Modulation · FM·~38 min read·🟠 Medium exam

FM στον θόρυβο + AM vs FM

Χρειάζεσαι:Carson's rule + NBFM vs WBFM Modulator & Demodulator + AM in noise

Πηγή — Διαφάνειες μαθήματος

SE_session15_16_16_FM.pdf· FM modulator/demodulator hardware (slides 65-66) — η αφετηρία για τη noise analysisΚατέβασμα

Δεν υπάρχουν dedicated slides για την FM-in-noise ανάλυση φέτος. Η αφετηρία είναι ο FM discriminator (slide 65-66: διαφορίζω → envelope detector → DC blocking) — από εκεί η triangular noise PSD παράγεται με την I/Q decomposition του bandpass θορύβου από το SE_session10_noise.pdf. Στις προηγούμενες εξεταστικές φάνηκε μία ποιοτική «σύγκριση FM vs AM» (Σεπτ. 2025 ΘΕΜΑ 2.7, 8%). Η σελίδα συμπληρώνει το trade-off story της FM ομάδας — χρειάζεσαι το «τι κερδίζει η FM πάνω από την AM» για να απαντήσεις τη σύγκριση.

1. Setup — τι έχουμε και τι θα παραγάγουμε

Έχουμε δει ότι η FM δίνει σταθερή envelope (το πλάτος δεν περιέχει πληροφορία, μόνο η φάση) και bandwidth μεγαλύτερο από αυτό που χρειάζεται το message (Carson rule B = 2(β+1)W). Σε αυτό το τελευταίο κεφάλαιο της FM ομάδας απαντάμε στο ερώτημα «τι κερδίζει η FM σε σχέση με την AM στον θόρυβο;».

Πλαίσιο σπουδών — και πού είναι το όριο της ύλης

Στο επίσημο deck SE_session15_16_16_FM.pdf οι slides 65-66 παρουσιάζουν τον FM demodulator hardware (διαφορίζω → envelope detector → DC blocking) — και η ύλη των διαφανειών τελειώνει εκεί («Τέλος μαθήματος», slide 67). Δεν υπάρχουν dedicated slides για quantitative FM-in-noise ανάλυση (output SNR, threshold effect, capture, pre-emphasis). Η ύλη του θορύβου (/noise/snr και sister pages) σταματά στο «λευκός θόρυβος μέσα από ιδανικό BPF» — δεν φτάνει στο FM discriminator output.

Στις προηγούμενες εξεταστικές (sept25-th2-7, 8%) εμφανίζεται μόνο μία ποιοτική «σύγκριση FM vs AM» — όχι αναλυτικός υπολογισμός. Η σελίδα παρακάτω χτίζει τη ποσοτική θεωρία (output SNR, 9β² gain, threshold, capture, pre-emphasis) από τη τυπική βιβλιογραφία (Haykin/Lathi) ως πλήρωση του trade-off story της FM ομάδας — αν σου ζητηθεί η qualitative σύγκριση, ξέρεις γιατί τα νούμερα είναι αυτά που είναι.

Συγκεκριμένα θα παραγάγουμε:

Το «triangular noise spectrum» — γιατί ο θόρυβος μετά τον FM discriminator έχει PSD ∝ f².
Το output SNR: SNR_out,FM = 3β² · SNR_ref όπου SNR_ref = A_c²/(2 N_0 W).
Το FM gain πάνω από AM: G = 9β² (με μ = 1, ίδιο P_T) — γιατί 9, και όχι π.χ. 6β² ή 3β².
Το threshold effect — γιατί κάτω από ~10 dB input SNR το 3β² παύει να ισχύει.
Το capture effect — γιατί ο ισχυρότερος FM σταθμός εξαφανίζει τους ασθενέστερους.
Τη pre-emphasis / de-emphasis — γιατί το εμπορικό FM ραδιόφωνο χρησιμοποιεί high-shelf filters με τ = 50 ή 75 μs.
Τη canonical AM vs FM σύγκριση που ζητάει η sept25-th2-7.

