FM — η ιδέα + modulation index β_f

Η AM κωδικοποιεί την πληροφορία στο πλάτος του carrier. Όταν εκτονώνεται κεραυνός κοντά σε ένα AM δέκτη, ο amplitude θόρυβος προστίθεται στο envelope και ακούγεται. Η FM (Frequency Modulation) κωδικοποιεί την ίδια πληροφορία στη συχνότητα του carrier και κρατάει το πλάτος σταθερό — οπότε αν προσπαθήσει ο ίδιος κεραυνός να αλλάξει το πλάτος, ο δέκτης μπορεί να το αγνοήσει (limiter) και να εξαγάγει την πληροφορία της φάσης ανέπαφη. Γι' αυτό η FM είναι ανώτερη σε θόρυβο από την AM, και γι' αυτό κάθε σύγχρονο εμπορικό ραδιόφωνο υψηλής πιστότητας είναι FM.

Σε αυτό το πρώτο κεφάλαιο της οικογένειας Διαμόρφωσης Γωνίας μαθαίνουμε:

1. Γιατί μιλάμε για «Διαμόρφωση Γωνίας» αντί απλώς για «FM» — και τι κερδίζεις από αυτή τη γενίκευση.
2. Την έννοια της στιγμιαίας συχνότητας $f_i(t)$.
3. Την εξίσωση FM μέσω της ευαισθησίας συχνότητας $K_f$.
4. Την PM↔FM δυϊκότητα (integrator/differentiator) με συγκεκριμένες σταθερές.
5. Το modulation index ${\beta }_f=\Delta f_{max}/W$ και πώς ξεχωρίζει NBFM από WBFM.
6. Γιατί η ισχύς της FM είναι πάντα $A_c^2/2$ (ανεξάρτητα του β), και πώς το NBFM μοιάζει αλλά δεν ταυτίζεται με το AM.

1. Τι είναι ένα FM σήμα — η εικόνα πριν τα μαθηματικά

Πριν γράψουμε έναν τύπο, ας δούμε τι πραγματικά είναι ένα FM σήμα — γιατί χωρίς αυτή την εικόνα, όλα τα μαθηματικά παρακάτω θα μοιάζουν αυθαίρετα.

Ξεκίνα από κάτι που ήδη ξέρεις, το AM. Εκεί, το κύμα του carrier ταλαντώνεται με σταθερό ρυθμό, και αυτό που αλλάζει είναι το ύψος του: το envelope φουσκώνει και ξεφουσκώνει ακολουθώντας το message. Η FM κάνει το ακριβώς αντίστροφο. Το ύψος μένει παγωμένο σταθερό, και αυτό που αλλάζει είναι το πόσο γρήγορα ταλαντώνεται το κύμα: όταν το message ανεβαίνει, οι κορυφές πυκνώνουν (ταλαντώνεται πιο γρήγορα)· όταν κατεβαίνει, αραιώνουν (πιο αργά). Η «μελωδία» του πόσο-γρήγορα-κουνιέται είναι το message.

Καθημερινή αναλογία: ένας τραγουδιστής που κρατάει σταθερή ένταση αλλά γλιστράει το pitch πάνω-κάτω — η πληροφορία είναι στο πώς ανεβοκατεβαίνει ο τόνος, όχι στην ένταση. Ή η σειρήνα ασθενοφόρου: ίδια ένταση, αλλά η συχνότητα κάνει «ιι-οο-ιι-οο» — κι αυτό το ανεβοκατέβασμα είναι η πληροφορία.

Στο σχήμα: πάνω το message $m(t)$· στη μέση το πόσο γρήγορα ταλαντώνεται το κύμα κάθε στιγμή (θα το ονομάσουμε σε λίγο στιγμιαία συχνότητα)· κάτω το ίδιο το FM κύμα. Πρόσεξε δύο πράγματα: (1) οι κορυφές πυκνώνουν όπου το message είναι ψηλά και αραιώνουν όπου είναι χαμηλά, και (2) το ύψος δεν αλλάζει ποτέ — οι διακεκομμένες γραμμές στο $\pm A_c$ μένουν ακίνητες.

Μέχρι εδώ είδαμε τη μία πλευρά — τη συχνότητα. Η ίδια πληροφορία όμως μπορεί να ζει και στη φάση, και αυτή είναι η αδελφή τεχνική, η PM. Κι εδώ η διαίσθηση δυσκολεύει πιο πολύ: πώς «διαβάζεις» κάτι τόσο σχετικό όσο η φάση;

Τώρα που έχεις και τις δύο εικόνες, ας τις βάλουμε σε γενικό πλαίσιο. Και η FM (πληροφορία στη συχνότητα) και η PM (πληροφορία στη φάση) κρατούν το πλάτος σταθερό και πειράζουν τη γωνία του cosine — γι' αυτό ανήκουν στην ίδια οικογένεια, τη Διαμόρφωση Γωνίας:

Η συγκεκριμένη συνάρτηση $f(\cdot )$ που μετατρέπει το $m(t)$ σε φάση καθορίζει το είδος της διαμόρφωσης γωνίας. Δύο επιλογές:

Θα δούμε αμέσως ότι αυτές οι δύο μορφές δεν είναι ασύνδετες — διαφέρουν απλώς κατά έναν integrator / differentiator. Πρώτα όμως: γιατί όλη αυτή η φασαρία;

2. Τι σημαίνει «αλλάζει η συχνότητα» — η γωνία και η κλίση της

Μέχρι τώρα περιγράψαμε την FM με μια πρόταση για peaks: «όταν το message ανεβαίνει, οι κορυφές πυκνώνουν». Είναι ακριβώς η σωστή εικόνα και αξίζει να την κρατήσεις — αλλά δεν είναι κάτι που μπορείς να γράψεις. Για να γίνει τύπος, χρειάζεται μια απάντηση σε κάτι πιο βασικό, που κανείς δεν το ρωτάει ποτέ ρητά:

Τι είναι, φυσικά, η συχνότητα;

Η απάντηση κάνει όλο το υπόλοιπο κεφάλαιο να κυλήσει μόνο του, οπότε αξίζει τα δύο λεπτά.

2α. Ένα cosine είναι ένα βελάκι που γυρίζει

Αυτή η εικόνα έχει ήδη χτιστεί στα θεμέλια — στα μιγαδικά εκθετικά και στη φάση. Την ξαναπιάνουμε σε δύο γραμμές, γιατί όλα εδώ κρέμονται από αυτήν.

Στο σχήμα που ακολουθεί, το σημείο P περπατάει γύρω-γύρω σε έναν κύκλο με σταθερό βήμα. Κοίτα μόνο τη σκιά του στον οριζόντιο άξονα — το πορτοκαλί σημείο κάτω από το P. Πηγαινοέρχεται δεξιά-αριστερά: γρήγορα όταν περνάει από τη μέση, και αργά στα δύο άκρα, όπου το P γυρίζει και η σκιά σταματάει για να αλλάξει φορά. Δεξιά στο ίδιο σχήμα βλέπεις την ίδια ακριβώς τιμή σχεδιασμένη στον χρόνο — και αυτό που γράφει είναι ένα cosine.

