Modulation · FM·~22 min read·🟢 Light exam — completeness

PM + δυϊκότητα με FM

Χρειάζεσαι:Η ιδέα του FM + modulation index β

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι η FM κωδικοποιεί την πληροφορία στη στιγμιαία συχνότητα. Υπάρχει όμως και μια συγγενής διαμόρφωση που κωδικοποιεί την πληροφορία απευθείας στη φάση: η Phase Modulation (PM).

Στις διαλέξεις του K21, οι FM και PM παρουσιάζονται μαζί ως «Διαμόρφωση Γωνίας» (Angle Modulation). Σε αυτό το κεφάλαιο:

Ορίζουμε την PM και τα δικά της β/K.
Αποδεικνύουμε τη δυϊκότητα PM ↔ FM (integrator/differentiator).
Παράγουμε τη NBFM προσέγγιση που δείχνει η FM στενής ζώνης μοιάζει με quadrature-AM.
Συγκρίνουμε τα φάσματα NBFM vs AM — ίδιο μέτρο, διαφορετική φάση.

1. Ορισμός PM

Ένα PM σήμα έχει σταθερό πλάτος και συνολική φάση:

x_{P M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + ϕ (t)], ϕ (t) = K_{p} m (t)

όπου:

$K_{p}$ — phase sensitivity της PM (μονάδες: rad/V)
$m (t)$ — το message
$ϕ (t)$ — η φάση στιγμιαία ανάλογη με το $m$

Σύγκριση με FM: στην FM η φάση είναι το ολοκλήρωμα του message ( $ϕ_{F M} (t) = 2 π K_{f} \int m d τ$ ). Στην PM είναι απευθείας ανάλογη ( $ϕ_{P M} (t) = K_{p} m (t)$ ).

2. Modulation index για PM

Για ένα γενικό message, η μέγιστη απόκλιση φάσης από τον carrier ορίζει το modulation index:

β_{p} ≜ Δ ϕ_{ma x} = K_{p} max ∣ m (t) ∣ ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

Σύγκρινε με τη FM: $β_{f} = Δ f_{ma x} / W = K_{f} max ∣ m (t) ∣/ W$ (όπου $W$ το bandwidth του message).

Σημαντικό: το $β_{p}$ είναι αδιάστατο, μετριέται σε radians, ενώ το $K_{p}$ μετριέται σε rad/V.

3. Στιγμιαία συχνότητα στην PM

Από τον γενικό τύπο $f_{i} (t) = f_{c} + (1/2 π) \cdot d ϕ / d t$ :

f_{i}^{P M} (t) = f_{c} + \frac{K _{p}}{2 π} \frac{d m ( t )}{d t}

Δηλαδή στην PM η στιγμιαία συχνότητα είναι ανάλογη με το παράγωγο του message, όχι με το ίδιο το message. Αυτό είναι το αντίστροφο της FM ( $f_{i}^{F M} = f_{c} + K_{f} m$ ).

4. PM ↔ FM δυϊκότητα

Η σχέση των δύο διαμορφώσεων είναι ένα από τα πιο κομψά αποτελέσματα του κεφαλαίου:

Απόδειξη. Ξεκινάμε με PM:

x_{P M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + K_{p} m^{'} (t)]

Αν στη θέση του $m^{'} (t)$ βάλουμε $\int m d τ$ :

x_{P M} (t)_{m^{'} = \int m d τ} = A_{c} cos [2 π f_{c} t + K_{p} \int m d τ]

Συγκρίνοντας με την FM:

x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + 2 π K_{f} \int m d τ]

Τα δύο ταυτίζονται όταν $K_{p} = 2 π K_{f}$ . ✓

Πρακτικό συμπέρασμα: οποιοδήποτε αποτέλεσμα ισχύει για FM (φάσμα Bessel, Carson's rule, in-noise) ισχύει και για PM μετά από αναπροσαρμογή της σύνδεσης μεταξύ $β$ και $K$ .

5. PM σε I/Q canonical form

Όπως κάθε διαμόρφωση γωνίας, η PM γράφεται στην canonical bandpass form:

x_{P M} (t) = x_{I} (t) A_{c} cos ϕ (t) cos (2 π f_{c} t) - x_{Q} (t) A_{c} sin ϕ (t) sin (2 π f_{c} t)

με $ϕ (t) = K_{p} m (t)$ .

Envelope: $V (t) = x_{I}^{2} + x_{Q}^{2} = A_{c} cos^{2} ϕ + sin^{2} ϕ = A_{c}$ . Σταθερό! — όπως στην FM.

Power: $P_{P M} = A_{c}^{2} /2$ — ανεξάρτητο του message, ταυτόσημο με FM. Δες I/Q decomposition viz με preset «PM».

