμα. Γράφουμε x(t).
• Αν ορίζεται μόνο σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές (π.χ. κάθε ms) → discrete-time σήμα. Γράφουμε x[n] — με αγκύλες.

Γιατί νοιαζόμαστε; Ο φυσικός κόσμος είναι συνεχής, αλλά οι υπολογιστές δουλεύουν μόνο με διακριτά. Η γέφυρα είναι το sampling, που θα δούμε αναλυτικά σε ξεχωριστό κεφάλαιο.

Αναλογικά και ψηφιακά

Δεύτερος διαχωρισμός: ο άξονας του πλάτους (τιμές που μπορεί να πάρει το σήμα) μπορεί κι αυτός να είναι «συνεχής» ή «διακριτός».

• Αν το πλάτος μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή → analog.
• Αν το πλάτος επιτρέπεται να πάρει μόνο πεπερασμένες τιμές (π.χ. 0 V ή 5 V) → digital.

Αυτό που κρατάει τελικά το hard disk σου ή η μνήμη του DSP σου είναι το κάτω-δεξιά τεταρτημόριο: διακριτός χρόνος + ψηφιακό πλάτος. Αυτή η διπλή διαδικασία (sample + quantize) είναι το ψηφιοποιείν ένα αναλογικό σήμα.

Δομικοί λίθοι: τα σήματα που θα δούμε ξανά και ξανά

Εδώ χτίζουμε λεξιλόγιο. Κάθε ένα από τα παρακάτω σήματα θα εμφανιστεί δεκάδες φορές στα επόμενα κεφάλαια — Fourier, modulation, sampling, παντού. Δεν είναι κάτι να αποστηθίσεις. Είναι «οι μελλοντικοί συνεργάτες σου» που πρέπει να αναγνωρίζεις με την πρώτη ματιά.

Cosines / sinusoidal signals

Η γενική μορφή ενός cosine:

Τρεις παράμετροι, καθεμία με σαφές νόημα:

• A — το πλάτος (amplitude). Πόσο ψηλά πάει το σήμα.
• f — η συχνότητα (Hz). Πόσοι κύκλοι ανά δευτερόλεπτο.
• φ — η φάση (rad). Από πού «ξεκινάει» ο κύκλος. Ορίζει τον χρονικό μηδενισμό.

Από τα τρία, η φάση είναι αυτή που μπερδεύει τους πιο πολλούς. Της δίνουμε τη δική της παράγραφο αμέσως μετά.

Η περίοδος είναι το αντίστροφο της συχνότητας: $T=1/f$.

Συχνά γράφουμε επίσης γωνιακή συχνότητα $\omega =2\pi f$ (rad/s). Γιατί το $2\pi$; Επειδή ένας πλήρης κύκλος του cosine αντιστοιχεί σε $2\pi$ rad. Άρα το $\omega =2\pi f$ είναι «πόσα rad διανύει ο κύκλος ανά δευτερόλεπτο».

Φάση

Δύο cosines με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα μπορούν να φαίνονται εντελώς διαφορετικοί αν έχουν διαφορετική φάση: ο ένας έχει peak στο $t=0$, ο άλλος ένα τέταρτο της περιόδου νωρίτερα, ή ίσως είναι ανεστραμμένος. Η φάση $\varphi$ στο $\cos (2\pi ft+\varphi )$ ορίζει πότε ξεκινάει ο κύκλος (σε rad), όχι πόσο γρήγορα ή πόσο ψηλά.

Phase ↔ time shift. Η φάση είναι ισοδύναμη με μια χρονική ολίσθηση:

Θετική φάση → αρνητικό $t_0$ → ολίσθηση αριστερά (κύκλος ξεκίνησε «νωρίτερα»). Σημαντικό όμως: η μετατροπή εξαρτάται από το $f$. Η ίδια φάση $\varphi$ αντιστοιχεί σε διαφορετικό $t_0$ σε διαφορετικές συχνότητες — γι' αυτό λέμε ότι η φάση είναι «εξαρτώμενη από τη συχνότητα». Αν λοιπόν ένα σύστημα προσθέτει διαφορετική φάση σε κάθε συχνότητα, οι διάφορες συνιστώσες ενός σήματος ολισθαίνουν διαφορετικά στον χρόνο και το σχήμα του σήματος παραμορφώνεται· αυτό το φαινόμενο θα το συναντήσουμε αργότερα με το όνομα phase distortion — δεν χρειάζεται να ξέρεις τίποτα γι' αυτό προς το παρόν.