Δεν είναι μεταφορά ούτε αναλογία: το cosine είναι η σκιά μιας κυκλικής κίνησης.

Από αυτή την εικόνα βγαίνουν τρεις αντιστοιχίες, και είναι όλη η ουσία:

Άρα η συχνότητα, κυριολεκτικά, είναι στροφές ανά δευτερόλεπτο. Σύρε τη συχνότητα στο σχήμα και δες την τρίτη γραμμή του πίνακα να συμβαίνει: το σημείο γυρίζει πιο γρήγορα, οι κορυφές πυκνώνουν, και το αγκύλιο «μία στροφή = ένας κύκλος» μικραίνει μαζί τους.

Και μία στροφή είναι $2\pi$ rad — αυτό, και μόνο αυτό, είναι που κάνει το $2\pi$ να εμφανίζεται παντού σε αυτό το κεφάλαιο. Το ίδιο $2\pi$ είναι που είχαμε ξεχρεώσει στα θεμέλια όταν γράψαμε $\omega =2\pi f$.

Και τώρα το βήμα που αλλάζει τα πάντα. Σε ένα συνηθισμένο cosine $A\cos (2\pi f_{0}t)$, τι είναι το πράγμα μέσα στην παρένθεση; Είναι η γωνία του βελακιού τη στιγμή $t$. Ονόμασέ τη $\theta (t)$:

Γιατί αυτό; Γιατί σε $t$ δευτερόλεπτα το βελάκι έκανε $f_{0}t$ στροφές, και κάθε στροφή είναι $2\pi$ rad. Η γωνία ανεβαίνει γραμμικά, με κλίση $2\pi f_0$. Λύσε ως προς τη συχνότητα:

Διάβασέ το προσεκτικά, γιατί δεν ορίσαμε τίποτα καινούργιο. Πήραμε τη συχνότητα που ήδη ξέραμε και τη γράψαμε αλλιώς: η συχνότητα είναι η κλίση της γωνίας (διά $2\pi$, για να μετρηθεί σε στροφές αντί για rad). Στο απλό cosine δεν χρειάστηκε ποτέ να το πούμε έτσι, επειδή η κλίση ήταν σταθερή και δεν είχε νόημα να τη ρωτήσεις «πότε».

2β. Άσε τώρα την ταχύτητα να αλλάζει

Αν το βελάκι δεν γυρίζει με σταθερό ρυθμό — πότε πιο γρήγορα, πότε πιο αργά — η γωνία $\theta (t)$ δεν είναι πια ίσια γραμμή. Είναι μια καμπύλη που πάντα ανεβαίνει, αλλά άλλοτε απότομα κι άλλοτε ήπια.

Και όμως, σε κάθε στιγμή έχει ακόμα μια κλίση. Οπότε δεν χρειάζεται καινούργιος ορισμός: κρατάμε τον ίδιο τύπο και απλώς σταματάμε να υποθέτουμε ότι το αποτέλεσμα είναι σταθερό.

Αυτή είναι η στιγμιαία συχνότητα (instantaneous frequency) — ο δείκτης ${}_i$ είναι εκεί για να την ξεχωρίζει από τη συχνότητα του φάσματος, και σε λίγο θα δούμε γιατί η διάκριση είναι απαραίτητη.

Ο έλεγχος που της δίνει το δικαίωμα να λέγεται «συχνότητα». Βάλε μέσα ένα κανονικό cosine, $\theta =2\pi f_{0}t$: παίρνεις $f_i=f_0$, σταθερό, για κάθε $t$. Δηλαδή στην περίπτωση που ήδη ξέρεις την απάντηση, δίνει την απάντηση που ξέρεις. Οποιοσδήποτε ορισμός αποτύγχανε σε αυτόν τον έλεγχο θα ήταν λάθος ορισμός.

Γιατί «στιγμιαία». Οι συχνότητες που καταλαμβάνει ένα σήμα υπολογίζονται μέσω Fourier για ολόκληρο το χρονικό του διάστημα — είναι μια απάντηση για το σήμα συνολικά. Η $f_i(t)$ ορίζεται για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, όπως ακριβώς η στιγμιαία ταχύτητα στη Μηχανική: ένα αυτοκίνητο έχει μέση ταχύτητα σε όλο το ταξίδι και ένδειξη κοντέρ κάθε δευτερόλεπτο. Δύο διαφορετικές ερωτήσεις, δύο διαφορετικά νούμερα, καμία αντίφαση.

Στο σχήμα που ακολουθεί μπορείς να δεις και τα τρία μαζί: το βελάκι που γυρίζει, τη γωνία του, και το κύμα που γράφει η σκιά του. Ξεκίνα από το «Χωρίς message» — εκεί η γωνία ανεβαίνει σε τέλεια ίσια γραμμή και το κύμα είναι ένα απλό cosine. Μετά γύρνα σε FM και κοίτα τι παθαίνει η κλίση.

2γ. Δύο γωνίες, όχι μία — η ολική θ(t) και η γωνία διαμόρφωσης φ(t)

Στη μορφή της διαμόρφωσης γωνίας εμφανίστηκαν δύο σύμβολα που και τα δύο τα λέμε «φάση». Είναι διαφορετικά πράγματα και η διαφορά τους είναι απλή, αλλά αν την προσπεράσεις, όλες οι επόμενες γραμμές γίνονται διφορούμενες.

• $\theta (t)$ — η ολική γωνία: όλο το περιεχόμενο της παρένθεσης του cosine, δηλαδή η πραγματική γωνία του βελακιού. Μεγαλώνει χωρίς όριο, γιατί το βελάκι δεν σταματάει ποτέ να γυρίζει.
• $\varphi (t)$ — η γωνία διαμόρφωσης (modulation phase): μόνο το κομμάτι που οφείλεται στο message. Μένει φραγμένη, και είναι μηδέν όταν δεν στέλνεις τίποτα.

Δηλαδή το $\varphi$ μετράει πόσο μπροστά ή πίσω είναι το βελάκι σε σχέση με το πού θα βρισκόταν αν δεν υπήρχε καθόλου message. Αυτό ακριβώς έδειχνε το άνοιγμα ανάμεσα στα δύο βελάκια στο σχήμα από πάνω — και είναι το ίδιο «νωρίτερα/αργότερα» της PM που είδαμε στο §1, τώρα με όνομα.

Ο έλεγχος: βάλε $\varphi \equiv 0$. Παίρνεις $x=A_c\cos (2\pi f_{c}t)$ — τον γυμνό carrier, χωρίς καμία πληροφορία πάνω του. Σωστά, αφού «καμία διαμόρφωση» πρέπει να σημαίνει «καμία απόκλιση από το σταθερό γύρισμα». (Είναι η επιλογή Χωρίς message στο σχήμα.)

