Modulation · FM·~26 min read·🟠 Medium exam

FM στον θόρυβο + AM vs FM

Χρειάζεσαι:Carson's rule + NBFM vs WBFM Modulator & Demodulator + AM in noise

Έχουμε δει ότι η FM δίνει bandwidth για να αγοράσει ανοσία στον θόρυβο. Σε αυτό το τελευταίο κεφάλαιο της FM ομάδας:

Παράγουμε το output SNR στην έξοδο ενός FM discriminator.
Δείχνουμε το «triangular noise spectrum» — ο θόρυβος μεγαλώνει με τη συχνότητα.
Συγκρίνουμε με την AM για να δούμε το FM gain.
Συζητάμε το threshold effect και το capture effect.
Εξηγούμε γιατί το εμπορικό FM χρησιμοποιεί pre-emphasis / de-emphasis.

1. Setup — FM σήμα και θόρυβος

Στείλε FM σήμα μέσα από κανάλι με προσθετικό λευκό θόρυβο:

y (t) = x_{F M} (t) + n (t), x_{F M} (t) = A_{c} cos [2 π f_{c} t + ϕ (t)]

όπου $ϕ (t) = 2 π k_{f} \int m (τ) d τ$ και $n (t)$ είναι λευκός θόρυβος με PSD $N_{0} /2$ (διπλός). Στον δέκτη υπάρχει:

Bandpass filter γύρω από $f_{c}$ με bandwidth $B$ (Carson) — περιορίζει τον θόρυβο σε αυτή τη ζώνη.
Limiter — αφαιρεί amplitude variations (κρατάει σταθερό envelope).
Discriminator — διαφορίζει τη φάση: έξοδος $\propto d θ / d t$ .
Lowpass filter στα $\pm W$ — κρατάει μόνο τις συχνότητες του message.

2. Input SNR

Στην είσοδο του δέκτη (μετά τον BPF), η ισχύς του σήματος είναι:

P_{s i g na l} = \frac{A _{c}^{2}}{2}

Η ισχύς του θορύβου στη ζώνη $B$ είναι:

P_{n o i se} = N_{0} \cdot B

(διπλά την $N_{0} /2$ επί το bandwidth). Άρα:

SNR_{in} = \frac{A _{c}^{2} /2}{N _{0} B}

3. Output SNR — η triangular noise

Μετά τον discriminator, ο θόρυβος έχει τριγωνικό φάσμα. Παράγουμε αυτό το αποτέλεσμα σύντομα.

Παραγωγή. Όταν προσθέτεις μικρό λευκό θόρυβο σε ένα FM σήμα με σταθερό envelope $A_{c}$ , μπορείς να αναλύσεις τον θόρυβο σε δύο συνιστώσες σχετικά με τον carrier: μία σε φάση (in-phase) και μία σε quadrature. Μόνο η quadrature επηρεάζει τη φάση — ο limiter εξαλείφει την in-phase.

Η phase noise είναι:

θ_{n} (t) = \frac{n _{Q} ( t )}{A _{c}}

όπου $n_{Q}$ είναι η quadrature συνιστώσα του θορύβου. Ο discriminator παράγει το παράγωγο της φάσης:

v_{n} (t) = \frac{1}{2 π} \frac{d θ _{n} ( t )}{d t}

Από την Fourier theory, αν $θ_{n}$ έχει PSD $S_{θ} (f)$ , τότε το παράγωγό του έχει PSD $(2 π f)^{2} S_{θ} (f) / (2 π)^{2} = f^{2} S_{θ} (f)$ .

Ο θόρυβος $n_{Q}$ είναι λευκός με PSD $N_{0}$ μέσα στο BPF, άρα $S_{θ} (f) = N_{0} / A_{c}^{2}$ , και τελικά:

S_{v_{n}} (f) = \frac{N _{0} f ^{2}}{A _{c}^{2}}

Triangular noise spectrum — η PSD αυξάνεται τετραγωνικά με τη συχνότητα.

