Modulation · FM·~28 min read·🔴 Heavy exam

FM — η ιδέα + modulation index β

Χρειάζεσαι:Fourier transform Bandpass & I/Q canonical form Conventional AM

Η AM κωδικοποιεί την πληροφορία στο πλάτος του carrier. Η FM (Frequency Modulation) την κωδικοποιεί στη συχνότητα. Στο γνωστό AM ραδιόφωνο, όταν εκτονώνεται κεραυνός, ο amplitude θόρυβος προστίθεται στο envelope και ακούγεται. Στο FM, τα peaks του θορύβου προσπαθούν να αλλάξουν το πλάτος — και αγνοούνται. Γι' αυτό το FM είναι ανώτερο σε θόρυβο από το AM.

Η FM ομάδα (4 κεφάλαια) είναι το δεύτερο βαρύ exam topic μετά την AM (~25% combined). Σε αυτό το πρώτο κεφάλαιο μαθαίνουμε:

Την έννοια της στιγμιαίας συχνότητας.
Την εξίσωση FM.
Το modulation index β και τη σχέση του με τη frequency deviation $Δ f$ .
Τη διάκριση NBFM vs WBFM.

1. Στιγμιαία συχνότητα — όταν η συχνότητα κουνιέται με τον χρόνο

Σε ένα κανονικό cosine $A cos (2 π f_{0} t)$ , η συχνότητα είναι σταθερή ( $f_{0}$ ). Αλλά τι γίνεται αν θέλουμε να την κάνουμε να μεταβάλλεται με τον χρόνο;

Ορίζουμε τη στιγμιαία συχνότητα $f (t)$ ως τον ρυθμό αλλαγής της φάσης ως προς τον χρόνο, διαιρεμένο με $2 π$ :

f (t) = \frac{1}{2 π} \frac{d θ ( t )}{d t}

όπου $θ (t)$ είναι η συνολική φάση του σήματος. Γενικότερα, ένα κύμα γράφεται:

x (t) = A cos θ (t)

Για σταθερή συχνότητα, $θ (t) = 2 π f_{0} t$ → $f (t) = f_{0}$ . Για χρονικά μεταβαλλόμενη συχνότητα, η φάση είναι το ολοκλήρωμα της στιγμιαίας συχνότητας:

θ (t) = 2 π \int_{- \infty}^{t} f (τ) d τ

Παράδειγμα: αν θέλουμε η συχνότητα να ταλαντώνεται γύρω από $f_{c}$ ακολουθώντας ένα message $m (t)$ :

f (t) = f_{c} + k_{f} \cdot m (t)

όπου $k_{f}$ είναι ο frequency deviation constant (Hz/V). Όταν $m$ είναι θετικό, η συχνότητα ανεβαίνει· όταν αρνητικό, πέφτει.

2. Η εξίσωση FM

Ολοκληρώνουμε την στιγμιαία συχνότητα για να βρούμε τη φάση:

θ (t) = 2 π f_{c} t + 2 π k_{f} \int_{- \infty}^{t} m (τ) d τ

Άρα το FM σήμα είναι:

x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + 2 π k_{f} \int_{- \infty}^{t} m (τ) d τ] ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

Δύο όροι μέσα στο cosine:

$2 π f_{c} t$ — η σταθερή συνιστώσα (carrier).
$2 π k_{f} \int m (τ) d τ$ — η phase modulation: το ολοκλήρωμα του message «σπρώχνει» τη φάση πάνω-κάτω.

Σημείωση: το ολοκλήρωμα είναι κρίσιμο. Δεν είναι το $m (t)$ που μπαίνει απευθείας στη φάση — είναι το ολοκλήρωμά του. Γι' αυτό η FM διαφέρει από την Phase Modulation (PM), όπου το $m (t)$ μπαίνει απευθείας:

x_{P M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + k_{p} m (t)]

(PM και FM είναι «δυϊκές» — αν το $m (t)$ της FM είναι το παράγωγο του $m (t)$ της PM, οι έξοδοι είναι ίδιες.)