Connection to phasors. Λίγο πιο κάτω βλέπουμε τα complex exponentials σαν διανύσματα που στρίβουν στο μιγαδικό επίπεδο — αυτά τα στριφογυριστά διανύσματα τα λέμε phasors (μην αγχωθείς αν δεν λέει κάτι ακόμα η λέξη, στην επόμενη παράγραφο τα χτίζουμε από την αρχή). Η φάση εκεί είναι η αρχική γωνία του phasor στο $t=0$: το $f$ ελέγχει πόσο γρήγορα στρίβει, το $\varphi$ ελέγχει το από πού ξεκινάει.

Μονάδες. Στους τύπους πάντα rad· σε διαγράμματα συχνά μοίρες. Μετατροπή: $180°=\pi \text{rad}$.

Στο κεφάλαιο για τα συστήματα θα δούμε ότι ένα LTI σύστημα προσθέτει σε κάθε συχνότητα μια δική της φάση $\angle H(f)$ — ακριβώς αυτή που μόλις ορίσαμε, ως χρονική ολίσθηση μετρημένη σε rad.

Complex exponentials e^(jωt)

Το $e^{j\omega t}$ — ένα complex exponential που εξαρτάται από τον χρόνο — δεν είναι κάτι μυστήριο. Είναι ένα σημείο που γυρίζει γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο, με γωνιακή ταχύτητα $\omega$. Όταν προβάλλεις την κίνηση στον πραγματικό άξονα παίρνεις το $\cos (\omega t)$, όταν προβάλλεις στον φανταστικό παίρνεις το $\sin (\omega t)$ — δύο σήματα από την ίδια κίνηση.

«Γιατί τα μελετάμε σαν σήματα;» Δύο λόγοι:

1. Cosines γράφονται σαν άθροισμα δύο complex exponentials: $\cos (\omega t)=\frac{1}{2}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})$. Ολόκληρες σελίδες αλγέβρας με sin/cos μετατρέπονται σε δύο γραμμές με εκθετικά. (Για το γιατί αυτή η ταυτότητα ισχύει, δες Reference · Euler.)
2. Είναι η «μητρική γλώσσα» των LTI συστημάτων. Στο επόμενο κεφάλαιο θα δούμε ότι ένα LTI σύστημα παίρνει $e^{j\omega t}$ μέσα και βγάζει το ίδιο $e^{j\omega t}$ πολλαπλασιασμένο με έναν μιγαδικό αριθμό. Αυτή η ιδιότητα είναι ο λόγος που υπάρχει καν ο Fourier transform.

Δεν χρειάζεται να εμβαθύνεις εδώ — αρκεί να αναγνωρίζεις τη μορφή και να μην παγώνεις όταν τη βλέπεις σε κάποιον τύπο.

Unit step u(t)

Ο διακόπτης. Στιγμή $t=0$ ανάβει το σήμα — πριν ήταν 0, τώρα είναι 1, και μένει εκεί. Το χρησιμοποιούμε σαν «δείκτη ότι κάτι ξεκίνησε».

Π.χ. ένας ραδιοφωνικός σταθμός που εκπέμπει ένα cosine μόνο μετά τις 8:00 είναι $\cos (2\pi ft)\cdot u(t-t_8)$. Το $u$ τον «ανοίγει».

Ορθογώνιος παλμός Π(t/T)

Ένα ορθογώνιο πλάτους $T$ και ύψους 1, κεντραρισμένο στο 0. Ο πιο χρήσιμος «πεπερασμένης διάρκειας» παλμός. Είναι στο επίσημο τυπολόγιο — δεν χρειάζεται να τον αποστηθίσεις, αλλά χρειάζεται να τον αναγνωρίζεις αμέσως.

Τριγωνικός παλμός Λ(t/T)

Ένα τρίγωνο ύψους 1 στο μηδέν, βάσης $2T$. Είναι κι αυτός στο τυπολόγιο.

Sinc function

Φθίνουσες ταλαντώσεις γύρω από το 0. Φαίνεται «παράξενο» αλλά είναι πανταχού παρόν: ο Fourier transform του ορθογώνιου παλμού είναι ένα sinc. Και αντίστροφα. Έρχεται με το θεώρημα δειγματοληψίας ως ιδανικό φίλτρο επανασύνθεσης. Για τώρα, απλά εξοικειώσου με το σχήμα του.