Και τώρα παραγώγισε τη διάσπαση — εδώ φαίνεται γιατί μπήκε ο κόπος να χωριστούν:

Σε λέξεις: η στιγμιαία συχνότητα είναι ο βασικός ρυθμός του carrier, συν όποιον επιπλέον ρυθμό προσθέτει το message. Χωρίσαμε τη γωνία σε δύο κομμάτια ακριβώς για να μπορεί το δεύτερο κομμάτι να είναι όλη η πληροφορία και το πρώτο να είναι το αμετάβλητο υπόβαθρο.

2δ. Άρα: «συχνότητα» ή «ρυθμός μεταβολής της φάσης»;

Αυτό είναι το σημείο όπου η FM συνήθως χάνεται, γιατί μοιάζει με αλλαγή θέματος. Ξεκινήσαμε λέγοντας «η FM βάζει το message στη συχνότητα», και σε λίγο θα δεις τη διαμόρφωση να ορίζεται μέσω του «ρυθμού μεταβολής της φάσης». Μοιάζουν με δύο διαφορετικά πράγματα που πρέπει να τα θυμάσαι και τα δύο.

Δεν είναι. Είναι η ίδια πρόταση, γραμμένη δύο φορές. Το 2α το έδειξε: συχνότητα σημαίνει κλίση της γωνίας. Οπότε

Μένει μόνο μία εύλογη ερώτηση: αν είναι το ίδιο, γιατί οι τύποι γράφονται στη φάση και όχι κατευθείαν στη συχνότητα, που είναι πιο διαισθητική;

Επειδή ένα cosine δεν δέχεται συχνότητα — δέχεται γωνία. Το $\cos (\cdot )$ θέλει μέσα του έναν αριθμό σε rad. Η $f_i(t)$ είναι ρυθμός· για να φτιάξεις κύμα, πρέπει να τη μαζέψεις πίσω σε γωνία. Κι αυτό είναι ολοκλήρωση — ακριβώς όπως ξέρεις πού βρίσκεσαι μόνο αν συσσωρεύσεις την ταχύτητά σου, όχι αν την κοιτάξεις μια στιγμή.

Τι λέει: η γωνία τώρα είναι η γωνία που είχες κάποια αρχική στιγμή, συν όλο το γύρισμα που μάζεψες από τότε. (Ο όρος $\theta (t_0)$ χρειάζεται: ένας ρυθμός σού λέει πώς αλλάζει μια γωνία, ποτέ από πού ξεκίνησε.)

Άρα η ολοκλήρωση που θα δεις στην εξίσωση της FM δεν είναι σχεδιαστική επιλογή που έκανε κάποιος — είναι μονόδρομος. Σχεδιάζεις σε ρυθμό, εκπέμπεις σε γωνία, και το ένα γίνεται το άλλο μόνο με ολοκλήρωμα.

Και εδώ κουμπώνει η PM δίπλα στην FM. Και οι δύο πειράζουν την ίδια γωνία, αλλά η μία ρυθμίζει θέση και η άλλη ταχύτητα:

Θέση και ταχύτητα συνδέονται με παράγωγο και ολοκλήρωμα — γι' αυτό η PM και η FM θα αποδειχθούν, στο §4, δύο όψεις του ίδιου πράγματος. Και γι' αυτό, όπως είδαμε στο §1, ένα message που πηδάει κάνει την PM να πηδήξει αλλά όχι την FM: μπορείς να μεταφέρεις κάτι ακαριαία σε νέα θέση, δεν μπορείς όμως να το κάνεις αυτό αν το μόνο που ελέγχεις είναι η ταχύτητά του.

2ε. Το φάσμα, όμως, δεν κουνιέται

Μία εκκρεμότητα από το §1, και είναι σημαντική γιατί δύο σωστές εικόνες μοιάζουν εδώ να λένε αντίθετα πράγματα. Αν η συχνότητα «κουνιέται συνέχεια», μήπως αυτό σημαίνει ότι στέλνουμε ένα cosine τώρα κι ένα άλλο μετά;

Όχι. Το FM σήμα είναι ένα και μοναδικό συνεχές κύμα: βγαίνει από έναν ταλαντωτή, έναν VCO (ταλαντωτή ελεγχόμενο από τάση), που απλώς προχωράει τη γωνία του πιο γρήγορα ή πιο αργά. Καμία εναλλαγή, κανένα «τώρα το ένα, τώρα το άλλο», άρα ούτε πρόβλημα συγχρονισμού.

Και η εικόνα του Fourier; Αν αναλύσεις το σήμα σε όλη του τη διάρκεια, όντως είναι άθροισμα από αιώνια cosines — αλλά ένα σταθερό σύνολο, που υπάρχει όλο ταυτόχρονα και για πάντα. Σταθερά είναι και τα πλάτη και οι φάσεις τους· το φάσμα δεν αλλάζει με τον χρόνο.

Για single-tone FM, οι τόνοι αυτοί κάθονται στις συχνότητες

δηλαδή μια ολόκληρη οικογένεια αρμονικών γύρω από το φέρον, όχι δύο sidebands όπως στην AM. Το ότι οι γραμμές κάθονται ακριβώς εκεί — και πουθενά αλλού — θα το αποδείξουμε στο §6β, μόλις χτίσουμε το complex envelope· το πόσο ψηλή είναι η καθεμιά χρειάζεται τις συναρτήσεις Bessel και είναι η δουλειά του κεφαλαίου Bessel + sidebands. Για το επιχείρημα εδώ αρκεί μόνο ένα πράγμα από αυτές: όποιες κι αν είναι, είναι ακίνητες. Οι θέσεις τους δεν μετακινούνται και τα ύψη τους δεν αλλάζουν όσο μιλάει το message. (Άρα και η φάση που «γλιστράει νωρίτερα/αργότερα» δεν είναι η φάση κάποιου τόνου του Fourier που μεταβάλλεται· είναι η ολική γωνία του αθροίσματος, που προκύπτει από τη συμβολή σταθερών τόνων.)

Πώς τότε ένα σταθερό σύνολο σταθερών τόνων δίνει «συχνότητα που γλιστράει»; Με συμβολή — και το έχεις ήδη ακούσει να συμβαίνει. Δύο χορδές κιθάρας λίγο ξεκούρδιστες μεταξύ τους ηχούν συνεχώς και σταθερά, καμία δεν αλλάζει ένταση, κι όμως ακούγεται ένα «ουά-ουά» που δυναμώνει και σβήνει. Αυτό λέγεται διακρότημα (beats), και δεν το έχει καμία από τις δύο χορδές: γεννιέται αποκλειστικά από το πώς αθροίζονται — άλλοτε ενισχυτικά, άλλοτε αναιρετικά. Ακριβώς έτσι, οι σταθεροί τόνοι του FM φάσματος συμβάλλουν ώστε το άθροισμά τους να έχει κάθε στιγμή τη γωνιακή ταχύτητα που θέλουμε. Η «μετακινούμενη συχνότητα» ζει στον συνδυασμό, όχι σε κάποιο μεμονωμένο cosine.