3. Single-tone FM

Στις εξετάσεις, σχεδόν πάντα δουλεύουμε με single-tone message:

m (t) = A_{m} cos (2 π f_{m} t)

Το ολοκλήρωμα γίνεται:

\int_{- \infty}^{t} m (τ) d τ = \frac{A _{m}}{2 π f _{m}} sin (2 π f_{m} t)

Αντικαθιστώντας:

x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + \frac{k _{f} A _{m}}{f _{m}} sin (2 π f_{m} t)]

Ορίζουμε:

β = \frac{k _{f} A _{m}}{f _{m}} = \frac{Δ f}{f _{m}} ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

όπου:

$β$ — modulation index της FM (αδιάστατος αριθμός)
$Δ f = k_{f} A_{m}$ — frequency deviation (Hz): η μέγιστη απόκλιση της στιγμιαίας συχνότητας από τον carrier.
$f_{m}$ — η συχνότητα του message.

Με τον ορισμό του β, η εξίσωση γίνεται:

x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + β sin (2 π f_{m} t)]

Αυτή είναι η μορφή που θα δουλέψουμε στο επόμενο κεφάλαιο για να βρούμε το φάσμα μέσω Bessel.

FM σήμα στον χρόνο — η συχνότητα κουνιέται ακολουθώντας το m(t)

Πάνω: message m(t). Μέσο: η στιγμιαία συχνότητα f(t) = f_c + k_f · m(t) — αυξάνεται όπου το m είναι θετικό, πέφτει όπου είναι αρνητικό. Κάτω: το FM σήμα x(t) — δες πώς οι κορυφές «συμπιέζονται» όπου f είναι ψηλή και «απλώνονται» όπου είναι χαμηλή. Το envelope μένει σταθερό — όλη η πληροφορία στη φάση.

β = Δf / f_m = 2.00 · frequency deviation Δf = 1.20 · f_m · WBFM (β > 1)

Η στιγμιαία συχνότητα είναι κρίσιμη έννοια στο FM: f(t) = f_c + Δf · m(t)/max(m). Όταν το message αυξάνει, η συχνότητα του carrier ανεβαίνει — όχι το πλάτος. Γι' αυτό η FM είναι ανοσοποιημένη στο amplitude noise: τα peaks του θορύβου επηρεάζουν το envelope, όχι τη συχνότητα.

4. Σύνδεση με την I/Q canonical form

Από το /modulation/bridge §5b, η FM είναι η τέταρτη γραμμή του πίνακα:

x_{I} (t) = A_{c} cos ϕ (t), x_{Q} (t) = - A_{c} sin ϕ (t)

όπου $ϕ (t) = β sin (2 π f_{m} t)$ για single-tone.

Envelope:

V (t) = x_{I}^{2} + x_{Q}^{2} = A_{c} cos^{2} ϕ + sin^{2} ϕ = A_{c}

Σταθερό envelope! — όλη η πληροφορία ζει στη φάση. Στο complex plane, το complex envelope $g (t) = A_{c} e^{j ϕ (t)}$ κινείται πάνω σε κύκλο ακτίνας $A_{c}$ , χωρίς ποτέ να αλλάζει μέτρο. Δες αυτό στο <IQDecompositionViz /> με το preset «FM».

5. NBFM vs WBFM — δύο regimes

Ανάλογα με το $β$ , η FM ξεχωρίζει σε δύο πολύ διαφορετικά καθεστώτα:

Regime	Συνθήκη	Συμπεριφορά
NBFM (Narrowband FM)	$β ≪ 1$ (συνήθως $β < 0.3$ )	Συμπεριφέρεται σχεδόν σαν AM — μόνο 2 sidebands. Bandwidth $\approx 2 f_{m}$ (όπως AM).
WBFM (Wideband FM)	$β ≫ 1$ (συνήθως $β > 1$ )	Πολλαπλές sidebands. Bandwidth $≫ 2 f_{m}$ . Χρησιμοποιείται στο εμπορικό FM ραδιόφωνο.