Μοναδιαία ώση δ(t) — η πιο λεπτή

Πώς να περιγράψεις «κάτι που συμβαίνει στιγμιαία αλλά αφήνει συγκεκριμένη επίδραση»; Π.χ. το χτύπημα στο τύμπανο, το κρότο μιας πόρτας, ένα φως που αναβοσβήνει για 0 χρόνο. Στιγμιαίο, αλλά με σαφές μέγεθος ενέργειας.

Το τέχνασμα της κατασκευής:

1. Ξεκίνα με ένα ορθογώνιο πλάτους $ϵ$ και ύψους $1/ϵ$. Παρατήρησε ότι το εμβαδό του είναι πάντα 1 (πλάτος × ύψος).
2. Στένεψε το $ϵ$ προς το 0. Ο παλμός γίνεται όλο και ψηλότερος και στενότερος, αλλά το εμβαδό μένει 1.
3. Στο όριο $ϵ\to 0$ έχουμε το δ(t): «άπειρα στενός, άπειρα ψηλός, με εμβαδό 1».

Η σημαντικότερη ιδιότητα του δ(t) είναι η σαρωτική (sifting property):

Σε απλή Ελληνική: το δ «σαρώνει» το $x(t)$ και επιστρέφει την τιμή του στο $t_0$. Αυτό φαίνεται μυστηριώδες τώρα. Στο επόμενο κεφάλαιο θα δούμε ότι αυτή ακριβώς η ιδιότητα γίνεται η ραχοκοκαλιά της convolution και της impulse response ενός LTI συστήματος.

(Παρατήρησε ότι το $\delta (t-t_0)$ μέσα στο ολοκλήρωμα είναι απλώς η δ μετατοπισμένη — ένα standard time shift, όπως θα δούμε στους μετασχηματισμούς λίγο πιο κάτω.)

Βασικοί μετασχηματισμοί σήματος

Έχουμε τη βιβλιοθήκη με τους δομικούς λίθους. Πριν τα συνθέσουμε σε κάτι μεγαλύτερο, χρειαζόμαστε πέντε standard «κουμπιά» για να τα μετακινούμε, να τα ζυγίζουμε, να τα αντιστρέφουμε και να τα συμπιέζουμε. Είναι μικρές πράξεις που εμφανίζονται παντού — στη συνέλιξη, στους Fourier, στη διαμόρφωση. Όταν τις διαβάζεις άνετα, τα επόμενα κεφάλαια κυλάνε εύκολα.

Amplitude scaling — A · x(t)

Πολλαπλασιάζοντας όλο το σήμα με έναν σταθερό αριθμό $A$ αλλάζει μόνο ο κάθετος άξονας. Δεν αλλάζει η χρονική του συμπεριφορά:

• $A>1$ → ψηλαίνει
• $0<A<1$ → χαμηλώνει
• $A<0$ → ανάκλαση γύρω από τον $x$-άξονα (αλλαγή προσήμου ταυτόχρονα με αλλαγή πλάτους)

Ένα cosine παραμένει cosine ίδιας συχνότητας — απλώς πιο ψηλό ή πιο χαμηλό.

Time shift — x(t − t₀)

Αντικαθιστούμε t με t − t₀ στο όρισμα. Το σήμα ολισθαίνει κατά μήκος του χρόνου.

Time reversal — x(−t)

Αντικαθιστούμε t με −t. Το σήμα καθρεφτίζεται γύρω από τον $y$-άξονα.

• Αν το $x(t)$ ήταν αιτιατό (μη μηδενικό μόνο για $t>0$), τότε το $x(-t)$ είναι μη-μηδενικό μόνο για $t<0$.
• Άρτια σήματα (όπως ο cosine) δεν αλλάζουν: $\cos (-t)=\cos (t)$.
• Περιττά σήματα (όπως ο sine) αλλάζουν πρόσημο: $\sin (-t)=-\sin (t)$.

(Αυτή η σύνδεση με άρτιο/περιττό αποτυπώνεται καθαρά στην ενότητα ταξινομίας λίγο πιο κάτω.)

Time scaling — x(at)

Αντικαθιστούμε t με at, όπου $a$ ένας μη-μηδενικός σταθερός αριθμός.