Άρα οι δύο εικόνες είναι και οι δύο σωστές, για το ίδιο κύμα: η στιγμιαία συχνότητα απαντάει «πόσο γρήγορα κουνιέται τώρα» (τοπικά)· το φάσμα απαντάει «από τι αποτελείται συνολικά» (καθολικά). Ο discriminator του δέκτη διαβάζει το πρώτο, ο αναλυτής φάσματος δείχνει το δεύτερο.

3. Από στιγμιαία συχνότητα στην εξίσωση FM

Τώρα που ξέρουμε τι σημαίνει «στιγμιαία συχνότητα», μπορούμε επιτέλους να γράψουμε τι ζητάμε από την FM. Και το ζητούμενο είναι ακριβώς αυτό που υποσχεθήκαμε από την πρώτη γραμμή του κεφαλαίου — η συχνότητα να ακολουθεί το message, γραμμικά:

Αυτή η μία γραμμή είναι ολόκληρη η προδιαγραφή της FM. Ο $K_f$ ονομάζεται «ευαισθησία συχνότητας» (frequency sensitivity) και μετριέται σε $\text{Hz}/\text{Volt}$: πόσα Hz μετατοπίζεται η στιγμιαία συχνότητα ανά Volt του message. Ένα Volt πάνω → $K_f$ Hz πιο γρήγορα· ένα Volt κάτω → $K_f$ Hz πιο αργά. Το $f_c$ είναι η ηρεμία: η συχνότητα όταν το message είναι μηδέν.

Από την προδιαγραφή στην κατασκευή. Το κύμα δεν χτίζεται από την $f_i$ — χτίζεται από τη γωνία (§2δ). Οπότε μεταφράζουμε. Ξεκίνα από τη διάσπαση του §2γ, $f_i=f_c+\frac{1}{2\pi }\frac{d\varphi }{dt}$, και βάλ᾽ τη δίπλα στην προδιαγραφή:

Τα $f_c$ φεύγουν, και μένει η ίδια απαίτηση διατυπωμένη στη φάση:

Αυτή είναι η γραμμή που στις διαφάνειες εμφανίζεται πρώτη, ως ο ορισμός της FM: «ο ρυθμός μεταβολής της φάσης μεταβάλλεται γραμμικά με το $m(t)$». Τώρα ξέρεις ότι δεν είναι δεύτερο, ανεξάρτητο γεγονός — είναι η προδιαγραφή $f_i=f_c+K_{f}m$ ξαναγραμμένη στη γλώσσα που καταλαβαίνει το cosine.

Πριν προχωρήσουμε στην κατασκευή του κύματος, αξίζει να δεις τι είδους ποσότητα είναι η $f_i(t)=f_c+K_{f}m(t)$, αφού μόλις δείξαμε ότι το φάσμα είναι στατικό. Είναι ποσότητα του χρονικού πεδίου («πόσο γρήγορα γυρίζει το βελάκι τώρα»), όχι μια συχνότητα Fourier. Και είναι ακριβώς αυτό που ελέγχει ο πομπός και διαβάζει ο δέκτης:

• Στον πομπό, ένας VCO (ταλαντωτής ελεγχόμενος από τάση) είναι ένα «κουμπί» που ρυθμίζει τον ρυθμό ταλάντωσης ανάλογα με μια τάση. Η $f_i(t)=f_c+K_{f}m(t)$ είναι κυριολεκτικά η «περιγραφή εργασίας» του: «βάλε τη στιγμιαία συχνότητα στο $f_c$ συν λίγο, ανάλογα με το message».
• Στον δέκτη, ένας discriminator βγάζει μια τάση ανάλογη με το $f_i(t)-f_c$ — μετράει τον ζωντανό ρυθμό και έτσι ανακτά το $m(t)$.

Με άλλα λόγια: σχεδιάζεις στο πεδίο της $f_i(t)$ (χρόνος), και το στατικό φάσμα Bessel είναι αυτό που σου χρεώνει μετά ο Fourier σε bandwidth (Carson, παρακάτω). Η $f_i(t)$ είναι ο κρίκος message → κύμα· το φάσμα είναι η συνέπεια.

Και ολοκληρώνοντας τη φάση:

Άρα το FM σήμα είναι:

Αυτή ακριβώς είναι η εξίσωση πίσω από την κυματομορφή που είδες στην αρχή του κεφαλαίου: ο όρος $2\pi K_f\int m$ μέσα στο cosine είναι που έκανε τις κορυφές να πυκνώνουν και να αραιώνουν.

Δύο όροι μέσα στο cosine:

• $2\pi f_{c}t$ — η σταθερή συνιστώσα του carrier.
• $2\pi K_f\int m(\tau )d\tau$ — η modulation phase: το ολοκλήρωμα του message «σπρώχνει» τη φάση πάνω-κάτω.

Το ολοκλήρωμα είναι το σημείο-κλειδί, και αξίζει να είσαι σίγουρος γιατί βρίσκεται εκεί. Δεν μπαίνει το $m(t)$ απευθείας στη φάση, μπαίνει το ολοκλήρωμά του — και ο λόγος είναι αυτός του §2δ, όχι κάποια αυθαίρετη επιλογή. Ζητήσαμε το message να ορίζει τον ρυθμό με τον οποίο προχωράει η γωνία. Ένας ρυθμός όμως δεν μπαίνει μέσα σε cosine· μέσα μπαίνει γωνία. Και η γωνία που αντιστοιχεί σε έναν δοσμένο ρυθμό είναι, εξ ορισμού, ο συσσωρευμένος ρυθμός: όπως η θέση σου είναι η συσσωρευμένη ταχύτητά σου. Άρα το ολοκλήρωμα είναι αναγκαστικό — είναι η μοναδική διαδρομή από «τι ρυθμό θέλω» σε «τι γωνία γράφω».

Και συγκριτικά με την PM, όπου το $m(t)$ μπαίνει απευθείας στη φάση: εκεί το message ορίζει θέση, οπότε δεν χρειάζεται καμία συσσώρευση. Θέση και ρυθμός διαφέρουν κατά ένα ολοκλήρωμα — και αυτή η μία διαφορά είναι όλη η απόσταση ανάμεσα στις δύο διαμορφώσεις. Η επόμενη ενότητα την κάνει κύκλωμα.

4. Δυϊκότητα PM ↔ FM — με τις ακριβείς σταθερές

Ένα πολύ κομψό αποτέλεσμα: PM και FM δεν είναι ανεξάρτητες τεχνολογίες. Μπορείς να φτιάξεις τη μία από την άλλη με ένα ολοκληρωτή ή έναν διαφοριστή — και υπάρχει ακριβής σχέση μεταξύ των δύο ευαισθησιών.