Παράδειγμα τιμών για εμπορικό FM ραδιόφωνο:

Message bandwidth $W \approx 15$ kHz (high-fidelity audio)
Frequency deviation $Δ f = 75$ kHz (πρότυπο FCC)
$β = Δ f / W = 5$ → WBFM
Carson's rule bandwidth: $\sim 180$ kHz, ταιριάζει με τα 200 kHz spacing του broadcast standard

Παράδειγμα NBFM:

Two-way ραδιοεπικοινωνία (police, taxi)
Δf $\approx 5$ kHz, message $\approx 5$ kHz → $β \approx 1$ (boundary)
Στενότερα κανάλια ( $\sim 25$ kHz) χωράνε στο διαθέσιμο φάσμα.

6. Worked example — Jan'26 Θ4

7. Σύνοψη formulas (στο τυπολόγιο)

Ποσότητα	Τύπος
FM signal (general)	$x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + 2 π k_{f} \int m d τ]$
FM signal (single-tone)	$x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + β sin (2 π f_{m} t)]$
Στιγμιαία συχνότητα	$f (t) = f_{c} + k_{f} m (t)$
Frequency deviation (single-tone)	$Δ f = k_{f} A_{m}$
Modulation index	$β = Δ f / f_{m} = k_{f} A_{m} / f_{m}$
Envelope	$V (t) = A_{c}$ (σταθερό)
Phase	$θ (t) = β sin (2 π f_{m} t)$

8. Πραγματικές εφαρμογές της FM

FM ραδιόφωνο (88–108 MHz): high-fidelity stereo audio, $β \approx 5$ , channel spacing 200 kHz.
TV audio (αναλογικό): FM-modulated audio carrier δίπλα στο VSB video.
Two-way radio (ασυρματάκια): NBFM, $β \approx 1$ , στενά κανάλια.
Cellular (αναλογικό AMPS, ιστορικό): NBFM για φωνή πριν τα ψηφιακά standards.
Telemetry: FM-FM telemetry για επιστημονικά πειράματα.
Aircraft VHF: στην πραγματικότητα AM, όχι FM (παράδοση από WW2 — FM δεν είχε αναπτυχθεί ακόμα). Αλλά UHF στρατιωτικά είναι FM.

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις πάνω στη στιγμιαία συχνότητα, το $β$ , και τη διάκριση NBFM/WBFM.

Τι μάθαμε

Η FM κωδικοποιεί την πληροφορία στη στιγμιαία συχνότητα του carrier, με $f (t) = f_{c} + k_{f} m (t)$ .
Η εξίσωση: $x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + 2 π k_{f} \int m d τ]$ . Για single-tone: $x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + β sin (2 π f_{m} t)]$ .
Modulation index $β = Δ f / f_{m}$ , αδιάστατος. Η frequency deviation $Δ f = k_{f} A_{m}$ μετριέται σε Hz.
Σταθερό envelope $V = A_{c}$ — όλη η πληροφορία στη φάση. Στο complex plane το $g (t)$ κινείται σε κύκλο.
NBFM ( $β < 0.3$ ): σχεδόν σαν AM, BW ≈ 2 f_m. WBFM ( $β > 1$ ): πολλές sidebands, BW μεγαλύτερο.
Πλεονέκτημα έναντι AM: ανθεκτικότητα στο amplitude noise (envelope μπορεί να αφαιρεθεί). Κόστος: μεγαλύτερο bandwidth.
Επόμενο κεφάλαιο: το φάσμα της FM μέσω Bessel functions — εκεί το β μπαίνει στο παιχνίδι μαθηματικά.

Επόμενο

PM + δυϊκότητα με FM

Φόρτωση σχολίων…