FM noise triangle — γιατί ο θόρυβος μεγαλώνει με τη συχνότητα

Πάνω: ο θόρυβος που μπαίνει στον FM discriminator είναι λευκός (επίπεδη PSD). Κάτω: ο θόρυβος που βγαίνει έχει PSD ∝ f². Δηλαδή, οι υψηλές συχνότητες του message «ακούν» πολύ περισσότερο θόρυβο από τις χαμηλές. Για αυτό υπάρχει το pre-emphasis / de-emphasis: ενισχύουμε τις υψηλές πριν στείλουμε, τις κόβουμε στον δέκτη — και ο θόρυβος κόβεται μαζί.

Επίπεδο θορύβου N₀ = 0.60

Message bandwidth W = 70% του Carson BW

Παρατηρήσεις:

Στο DC (low frequencies), σχεδόν δεν υπάρχει θόρυβος. Οι μπάσες συχνότητες περνάνε «καθαρές».
Στις υψηλές συχνότητες, ο θόρυβος μεγαλώνει γρήγορα. Γι' αυτό η FM ραδιόφωνο ακούγεται «hissy» στις υψηλές νότες αν το SNR είναι οριακό.

4. Output noise power και SNR_out

Το output LPF περιορίζει τον θόρυβο στα $∣ f ∣ \leq W$ :

P_{n o i se, o u t} = \int_{- W}^{W} \frac{N _{0} f ^{2}}{A _{c}^{2}} df = \frac{2 N _{0} W ^{3}}{3 A _{c}^{2}}

Η ισχύς του message στην έξοδο, για single-tone $m (t) = A_{m} cos (2 π f_{m} t)$ με $Δ f = k_{f} A_{m}$ :

P_{s i g na l, o u t} = \frac{( Δ f ) ^{2}}{2}

(Παραγωγή: ο discriminator παράγει $f (t) - f_{c} = k_{f} m (t)$ , η ισχύς του οποίου είναι $k_{f}^{2} A_{m}^{2} /2 = (Δ f)^{2} /2$ .)

Άρα:

SNR_{o u t, F M} = \frac{( Δ f ) ^{2} /2}{2 N _{0} W ^{3} / ( 3 A _{c}^{2} )} = \frac{3 A _{c}^{2} ( Δ f ) ^{2}}{4 N _{0} W ^{3}}

Με $β = Δ f / W$ :

SNR_{o u t, F M} = \frac{3 A _{c}^{2} β ^{2}}{4 N _{0} W} = 3 β^{2} \cdot \frac{A _{c}^{2}}{2 N _{0} W} \cdot \frac{1}{2}

Δηλαδή:

SNR_{o u t, F M} = 3 β^{2} \cdot SNR_{r e f}, SNR_{r e f} = \frac{A _{c}^{2}}{2 N _{0} W}

Η $SNR_{r e f}$ είναι η εξεταστική «αναφορά» — το SNR που θα είχες αν είχες όλο το σήμα μέσα σε bandwidth $W$ (χωρίς bandpass overhead).

5. FM gain over AM

Για AM (conventional, εδώ θεωρώντας 100% modulation $μ = 1$ ως άνω όριο), από το προηγούμενο κεφάλαιο AM in noise:

SNR_{o u t, A M} = \frac{1}{3} \cdot SNR_{r e f}

(Στην πραγματικότητα η αναλογία είναι ένα-προς-ένα μετά τον envelope detector με το high-SNR linearization· εδώ χρησιμοποιούμε την πιο κοινή φόρμα του τυπολογίου με τον παράγοντα $μ^{2} / (2 + μ^{2})$ .)

FM gain πάνω από AM:

G = \frac{SNR _{o u t, F M}}{SNR _{o u t, A M}} = 3 β^{2} \cdot 3 = 9 β^{2} (με μ = 1)

Πιο γενικά:

G = \frac{3 β ^{2} ( 2 + μ ^{2} )}{μ ^{2}}

Παράδειγμα — εμπορικό FM: $β = 5$ . $G = 9 \cdot 25 = 225$ → 23.5 dB πάνω από AM. Δηλαδή η FM ραδιόφωνο ακούγεται 23 dB πιο καθαρά από το AM ραδιόφωνο, για το ίδιο επίπεδο πομπού.