Πρακτική συνέπεια: ένα εργοστάσιο που φτιάχνει μόνο PM modulator hardware μπορεί να εκπέμπει FM προσθέτοντας έναν integrator στην είσοδο. Το ίδιο και αντίστροφα. Αυτή η δυϊκότητα είναι ο λόγος που τα δύο σχήματα παρουσιάζονται μαζί στην ίδια ενότητα — και που η ίδια έννοια του modulation index β θα οριστεί στο επόμενο τμήμα για ΚΑΙ τα δύο.

→ Για βαθύτερη ματιά στην PM (ξεχωριστή σταθερά ${\beta }_p$, φασματική σύνδεση με το NBFM), δες το /fm/pm. Την εικόνα του «η φάση κουβαλάει το message» — μαζί με το διαδραστικό σχήμα — τη δουλέψαμε στο §1 παραπάνω.

5. Modulation index β_f — η σωστή γενική μορφή

Έχει εκπληκτική σημασία στις εξετάσεις να ξέρεις πώς ορίζεται το modulation index για FM. Ο γενικός ορισμός είναι ο εξής:

Και τι δουλειά έχει το $W$ εκεί μέσα; Εύλογο να το ρωτήσεις: η FM «σπρώχνει τη συχνότητα», άρα το φυσικό μέγεθος μοιάζει να είναι το $\Delta f_{max}$ — πόσο μακριά τη σπρώχνει. Γιατί να το διαιρέσουμε με κάτι που αφορά το message και όχι το εκπεμπόμενο σήμα;

Επειδή το $\Delta f$ μόνο του δεν απαντάει σε καμία από τις ερωτήσεις που μας ενδιαφέρουν. Δύο σήματα με ακριβώς το ίδιο $\Delta f$ μπορεί να είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα. Τα δύο μεγέθη μετράνε δύο ξεχωριστές δουλειές:

• $\Delta f_{max}$ — πόσο μακριά ταξιδεύει η στιγμιαία συχνότητα.
• $W$ — πόσο γρήγορα προλαβαίνει να αλλάζει το message, άρα πόσο γρήγορα την υποχρεώνει να ταξιδεύει.

Γιατί μετράει η αναλογία και όχι το καθένα χωριστά. Θυμήσου τι κουβαλάει τελικά το κύμα: όχι τη συχνότητα, αλλά τη φάση — και η φάση είναι το συσσωρευμένο ολοκλήρωμα της απόκλισης. Η συσσώρευση χρειάζεται χρόνο. Ένα αργό message κρατάει τη συχνότητα σπρωγμένη προς τα εκεί για πολλή ώρα, οπότε η φάση προλαβαίνει να μαζέψει τεράστια απόκλιση. Ένα γρήγορο message την τραβάει πίσω πριν προλάβει να μαζευτεί σχεδόν τίποτα. Ίδιο σπρώξιμο, εντελώς διαφορετική φάση — και η διαφορά είναι ακριβώς το πόσο γρήγορα αλλάζει το message.

Στο single-tone ακριβώς παρακάτω θα το δεις να βγαίνει σε μία γραμμή: η φάση προκύπτει $\varphi (t)={\beta }_f\sin (2\pi f_{m}t)$, δηλαδή το ${\beta }_f$ είναι κυριολεκτικά η μέγιστη απόκλιση της φάσης σε rad. Αυτό είναι το πραγματικό νόημά του — δεν είναι λόγος δύο συχνοτήτων, είναι γωνία. Και επειδή, όπως είδαμε στο §2, η γωνία είναι αυτό που καθορίζει το κύμα, το ${\beta }_f$ είναι το μέγεθος που καθορίζει πόσες sidebands θα ξεφυτρώσουν.

Στο σχήμα και στον πίνακα που ακολουθούν εμφανίζεται το $B$, οπότε ας πούμε ρητά τι είναι — και ειδικά σε τι διαφέρει από το $W$, γιατί τα δύο ζουν μέσα στον ίδιο τύπο και μπερδεύονται εύκολα:

• $W$ — το bandwidth του message, στο baseband. Πόσο φαρδύ είναι το $m(t)$ στο φάσμα, πριν το πλησιάσει οποιοσδήποτε carrier. Για ήχο hi-fi, 15 kHz.
• $B$ — το bandwidth του εκπεμπόμενου σήματος, ψηλά γύρω από το $f_c$. Πόσο φαρδιά είναι η μπάντα που πιάνει το $x(t)$ στον αέρα — δηλαδή, πρακτικά, πόσο χώρο στο ραδιοφωνικό φάσμα πρέπει να σου παραχωρήσουν, και πόσο κοντά επιτρέπεται να κάθεται ο επόμενος σταθμός χωρίς να σε ενοχλεί.

Το $B$ είναι, με άλλα λόγια, το τίμημα: το νούμερο που πληρώνεις σε φάσμα για να στείλεις ένα message πλάτους $W$. Στην AM πλήρωνες $B=2W$ — διπλάσιο από το message, επειδή το φάσμα εμφανίζεται δύο φορές, μία σε κάθε πλευρά του carrier. Το ερώτημα εδώ είναι τι πληρώνεις στην FM.

Τι σημαίνει, τελικά, μεγάλο $W$. Κράτα το $\Delta f$ σταθερό στα 75 kHz (η τιμή του εμπορικού FM) και άλλαξε μόνο το message:

Δες την πρώτη και την τρίτη γραμμή: ίδιος πομπός, ίδιο $\Delta f$, και όμως το ένα σήμα κοστίζει 152 kHz και το άλλο 1,65 MHz. Το $\Delta f$ δεν μπορούσε να το προβλέψει αυτό· το ${\beta }_f$ το προβλέπει ακριβώς.

Οπότε η απάντηση στο «τι σημαίνει μεγάλο $W$»: μεγάλο $W$ σημαίνει μικρό ${\beta }_f$, δηλαδή η απόκλιση της συχνότητας είναι ασήμαντη μπροστά στο ίδιο το πλάτος ζώνης του message. Το σήμα τότε συμπεριφέρεται σχεδόν σαν AM: το bandwidth του το ορίζει το message, όχι η διαμόρφωση. Αυτό ακριβώς είναι το NBFM, και είναι ο λόγος που στο §7 θα δούμε το NBFM να μοιάζει τόσο πολύ με Συμβατικό AM.

Μια στιγμή όμως — από πού βγαίνει το ίδιο το $B=2(\Delta f+W)$; Σωστά κάνεις να το ρωτήσεις πριν δεχτείς έναν τύπο, ειδικά έναν που μόλις τον χρησιμοποιήσαμε για να δικαιολογήσουμε κάτι άλλο. Η πλήρης απόδειξη χρειάζεται το φάσμα κατά Bessel, που δεν το έχουμε ακόμα, και γίνεται αναλυτικά — από δύο ανεξάρτητες διαδρομές — στο /fm/carson §2.

