Modulation · FM·~22 min read·🟠 Medium exam — recurring formula

Carson's rule + NBFM vs WBFM

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι το FM φάσμα είναι άπειρο — sidebands εκτείνονται μέχρι το άπειρο. Στην πράξη όμως, σχεδόν όλη η ενέργεια συγκεντρώνεται σε λίγες sidebands. Σε αυτό το κεφάλαιο ποσοτικοποιούμε πόσο bandwidth χρειάζεται μια FM εκπομπή, μέσω της θεμελιώδους Carson's rule.

1. Carson's rule — η εξίσωση

B_{F M} = 2 (Δ f + W) = 2 (β + 1) W ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

όπου:

$Δ f$ — frequency deviation (Hz)
$W$ — message bandwidth (για single-tone, $W = f_{m}$ )
$β = Δ f / W$ — modulation index

Η ισοδυναμία των δύο μορφών προκύπτει από το $Δ f = β W$ :

2 (Δ f + W) = 2 (β W + W) = 2 (β + 1) W

Αυτή η εξίσωση μπαίνει σε σχεδόν κάθε εξεταστικό θέμα FM.

2. Διαισθητική εξήγηση

Από το Bessel expansion ξέρουμε:

x_{F M} (t) = A_{c} n \sum J_{n} (β) cos [2 π (f_{c} + n f_{m}) t]

Τα sidebands εκτείνονται σε όλες τις $f_{c} \pm n f_{m}$ για $n = 0, 1, 2, \dots$ μέχρι το άπειρο. Αλλά τα $J_{n} (β)$ φθίνουν γρήγορα όταν $∣ n ∣$ ξεπεράσει το $β$ .

Εμπειρικός κανόνας: για $∣ n ∣ > β + 1$ , τα $J_{n} (β)$ είναι αμελητέα. Άρα τα σημαντικά sidebands είναι τα $n = - (β + 1), \dots, + (β + 1)$ .

Η ζώνη που καταλαμβάνουν αυτά τα sidebands εκτείνεται από:

f_{c} - (β + 1) f_{m} \overset{ε}{ˊ} ως f_{c} + (β + 1) f_{m}

Συνολικό bandwidth:

B = 2 (β + 1) f_{m}

Που για single-tone ( $W = f_{m}$ ) ή για γενικότερο message bandwidth $W$ γίνεται $B = 2 (β + 1) W = 2 (Δ f + W)$ .

Carson's rule — γιατί ±(β+1) sidebands αρκούν

Πάνω: το FM φάσμα και η ζώνη που ορίζει το Carson (μωβ). Κάτω: η αθροιστική ισχύς (πόσο % της ολικής ενέργειας έχουμε όταν κρατάμε τα ±n sidebands). Η γραμμή στο 98% είναι το cutoff του Carson — και περνάει κοντά στο n = β+1.

β = 3.00

Carson N = β+1

4.00

Πραγματικό N (98%)

B = 2(β+1)f_m

8.00 · f_m

Παρατηρήσεις από τη γραφική:

Σύρε το $β$ μικρό (NBFM) → η αθροιστική ισχύς φτάνει το 98% στο $n = 1$ . Ο Carson μάς δίνει $B \approx 2 W$ , ίδιο με την AM.
Σύρε το $β$ μεσαίο (~ 2-3) → η ενέργεια απλώνεται σε 3-4 sidebands. Carson κοντά στο πραγματικό N για 98%.
Σύρε το $β$ μεγάλο (5+) → χρειάζονται 6-7 sidebands. Το Carson γίνεται ελαφρώς συντηρητικό (μικρή υποεκτίμηση) — δίνει $\approx 98%$ ενέργειας. Στην πράξη, για high-fidelity audio χρησιμοποιούν $B = 2 (β + 2) W$ .

3. Δύο regimes — NBFM vs WBFM

NBFM — Narrowband FM (β ≪ 1)

Όταν $β ≪ 1$ (συνήθως $β < 0.3$ ), στο Bessel expansion μόνο τα $J_{0} (β) \approx 1$ και $J_{1} (β) \approx β /2$ είναι σημαντικά. Όλες οι άλλες $J_{n}$ είναι $O (β^{n})$ — αμελητέες.