Σημαντικό trade-off: η FM χρησιμοποιεί $B = 2 (β + 1) W$ bandwidth, πολύ περισσότερο από την AM. Αν αναμετρήσουμε bandwidth και SNR, βλέπουμε ότι:

G \propto β^{2} αλλ \overset{α}{ˊ} B \propto β

Δηλαδή, διπλασιάζοντας το bandwidth (αυξάνοντας το β κατά 2), παίρνουμε τετραπλάσιο SNR gain. Αυτό είναι το ουσιαστικό trade-off που κάνει την FM ελκυστική.

6. Threshold effect

Η σχέση SNR_out = 3β² · SNR_ref δεν ισχύει για όλα τα SNR. Όταν το input SNR γίνεται χαμηλό (~10 dB ή λιγότερο), ο discriminator αρχίζει να παράγει «clicks» — μεγάλους κρότους από κακή φάση tracking. Το output SNR καταρρέει απότομα.

Αυτό είναι το FM threshold effect:

Πάνω από threshold (~10 dB SNR_in): ο τύπος ισχύει. SNR_out = 3β² · SNR_ref.
Κάτω από threshold: ο τύπος αποτυγχάνει. Ο ήχος γίνεται «κρακίδια» και τελικά αδιάβαστος.

Στο εμπορικό FM ραδιόφωνο, αυτό εξηγεί γιατί όσο πας πιο μακριά από τον σταθμό, ξαφνικά χάνεις σήμα — δεν είναι σταδιακό όπως στο AM.

7. Capture effect

Όταν δύο FM σταθμοί στην ίδια συχνότητα φτάνουν στον δέκτη με ασύμμετρη ισχύ, ο πιο ισχυρός κερδίζει εντελώς — ο πιο αδύναμος εξαφανίζεται (όχι απλά μειωμένος, αλλά μηδενικός).

Αυτό είναι το capture effect και είναι μοναδικό χαρακτηριστικό της FM. Για ίδια ισχύ τα δύο σήματα ανταγωνίζονται και το αποτέλεσμα είναι «μπλέξιμο» — αλλά αρκεί ένα 3-6 dB πλεονέκτημα και ο ισχυρότερος κυριαρχεί απόλυτα.

Εφαρμογές:

FM ραδιόφωνο: όταν δύο σταθμοί στην ίδια συχνότητα, ακούς μόνο τον κοντινότερο.
Στρατιωτικά: ισχυρότερος jammer μπορεί να καλύψει εντελώς εχθρικές εκπομπές.
Cellular FM (παλαιότερα): αλληλεπίδραση μεταξύ cells.

8. Pre-emphasis / De-emphasis

Επειδή ο FM noise είναι triangular (μεγαλώνει με $f^{2}$ ), οι υψηλές συχνότητες του message «πληρώνουν» περισσότερο από τις χαμηλές. Στη φωνή και τη μουσική όμως, οι υψηλές συχνότητες έχουν ήδη χαμηλότερη ισχύ από τις χαμηλές — οπότε το SNR στις υψηλές είναι ακόμα χειρότερο.

Λύση (εμπορικό FM ραδιόφωνο):

Pre-emphasis στον πομπό: ενίσχυσε τις υψηλές συχνότητες (high-shelf filter με $τ = 50$ μs ή 75 μs).
De-emphasis στον δέκτη: αντίστοιχη μείωση των υψηλών (lowpass με ίδιο $τ$ ).

Το αποτέλεσμα: η μουσική γυρίζει στο σωστό φάσμα, αλλά ο θόρυβος που προσθέτηκε μετά το pre-emphasis (στο κανάλι) κόβεται από το de-emphasis. SNR βελτίωση 12-13 dB στο εμπορικό FM.