Αυτό όμως που μπορείς να ελέγξεις τώρα είναι ότι ο τύπος έχει το σωστό σχήμα, κοιτάζοντας τις δύο ακραίες περιπτώσεις:

• Πάρα πολύ αργό message ($W\to 0$, άρα ${\beta }_f$ τεράστιο). Η στιγμιαία συχνότητα σέρνεται νωχελικά μέσα στο $[f_c-\Delta f,f_c+\Delta f]$. Κάθε στιγμή το σήμα είναι σχεδόν ένας καθαρός τόνος, και με τον χρόνο ο τόνος αυτός περνάει από όλο το διάστημα. Άρα καταλαμβάνει ακριβώς αυτό που σαρώνει: $B\to 2\Delta f$.
• Καμία απόκλιση ($\Delta f\to 0$, άρα ${\beta }_f\to 0$). Δεν σαρώνεται τίποτα· μένει μόνο το κόστος που βάζει το ίδιο το message γύρω από τον carrier, δηλαδή $B\to 2W$ — όσο και η AM. Αυτό είναι ακριβώς το NBFM του §7 παρακάτω.

Ο απλούστερος τύπος που δίνει και τα δύο όρια σωστά είναι το άθροισμά τους, $B\cong 2(\Delta f+W)$. Πρόσεξε τι μας λέει αυτό, γιατί είναι το χρήσιμο κομμάτι: οι δύο όροι δεν είναι εναλλακτικοί, είναι αθροιστικοί — πληρώνεις και για το πόσο μακριά σπρώχνεις τη συχνότητα και για το πόσο γρήγορα το κάνεις.

Να είμαστε ειλικρινείς για το τι μόλις έγινε: αυτό δεν είναι απόδειξη. Είναι έλεγχος συνέπειας — δείχνει ότι ο τύπος δεν μπορεί να έχει άλλη μορφή, όχι ότι η σταθερά είναι σωστή. Το «γιατί κόβουμε ακριβώς στις ${\beta }_f+1$ sidebands, και γιατί αυτό κρατάει περίπου το 98% της ισχύος» απαιτεί τις συναρτήσεις Bessel και είναι όλη η δουλειά των δύο επόμενων κεφαλαίων.

5α. Single-tone ειδική περίπτωση

Αν το message είναι ένα μόνο cosine $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)$:

• $\max |m|=A_m$
• $W=f_m$ (το bandwidth ενός μονοτονικού σήματος είναι η συχνότητά του)
• $\Delta f=K_f{A}_m$

Άρα:

Το ολοκλήρωμα γίνεται: $\int A_m\cos (2\pi f_m\tau )d\tau =\frac{A_m}{2\pi f_m}\sin (2\pi f_{m}t)$. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση FM:

Αυτή είναι η μορφή που θα δουλέψουμε στο επόμενο κεφάλαιο για να βρούμε το φάσμα μέσω Bessel.

6. I/Q canonical form + γιατί η ισχύς είναι A_c²/2

Η ταυτότητα $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ σπάει την εξίσωση γωνίας σε I/Q μορφή:

Με βάση αυτές τις δύο συνιστώσες:

Σταθερό envelope! Στο complex plane, το complex envelope $g(t)=A_c{e}^{j\varphi (t)}$ κινείται πάνω σε κύκλο ακτίνας $A_c$, χωρίς ποτέ να αλλάζει μέτρο.

6α. Η ισχύς του PM/FM σήματος

Από αυτή τη σταθερότητα βγαίνει η ισχύς του διαμορφωμένου σήματος:

Δηλαδή ίδια ισχύς για PM και FM, και ίδια ισχύς ανεξάρτητα του β (γιατί η σταθερά μέσα στο τετράγωνο cosine έχει μέση τιμή $1/2$, ανεξάρτητα από το πώς κινείται το $\varphi (t)$).

→ Η πλήρης τέταρτη γραμμή του πίνακα I/Q για όλα τα modulation σχήματα ζει στο /modulation/bridge §6b. Εκεί μπορείς να δεις και το complex envelope της FM σε διπλανή προβολή, βάζοντας το διαδραστικό σχήμα I/Q στο preset «FM».

6β. Πού κάθονται οι sidebands — και γιατί πουθενά αλλού

Στο §2ε, όταν δείχναμε ότι το φάσμα δεν κουνιέται, γράψαμε ότι για single-tone FM οι γραμμές κάθονται στα $f_c,f_c\pm f_m,f_c\pm 2f_m,\dots$ — και το αφήσαμε ρητά ως χρέος, με την υπόσχεση ότι θα αποδειχθεί εδώ. Ήρθε η ώρα: τώρα υπάρχουν στη σελίδα όλα τα εργαλεία για να αποδειχθεί το μισό αυτού του ισχυρισμού — και είναι το μισό που δεν χρειάζεται καθόλου συναρτήσεις Bessel.

Βήμα 1 — μάζεψε τα $x_I$ και $x_Q$ σε έναν αριθμό. Μόλις παραπάνω βρήκαμε τις δύο συνιστώσες της FM:

Το complex envelope είναι, εξ ορισμού, αυτές οι δύο μαζί σε έναν μιγαδικό: $g\triangleq x_I+j{x}_Q$. Αντικαθιστώντας και εφαρμόζοντας Euler:

Τίποτα καινούργιο δεν προστέθηκε — είναι η πολική γραφή αυτού που ήδη υπολογίσαμε. Το μέτρο του είναι $A_c$ (το σταθερό envelope) και η γωνία του είναι $\varphi (t)$ (η γωνία διαμόρφωσης του §2γ).

Και πώς ξαναφτιάχνεις το $x$ από το $g$; Πολλαπλασίασε με το περιστρεφόμενο φέρον και κράτα το πραγματικό μέρος:

που είναι ακριβώς η canonical μορφή από την οποία ξεκινήσαμε. Άρα:

Για single-tone message, $\varphi (t)={\beta }_f\sin (2\pi f_{m}t)$ (η μορφή του §5α).

Βήμα 2 — το $g$ επαναλαμβάνεται. Το $\varphi$ είναι περιοδικό με περίοδο $T_m=1/f_m$, γιατί $\sin (2\pi f_m(t+T_m))=\sin (2\pi f_{m}t+2\pi )$. Και αν επαναλαμβάνεται η γωνία, επαναλαμβάνεται και οτιδήποτε υπολογίζεις από αυτήν: το $e^{j(\cdot )}$ δεν «θυμάται» τίποτα άλλο πέρα από την τιμή της γωνίας. Άρα

Κράτα ότι εδώ, και μόνο εδώ, χρησιμοποιήθηκε ότι το message είναι ένας τόνος. Όλα τα υπόλοιπα βήματα δεν ξέρουν καν τι σχήμα έχει το $m(t)$.