• $|a|>1$ → συμπίεση στον χρόνο. Το σήμα τρέχει πιο γρήγορα.
• $0<|a|<1$ → επέκταση στον χρόνο. Πιο αργά.
• $a<0$ → επιπλέον flip (όπως στο time reversal).

Κρατήσε αυτό για τα cosines: $\cos (2\pi ft)$ έχει συχνότητα $f$. Αν αντικαταστήσουμε t με at, παίρνουμε $\cos (2\pi fat)$ — δηλαδή νέα συχνότητα $|fa|$. Συμπίεση στον χρόνο = αύξηση της συχνότητας. Θα ξανασυναντήσουμε αυτό το ίδιο φαινόμενο σαν ιδιότητα του Fourier transform αργότερα.

Συνδυασμοί — η σειρά παίζει ρόλο

Συχνά συναντάμε «σύνθετα» ορίσματα όπως $x(at+b)$ ή $A\cdot x(-t+T)$. Πώς διαβάζονται;

Παράδειγμα 1. $x(2t-4)=x(2(t-2))$. Πρώτα συμπίεση κατά 2 (το σήμα τρέχει διπλά γρηγορότερα), μετά shift δεξιά κατά 2.

Παράδειγμα-κλειδί που εμφανίζεται στη συνέλιξη. Δες το $h(t-\tau )$ θεωρώντας το $\tau$ ως μεταβλητή και το $t$ ως σταθερά (γιατί η συνέλιξη ολοκληρώνει ως προς $\tau$ ενώ το $t$ είναι παγωμένο):

Ο συντελεστής του $\tau$ είναι $-1$. Άρα: πρώτα flip (από το πρόσημο μείον), μετά shift δεξιά κατά $t$. Αυτό είναι το «flip-and-slide» που θα δούμε στη συνέλιξη στο επόμενο κεφάλαιο. Αν το έχεις στο μυαλό σου από τώρα, η συνέλιξη δεν θα φαίνεται μαγική.

Worked example. Έστω $x(t)$ το τρίγωνο πλάτους 1, με βάση από 0 έως 2 και κορυφή στο 1. Σχεδίασε το $x(-t+3)$.

Λύση βήμα-βήμα:

• Ξαναγράφουμε: $x(-t+3)=x(-(t-3))$.
• Βήμα 1 — flip: βάση γίνεται από −2 έως 0, κορυφή στο −1.
• Βήμα 2 — shift δεξιά κατά 3: βάση γίνεται από 1 έως 3, κορυφή στο 2.

Πώς ξεχωρίζουμε σήματα — ταξινομία

Με τους δομικούς λίθους στα χέρια μας, ας δούμε τις ετικέτες που κολλάμε σε κάθε σήμα. Κάθε ετικέτα απαντάει σε μια συγκεκριμένη «ναι/όχι» ερώτηση.

Πραγματικά / Μιγαδικά

Οι τιμές ενός σήματος μπορεί να είναι:

• Πραγματικές — οτιδήποτε μετράς στον φυσικό κόσμο.
• Μιγαδικές — μαθηματικές βολικότητες. Δεν «εκπέμπεις» μιγαδικούς αριθμούς, αλλά τους χρησιμοποιείς στους υπολογισμούς. Στις μετέπειτα ενότητες θα συναντήσεις I/Q (in-phase / quadrature) — μιγαδική αναπαράσταση που βγάζει νόημα φυσικό όταν ξανασπάει σε δύο πραγματικά κανάλια.

Άρτια / Περιττά

(Όπως είδαμε στους μετασχηματισμούς, το $x(-t)$ είναι ένα time reversal. Ο διαχωρισμός άρτιου/περιττού είναι ακριβώς «τι κάνει αυτή η αντιστροφή»:)

• Άρτιο σήμα: $x(-t)=x(t)$. Συμμετρία γύρω από τον άξονα y. Ο cosine είναι άρτιος.
• Περιττό σήμα: $x(-t)=-x(t)$. Σημειακή συμμετρία γύρω από την αρχή. Ο sine είναι περιττός.
• Κάθε σήμα διασπάται σε άρτιο + περιττό μέρος:

Αυτή η διάσπαση δεν είναι μαθηματικό κόλπο — απλοποιεί δεκάδες ολοκληρώματα στους υπολογισμούς Fourier συντελεστών (έρχεται).

Αιτιατά / Μη αιτιατά

• Αιτιατό (causal) σήμα: $x(t)=0$ για κάθε $t<0$. Δηλαδή, ξεκινάει στο 0 ή αργότερα.
• Μη αιτιατό: έχει μη μηδενικές τιμές για $t<0$ (το σήμα «ξέρει το παρελθόν»).