NBFM προσεγγιστική εξίσωση:

x_{N B F M} (t) \approx A_{c} cos (2 π f_{c} t) - A_{c} β sin (2 π f_{m} t) sin (2 π f_{c} t)

Συγκρίνετε με το AM:

x_{A M} (t) = A_{c} cos (2 π f_{c} t) + A_{c} μ cos (2 π f_{m} t) cos (2 π f_{c} t)

Σχεδόν ίδιο! Οι διαφορές:

	AM	NBFM
Sideband term	$cos \cdot cos$ → προστιθέμενο	$sin \cdot sin$ → αφαιρούμενο
Σχέση φάσης	sidebands σε φάση με carrier	sidebands σε quadrature (90° απ' τον carrier)
Bandwidth	$2 W$	$2 W$ (Carson με β=0)

Άρα NBFM = AM σε bandwidth, αλλά με quadrature sidebands. Αυτή η quadrature τοποθέτηση είναι που του δίνει την ανθεκτικότητα στον θόρυβο — ο amplitude θόρυβος δεν επηρεάζει τη φάση.

WBFM — Wideband FM (β ≫ 1)

Όταν $β ≫ 1$ , χρειάζονται πολλά sidebands. Το Carson απλοποιείται:

B \approx 2 β W = 2Δ f

(αφού ο όρος $+ 1$ γίνεται αμελητέος). Δηλαδή το bandwidth καθορίζεται κυρίως από το $Δ f$ , όχι από το $W$ .

Γι' αυτό το εμπορικό FM ραδιόφωνο χρησιμοποιεί $Δ f = 75$ kHz: αυτό καθορίζει το bandwidth (~150 kHz), και το $W$ (audio bandwidth ~15 kHz) μπαίνει ως μια μικρή διόρθωση. Carson: $B = 2 (75 + 15) = 180$ kHz, με channel spacing 200 kHz για guard band.

4. Σύγκριση με AM

	AM (DSB+carrier)	DSB-SC	SSB	NBFM (β < 0.3)	WBFM (β=5)
Bandwidth	$2 W$	$2 W$	$W$	$2 W$	$2 (β + 1) W \approx 12 W$
Carrier present	Ναι	Όχι	Όχι	Ναι	Ναι (ποικίλει)
Envelope demod	Απλό	Όχι	Όχι	Όχι	Όχι
Coherent demod	Δουλεύει	Απαραίτητο	Απαραίτητο	Δουλεύει	Δουλεύει (discriminator)
Ανοσία στον θόρυβο	Φτωχή	Φτωχή	Φτωχή	Καλή	Εξαιρετική
Πολυπλοκότητα δέκτη	Χαμηλή	Μέτρια	Υψηλή	Μέτρια	Μέτρια
Χαρακτηριστικά	Audio AM ραδιόφωνο	Stereo L−R, NTSC	Shortwave/HAM	Two-way ραδιοεπικοινωνία	FM ραδιόφωνο, TV audio

Τo trade-off: η FM δίνει bandwidth για να αγοράσει ανοσία στον θόρυβο. Αυτό είναι βασικό αποτέλεσμα της θεωρίας Shannon και επιστρέφουμε σε αυτό στο επόμενο κεφάλαιο.

5. Worked example — Πρόοδος B / June'25 Θ4

6. Παράδειγμα NBFM (Πρόοδος A 2025-09)

7. Σύνοψη formulas

Ποσότητα	Τύπος
Carson's rule	$B = 2 (Δ f + W) = 2 (β + 1) W$
NBFM bandwidth ( $β ≪ 1$ )	$B \approx 2 W$ (όπως AM)
WBFM bandwidth ( $β ≫ 1$ )	$B \approx 2Δ f$ (deviation-dominated)
FM ραδιόφωνο	$Δ f = 75$ kHz, $W = 15$ kHz, $β = 5$ , $B = 180$ kHz
Two-way (NBFM)	$Δ f \approx 5$ kHz, $W \approx 5$ kHz, $β \approx 1$ , $B \approx 20$ kHz

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις για να εμπεδώσεις τον Carson type-of-question — εμφανίζεται σε σχεδόν κάθε εξέταση.

Τι μάθαμε

Carson's rule: $B = 2 (Δ f + W) = 2 (β + 1) W$ . Δίνει το πρακτικό bandwidth για ~98% της ενέργειας.
NBFM ( $β ≪ 1$ ): $B \approx 2 W$ , σχεδόν σαν AM. Quadrature sidebands → ανοσία στον amplitude θόρυβο.
WBFM ( $β ≫ 1$ ): $B \approx 2Δ f$ . Το $Δ f$ καθορίζει το bandwidth.
Trade-off: η FM καταναλώνει bandwidth για να αγοράσει SNR ανοσία. Επόμενο κεφάλαιο: ποσοτικά αυτό το trade-off (FM στον θόρυβο, σύγκριση με AM).

Επόμενο

FM στον θόρυβο + vs AM

Φόρτωση σχολίων…