Βήμα 3 — περιοδικό σημαίνει γραμμές. Ένα περιοδικό σήμα αναπτύσσεται σε σειρά Fourier, και το φάσμα μιας σειράς Fourier ζει αποκλειστικά πάνω σε ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους:

Δύο λεπτομέρειες που μετράνε παρακάτω. Πρώτον, το $n$ τρέχει σε όλους τους ακεραίους, και στους αρνητικούς. Δεύτερον, το $g$ είναι μιγαδικό σήμα — άρα δεν ισχύει γι' αυτό η συζυγής συμμετρία που ξέρεις για τα πραγματικά σήματα, και τίποτα εδώ δεν συνδέει το $c_{-n}$ με το $c_n$.

Βήμα 4 — ανέβασέ το στο $f_c$. Από το Βήμα 1, $x=\mathrm{Re}\{g{e}^{j2\pi f_{c}t}\}$. Με την ταυτότητα $\mathrm{Re}\{z\}=\frac{1}{2}(z+z^{\ast })$:

και αντικαθιστώντας τη σειρά του Βήματος 3:

Ο δεύτερος όρος είναι το είδωλο γύρω από το $-f_c$, που το έχει κάθε πραγματικό σήμα.

Το συμπέρασμα — και προσοχή, είναι συμπέρασμα υπό συνθήκη. Γράψ' το μαζί με την υπόθεσή του, γιατί χωρίς αυτήν δεν στέκει:

Τρία πράγματα να κρατήσεις:

• Τι χρειάστηκε. Αποκλειστικά η περιοδικότητα της φάσης — το Βήμα 2, και πουθενά αλλού. Το single-tone message μπήκε μόνο για να την εξασφαλίσει: επειδή το $\sin$ επαναλαμβάνεται, επαναλαμβάνεται και το $\varphi$. Αν το $\varphi$ δεν είναι περιοδικό, δεν υπάρχει σειρά Fourier να γράψεις, άρα δεν υπάρχει πλέγμα, και το συμπέρασμα καταρρέει — όχι «γίνεται προσεγγιστικό», καταρρέει.
• Τι λέει. Ότι εκτός αυτού του πλέγματος δεν μπορεί να υπάρξει τίποτα.
• Τι δεν λέει. Ότι κάθε γραμμή του πλέγματος είναι όντως παρούσα. Το επιχείρημα της περιοδικότητας δεν μπορεί ποτέ να αποδείξει ότι κάποιο $c_n$ είναι μη μηδενικό — και πράγματι κάποιες εξαφανίζονται: για ορισμένες τιμές του ${\beta }_f$ σβήνει ακόμα και η γραμμή του φέροντος, κάτι που θα δεις στο κεφάλαιο Bessel.

(Μικρή παραδοχή, αθώα στην πράξη: υποθέτουμε $f_c\gg {\beta }_f{f}_m$, που ισχύει πάντα σε πραγματικό πομπό, ώστε καμία γραμμή να μην «διπλώνει» από τις αρνητικές συχνότητες.)

Ο έλεγχος: μικρό ${\beta }_f$. Για ${\beta }_f\ll 1$, $e^{j\varphi }\approx 1+j\varphi$, οπότε

Διαβάζεις κατευθείαν τους συντελεστές: $c_0=A_c$, $c_{+1}=A_c{\beta }_f/2$, $c_{-1}=-A_c{\beta }_f/2$, και όλοι οι υπόλοιποι μηδέν. Δηλαδή φέρον και ακριβώς δύο sidebands, με μείον στην κάτω — που είναι, γραμμή προς γραμμή, το αποτέλεσμα του NBFM που θα βγάλει το §7α από τελείως άλλο δρόμο (γραμμικοποίηση στον χρόνο). Δύο ανεξάρτητες διαδρομές, ίδιες τρεις γραμμές, ίδιο πρόσημο.

Και ένα δώρο: η ισχύς μοιράζεται, δεν παράγεται. Το θεώρημα Parseval για σειρά Fourier λέει ότι η μέση ισχύς του $g$ είναι το άθροισμα των $|c_n{|}^2$. Αλλά το $|g(t)|=A_c$ σταθερό (αυτό ακριβώς δείξαμε στο §6), οπότε:

Προσοχή στον παράγοντα: αυτή είναι η ισχύς του complex envelope. Η ισχύς του εκπεμπόμενου σήματος είναι η μισή — ο ίδιος παράγοντας $\frac{1}{2}$ του Βήματος 4, αφού κάθε ζευγάρι γραμμών δίνει ένα πραγματικό cosine πλάτους $|c_n|$ και άρα ισχύ $|c_n{|}^2/2$:

— ακριβώς το αποτέλεσμα του §6α, από εντελώς άλλο δρόμο. Και τώρα φαίνεται και το βαθύτερο νόημά του: όσο κι αν ανεβάσεις το ${\beta }_f$ και όσες sidebands κι αν ξεφυτρώσουν, το άθροισμα μένει καρφωμένο. Το ${\beta }_f$ αναδιανέμει την ισχύ ανάμεσα στις γραμμές· δεν προσθέτει ούτε ένα Watt. (Αυτό το κομμάτι, σημείωσε, δεν χρειάστηκε ούτε περιοδικότητα ούτε single-tone — μόνο το σταθερό $|g|$. Ισχύει για κάθε message.)

Τι μένει, και γιατί χρειάζεται άλλο κεφάλαιο. Μένουν τα ίδια τα $c_n$. Ο τύπος τους βγαίνει αμέσως από τη σειρά Fourier — αλλά δες τι είναι:

Αυτό το ολοκλήρωμα δεν λύνεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις. Δεν είναι αδυναμία μας: είναι ακριβώς ο ορισμός της συνάρτησης Bessel πρώτου είδους $J_n({\beta }_f)$. Με άλλα λόγια, το $c_n=A_c{J}_n({\beta }_f)$ — και το να μάθεις πώς συμπεριφέρονται αυτά τα $J_n$ είναι όλη η δουλειά του επόμενου κεφαλαίου.

7. NBFM vs WBFM — δύο regimes και η σχέση τους με την AM

Ανάλογα με την τιμή του ${\beta }_f$, η διαμόρφωση γωνίας ξεχωρίζει σε δύο πολύ διαφορετικά καθεστώτα:

7α. NBFM γραμμικοποίηση → μοιάζει με AM

Όταν ${\beta }_f\ll 1$, η φάση $\varphi (t)=2\pi K_f\int m$ είναι πολύ μικρή και ισχύουν οι γραμμικές προσεγγίσεις:

Αντικαθιστώντας στην I/Q μορφή:

Το φάσμα έχει δύο όρους:

• $A_c\cos (2\pi f_{c}t)$ — δύο κρούσεις στα $\pm f_c$ ύψους $A_c/2$ — ταυτόσημες με τον φέροντα του Συμβατικού AM.
• $A_c\varphi (t)\sin (2\pi f_{c}t)$ — ένα DSB-AM-SC σήμα του $\varphi (t)$ γύρω από $f_c$.