9. Σύγκριση AM vs FM — full picture

	AM	FM
Bandwidth	$2 W$	$2 (β + 1) W$
Total power	$A_{c}^{2} (1 + μ^{2} /2) /2$	$A_{c}^{2} /2$ (ανεξάρτητο β)
Useful (sideband) power	$A_{c}^{2} μ^{2} /4$	$A_{c}^{2} /2$ (όλη η ισχύς ωφέλιμη)
Efficiency	≤ 33.3%	100%
Envelope demod	Ναι	Όχι
Output SNR	$\propto μ^{2} \cdot SNR_{r e f}$	$\propto 3 β^{2} \cdot SNR_{r e f}$
Threshold	Όχι (graceful degradation)	Ναι (~10 dB)
Capture effect	Όχι	Ναι
Πολυπλοκότητα δέκτη	Χαμηλή	Μέτρια
Παρουσία στο εμπόριο	AM ραδιόφωνο, aviation	FM ραδιόφωνο, TV audio, two-way

Πότε προτιμάμε AM:

Όταν το bandwidth είναι ακριβό (αναβάθμιση πομπού, ευρυζωνικά κανάλια στην ψηφιακή εποχή).
Για εφαρμογές χαμηλής πολυπλοκότητας (cheap envelope detectors).
Όταν θέλουμε αργή υποβάθμιση με την απόσταση (AM ραδιόφωνο).

Πότε προτιμάμε FM:

Όταν θέλουμε υψηλή ποιότητα ήχου (εμπορικό FM, TV audio).
Όταν είμαστε σε θορυβώδες περιβάλλον (two-way radio).
Όταν η σταθερή envelope είναι σημαντική (saturated power amplifiers, μεγαλύτερη απόδοση πομπού).

10. Worked example — Πρόοδος B 2024-09 Θ4

11. Σύνοψη formulas

Ποσότητα	Τύπος
FM noise PSD (output)	$S_{n} (f) = N_{0} f^{2} / A_{c}^{2}$ (triangular)
Output noise power	$P_{n} = 2 N_{0} W^{3} / (3 A_{c}^{2})$
Output signal power (single-tone)	$P_{s} = (Δ f)^{2} /2$
SNR_out (FM)	$SNR_{o u t} = 3 β^{2} A_{c}^{2} / (4 N_{0} W)$
Reference SNR	$SNR_{r e f} = A_{c}^{2} / (2 N_{0} W)$
FM gain over AM (μ=1)	$G = 9 β^{2}$
FM threshold	~10 dB SNR_in
Pre/de-emphasis (FM ραδιόφωνο)	$τ = 50$ ή $75$ μs

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις πάνω στη triangular noise και το $9 β^{2}$ FM gain.

Τι μάθαμε

FM σε θόρυβο: triangular noise PSD $\propto f^{2}$ μετά τον discriminator. Ο θόρυβος μεγαλώνει με τη συχνότητα.
SNR_out = 3β² · SNR_ref — τετραγωνική βελτίωση με το β.
FM gain over AM: $9 β^{2}$ (με $μ = 1$ ). Για β=5, FM gain = 225 → 23.5 dB.
Threshold effect: κάτω από ~10 dB SNR_in, η FM καταρρέει. Δεν είναι graceful όπως η AM.
Capture effect: ισχυρότερο σήμα κυριαρχεί απόλυτα. Μοναδικό στην FM.
Pre-emphasis / de-emphasis: εμπορικό FM χρησιμοποιεί high-shelf filters με $τ = 50$ ή $75$ μs για να αντισταθμίσει το triangular noise.
Trade-off: bandwidth για SNR. $G \propto β^{2}$ , $B \propto β$ → διπλασιάζοντας bandwidth παίρνεις 4× SNR.

Έχουμε ολοκληρώσει την FM ομάδα. Επόμενα βήματα στην ύλη: Random Signals & Noise ομάδες (πιθανότητα, autocorrelation, PSD), και μετά Sampling.

Φόρτωση σχολίων…