6. NBFM γραμμικοποίηση — η FM στενής ζώνης μοιάζει με AM

Όταν $β ≪ 1$ (NBFM ή NBPM), μπορούμε να γραμμικοποιήσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Παίρνουμε Taylor:

cos ϕ (t) \approx 1 - \frac{ϕ ^{2}}{2} + \dots \approx 1

sin ϕ (t) \approx ϕ (t) - \frac{ϕ ^{3}}{6} + \dots \approx ϕ (t)

(αφού $ϕ ≪ 1$ ).

Αντικαθιστώντας στην canonical form:

x_{N B} (t) \approx A_{c} cos (2 π f_{c} t) - A_{c} ϕ (t) sin (2 π f_{c} t)

Διαβάζεται: το NB σήμα γράφεται ως άθροισμα ενός pure carrier (πρώτος όρος) και ενός DSB-SC σήματος που πολλαπλασιάζει το $ϕ (t)$ με $sin (2 π f_{c} t)$ .

7. Φάσμα NBFM vs AM

Παίρνοντας FT (με $Φ (f) = F {ϕ (t)}$ ):

X_{N B} (f) \approx \frac{A _{c}}{2} δ (f - f_{c}) + \frac{A _{c}}{2} δ (f + f_{c}) - \frac{j A _{c}}{2} Φ (f - f_{c}) + \frac{j A _{c}}{2} Φ (f + f_{c})

Για σύγκριση, η AM γράφεται:

X_{A M} (f) = \frac{A _{c}}{2} δ (f - f_{c}) + \frac{A _{c}}{2} δ (f + f_{c}) + \frac{A _{c} μ}{2} M (f - f_{c}) + \frac{A _{c} μ}{2} M (f + f_{c})

	NBFM	AM
Carrier impulses	$\frac{A _{c}}{2} δ (f \pm f_{c})$	ίδιο
Sideband multiplier	$\mp \frac{j A _{c}}{2} Φ$	$\frac{A _{c} μ}{2} M$
Φάση sidebands	$\pm π /2$ από carrier	σε φάση με carrier
Bandwidth	$\approx 2 W$	$2 W$

Συμπέρασμα: το NBFM/NBPM σήμα έχει ίδιο μέτρο φάσματος με AM (carrier + δύο sidebands), αλλά διαφορετική φάση: στην NBFM οι sidebands είναι σε quadrature με τον carrier (90° διαφορά), ενώ στην AM είναι σε φάση.

8. NBFM single-tone παράδειγμα

9. Worked example — PM σε εκπεμπόμενη ισχύ

10. Σύνοψη formulas

Ποσότητα	PM	FM
Φάση	$ϕ (t) = K_{p} m (t)$	$ϕ (t) = 2 π K_{f} \int m d τ$
Phase sensitivity	$K_{p}$ (rad/V)	—
Frequency sensitivity	—	$K_{f}$ (Hz/V)
Modulation index	$β_{p} = K_{p} max ∥ m ∥$	$β_{f} = K_{f} max ∥ m ∥/ W$
Στιγμιαία συχνότητα	$f_{c} + (K_{p} /2 π) d m / d t$	$f_{c} + K_{f} m (t)$
Envelope	$A_{c}$	$A_{c}$
Power	$A_{c}^{2} /2$	$A_{c}^{2} /2$
Carson BW	$2 (β_{p} + 1) f_{m}$	$2 (β_{f} + 1) W$
Δυϊκότητα	$K_{p} = 2 π K_{f}$ + integrator στην είσοδο	+ differentiator στην είσοδο για PM
NB linearization	$x \approx A_{c} cos (2 π f_{c} t) - A_{c} ϕ (t) sin (2 π f_{c} t)$	ίδιο
NB vs AM	sidebands σε quadrature με carrier	—

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις πάνω στη δυϊκότητα PM/FM και τη NBFM ↔ AM σύγκριση.

Τι μάθαμε

Η PM κωδικοποιεί την πληροφορία απευθείας στη φάση του carrier, σε αντίθεση με την FM που την κωδικοποιεί στη συχνότητα.
β_p = K_p max|m| σε rad. K_p σε rad/V είναι η phase sensitivity.
PM ↔ FM δυϊκότητα: integrator πριν τον PM modulator δίνει FM. Differentiator πριν τον FM modulator δίνει PM. Με $K_{p} = 2 π K_{f}$ τα δύο ταυτίζονται.
NB linearization: όταν $β ≪ 1$ , $x_{N B} (t) \approx A_{c} cos (2 π f_{c} t) - A_{c} ϕ (t) sin (2 π f_{c} t)$ — ένα carrier συν ένα DSB-SC σε quadrature.
NBFM vs AM: ίδιο μέτρο φάσματος (carrier + 2 sidebands), αλλά οι sidebands είναι σε quadrature στην FM, σε φάση στην AM. Αυτή η διαφορά φάσης είναι η ρίζα της ανθεκτικότητας της FM στον amplitude noise.
Όλα τα μετέπειτα αποτελέσματα (Bessel φάσμα, Carson, FM-in-noise) ισχύουν και για PM μετά από αναπροσαρμογή του β.

Επόμενο

Bessel expansion + sidebands

Φόρτωση σχολίων…