Έτσι η NBFM διαμόρφωση προσομοιάζει το Συμβατικό AM. Το εύρος ζώνης του NBFM είναι περίπου ίσο με $2W$, όσο δηλαδή και του AM.

7β. Single-tone NBFM — η canonical εξέταση

Για single-tone $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)$, το $\varphi (t)={\beta }_f\sin (2\pi f_{m}t)$. Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα $2\sin a\sin b=\cos (a-b)-\cos (a+b)$, προκύπτει:

Σύγκριση με Συμβατικό AM (ίδιο message, ίδιο carrier, με μ αντί β_f):

Η ΜΟΝΑΔΙΚΗ αλγεβρική διαφορά: το LSB έχει αντίθετο πρόσημο στο NBFM σε σχέση με το AM. Σε μέτρο, τα δύο φάσματα είναι ταυτόσημα (carrier στο μέσο, δύο sidebands στα $\pm f_m$ ύψους $A_c{\beta }_f/2$ ή $A_c\mu /2$). Σε φάση, τα LSB έχουν διαφορά $\pi$.

7γ. Και το WBFM;

Όλη η ενότητα μέχρι εδώ μίλησε για NBFM, οπότε είναι εύλογο να μείνει η εντύπωση ότι το WBFM είναι η παραφωνία που την προσπερνάμε. Είναι ακριβώς ανάποδα. Το WBFM είναι η περίπτωση που έχει σημασία στην πράξη — το εμπορικό FM ραδιόφωνο δουλεύει με $\Delta f=75$ kHz και $W=15$ kHz, δηλαδή ${\beta }_f=5$, βαθιά μέσα στο ευρυζωνικό καθεστώς. Το NBFM είναι η εξαίρεση, όχι ο κανόνας.

Γιατί τότε αφιερώσαμε τόσο χώρο στο NBFM; Για τρεις λόγους, και κανένας δεν είναι «επειδή είναι το σημαντικό»:

1. Είναι η μόνη περίπτωση που λύνεται με άλγεβρα στο χαρτί. Δύο προσεγγίσεις, μία ταυτότητα, και βγαίνει κλειστός τύπος.
2. Είναι η γέφυρα με την AM. Δείχνει ότι η FM δεν είναι κάτι ξένο — στο όριο των μικρών γωνιών γίνεται (σχεδόν) AM. Αυτό δένει το κεφάλαιο με ό,τι ήδη ξέρεις.
3. Είναι κλασικό εξεταστικό θέμα, ακριβώς λόγω της παγίδας του προσήμου παραπάνω.

Γιατί δεν λύνουμε το WBFM εδώ. Γιατί καταρρέει το ίδιο το εργαλείο. Οι προσεγγίσεις $\cos \varphi \cong 1$ και $\sin \varphi \cong \varphi$ απαιτούν μικρή $\varphi$ — και είδαμε στο §5 ότι το ${\beta }_f$ είναι η μέγιστη $\varphi$ σε rad. Με ${\beta }_f=5$ η φάση ταλαντώνεται $\pm 5$ rad, δηλαδή σχεδόν μιάμιση ολόκληρη στροφή: δεν υπάρχει τίποτα μικρό για να αναπτύξεις. Τις θέσεις των sidebands τις ξέρουμε ήδη — τις αποδείξαμε στο §6β: κάθονται στα $f_c\pm n{f}_m$ και πουθενά αλλού. Αυτό που λείπει είναι τα πλάτη τους, και αυτά τα ορίζουν οι συναρτήσεις Bessel $J_n({\beta }_f)$ — το αντικείμενο του επόμενου κεφαλαίου. Από αυτές, μόνο περίπου ${\beta }_f+1$ ζευγάρια είναι αρκετά μεγάλα ώστε να μετράνε, και αυτό ακριβώς είναι ο κανόνας του Carson.

Και τώρα ο λόγος που το WBFM αξίζει τον κόπο. Θυμήσου γιατί ξεκινήσαμε όλο το κεφάλαιο: η FM υποτίθεται ότι είναι ανθεκτική στον θόρυβο. Κοίτα όμως τι πληρώνει και τι παίρνει το NBFM: κοστίζει $B\cong 2W$, ίδιο bandwidth με την AM, και το φάσμα του είναι σχεδόν το ίδιο με της AM. Δεν έχει κερδίσει τίποτα σε σχέση με την AM — έχει απλώς φτιάξει ένα σήμα σταθερής περιβάλλουσας.

Το όφελος της FM στον θόρυβο μεγαλώνει με το $\beta$ (θα το ποσοτικοποιήσουμε στο FM και θόρυβος). Άρα:

Με μια πρόταση: η FM ανταλλάσσει bandwidth με ανοσία στον θόρυβο, και αυτή η ανταλλαγή υπάρχει μόνο όταν το $\beta$ είναι μεγάλο. Το NBFM είναι FM που δεν έχει πληρώσει ακόμα το τίμημα — και γι' αυτό δεν έχει πάρει ούτε το κέρδος.

8. Worked example — Άσκηση 2

9. Σύνοψη τύπων (κανένας δεν δίνεται στο τυπολόγιο — όλους πρέπει να τους θυμάσαι)

10. Πραγματικές εφαρμογές της FM

• FM ραδιόφωνο (88–108 MHz): high-fidelity stereo audio, ${\beta }_f\approx 5$, channel spacing 200 kHz.
• TV audio (αναλογικό): FM-modulated audio carrier δίπλα στο VSB video.
• Two-way radio (ασυρματάκια): NBFM, ${\beta }_f\approx 1$, στενά κανάλια.
• Cellular (αναλογικό AMPS, ιστορικό): NBFM για φωνή πριν τα ψηφιακά standards.
• Telemetry: FM-FM telemetry για επιστημονικά πειράματα.
• Aircraft VHF: στην πραγματικότητα AM, όχι FM (παράδοση από WW2 — FM δεν είχε αναπτυχθεί ακόμα). Αλλά UHF στρατιωτικά είναι FM.

11. Ανάκληση — δοκίμασε χωρίς να γυρίσεις σελίδα

12. Αναγνώρισε τα signals

13. Εξάσκηση — εξεταστικά ερωτήματα

Επτά ερωτήσεις που καλύπτουν το spectrum: το canonical worked example της Άσκησης 2 (sinc → 90 kHz), αναγνώριση παραμέτρων από εξίσωση, σταθερό envelope ως Σ/Λ, NBFM/WBFM ταξινόμηση (με τον σωστό ορισμό β ≪ 1), σχέση β–Δf–f_m, σύγκριση με AM, και η canonical sign-flip παγίδα του single-tone NBFM.