Όλα τα σήματα που μπορείς πραγματικά να ηχογραφήσεις είναι αιτιατά — ξεκινούν τη στιγμή που πάτησες record. Πολλά «μαθηματικά» σήματα δεν είναι αιτιατά (π.χ. ένας cosine «από το αρχέγονο μέχρι το πάντα»), και αυτό είναι εντάξει στις αναλύσεις.

Αιτιοκρατικά / Τυχαία

• Deterministic (αιτιοκρατικό): περιγράφεται από τύπο. Δίνεις $t$, παίρνεις $x(t)$ ακριβώς. Π.χ. $\cos (2\pi \cdot 5t)$.
• Random (τυχαίο): οι τιμές δεν είναι προβλέψιμες από τύπο — μόνο στατιστικά. Θόρυβος, ομιλία (πριν την ξέρεις), χρηματιστηριακές τιμές.

Στο μάθημα θα δούμε πρώτα τα deterministic (παντού στις επόμενες ενότητες). Όταν φτάσουμε στο κεφάλαιο Randomness θα μάθουμε εργαλεία για τα τυχαία.

Περιοδικά / Μη περιοδικά

Ένα σήμα είναι περιοδικό αν υπάρχει $T>0$ τέτοιο ώστε $x(t)=x(t+T)$ για κάθε $t$. Το μικρότερο τέτοιο $T$ είναι η θεμελιώδης περίοδος.

Άθροισμα δύο cosines $\cos ({\omega }_{1}t)+\cos ({\omega }_{2}t)$ είναι περιοδικό μόνο αν ο λόγος των περιόδων είναι ρητός αριθμός. Αν είναι άρρητος (π.χ. $\sqrt{2}$), δεν υπάρχει κοινή περίοδος.

Ενέργεια και Ισχύς

Ίσως η πιο εξεταζόμενη ερώτηση. Το «είναι σήμα ενέργειας ή ισχύος;» πέφτει συχνά σαν True/False, και πολλοί φοιτητές χάνουν 5-10% γιατί τους θολώνουν τα δύο.

Πότε ένα σήμα έχει «ενέργεια»

Φαντάσου το σήμα σαν τάση πάνω σε αντίσταση 1 Ω. Η στιγμιαία ισχύς που καίει η αντίσταση είναι $|x(t){|}^2$. Η συνολική ενέργεια που έχει διαλυθεί όλη ώρα στην αντίσταση:

Για διακριτά σήματα: $E_x={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2$.

Ένα σήμα είναι σήμα ενέργειας (energy signal) όταν $0<E_x<\infty$. Παραδείγματα: ορθογώνιος παλμός (πεπερασμένη διάρκεια), φθίνον εκθετικό. Όχι όμως ένας cosine — η ταλάντωση συνεχίζει στο άπειρο και η ενέργεια αποκλίνει.

Πότε ένα σήμα έχει «ισχύ»

Όταν η ενέργεια ενός σήματος είναι άπειρη (cosine, σταθερό 1, etc.), δεν είναι ωφέλιμο νούμερο. Ρωτάμε αντί αυτού: πόση ενέργεια ανά δευτερόλεπτο, κατά μέσο όρο;

Ένα σήμα είναι σήμα ισχύος (power signal) όταν $0<P_x<\infty$. Τα περιοδικά σήματα είναι συνήθως σήματα ισχύος.

DC και RMS

Δύο μετρικές που ξεπροβάλλουν σε εξεταστικά:

• DC value (μέσος όρος): $\bar{x}={\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t)dt$.
  • Για ένα cosine, η DC είναι 0 (ταλαντώνεται γύρω από το μηδέν).
  • Για cosine + offset, η DC είναι το offset.
• RMS (root-mean-square): $\sqrt{P_x}$.
  • Η ερμηνεία: «το ισοδύναμο DC επίπεδο που θα δίδα την ίδια ισχύ».
  • Για $A\cos (2\pi ft)$: $\text{RMS}=A/\sqrt{2}$.

🧪 Lab — Συνεχή και διακριτά σήματα στο MATLAB

Εξάσκηση

Πέντε ερωτήσεις τύπου εξετάσεων. Δοκίμασέ τες πρώτα μόνος σου, μετά αποκάλυψε τη λύση.