2. Δέκτης FM: γιατί limiter + discriminator

Ο δέκτης FM (συνέχεια από /fm/idea §1 receiver chain και από το slide 65-66 όπου παρουσιάζεται το demodulator hardware) έχει τέσσερις βαθμίδες πριν φτάσει το message στην έξοδο:

RF antenna → [BPF στο f_c, BW = B Carson] → [Limiter] → [Discriminator: d/dt + |·| + DC block] → [LPF στα ±W] → m(t)

Γιατί αυτή η σειρά;

BPF στα f_c με bandwidth B = 2(β+1)W — απορρίπτει όλον τον θόρυβο έξω από τη Carson ζώνη. Ο θόρυβος που μένει είναι bandpass (επίπεδη PSD μέσα στη ζώνη, μηδέν έξω).
Limiter — κόβει κάθε amplitude variation. Η FM έχει σταθερή envelope A_c (/fm/bessel §7: P_FM = A_c²/2), οπότε αν δούμε διακυμάνσεις στο envelope, είναι καθαρός θόρυβος που τις προκάλεσε. Ο limiter τις διώχνει — διατηρεί μόνο τη γωνία.
Discriminator — διαφορίζει τη γωνία ως προς τον χρόνο για να βγάλει την στιγμιαία συχνότητα: (1/2π) dθ/dt = f_c + K_f m(t). Στο block diagram των διαφανειών (slide 66) ο discriminator υλοποιείται ως d/dt → envelope detector → DC blocking — η ίδια ιδέα.
LPF στα ±W — κρατά μόνο τις συχνότητες του message, κόβει τον υπόλοιπο θόρυβο.

Γιατί δουλεύει η σταθερή envelope ως «αντι-θορυβική»

Φαντάσου ένα cos εκπεμπόμενο σήμα όπου η φάση του cos περιέχει το message. Αν προσθέσεις θόρυβο, ο θόρυβος αλλάζει και το πλάτος και τη φάση του resultant phasor. Ο limiter ισιώνει το πλάτος πίσω στο A_c — διώχνει το ένα από τα δύο μερίδια θορύβου εντελώς. Στην AM δεν μπορούμε να κάνουμε το ίδιο, γιατί το πλάτος της AM ΕΙΝΑΙ το message — αν το ισιώσουμε σε σταθερό, χάσαμε το σήμα μας. Αυτή είναι η μεγάλη δομική διαφορά FM vs AM.

3. Από bandpass θόρυβο σε triangular output

Η κρίσιμη παραγωγή του κεφαλαίου: γιατί η output noise PSD μετά τον discriminator πέφτει σαν f². Παρακάτω τη χτίζουμε σε 4 stages, που ο φοιτητής μπορεί να δει βήμα-βήμα.

Bandpass θόρυβος → triangular spectrum — η παραγωγή σε 4 stages

Stage 1 — Λευκός θόρυβος μέσα από τον RF bandpass

Ο RF bandpass του δέκτη κόβει τον λευκό θόρυβο σε μια ζώνη πλάτους B = 2(β+1)W γύρω από τον carrier. Το αποτέλεσμα είναι «bandpass θόρυβος» — επίπεδη PSD μέσα στη ζώνη, μηδέν έξω.

n(t) ∼ flat PSD = N_0/2, φιλτραρισμένος στο [f_c − B/2, f_c + B/2]

Επίπεδο θορύβου N₀ = 0.50

Πλάτος carrier A_c = 1.00

Παρατήρηση μέσω των sliders: διπλασίασε το A_c → η output PSD πέφτει στο τέταρτο (1/A_c²). Αύξησε το N₀ → η output PSD ανεβαίνει γραμμικά. Από εδώ έρχεται το 3β² gain: όσο μεγαλώνει το A_c² (carrier ισχύς) το output noise μειώνεται.

3a. Stage 1 — bandpass θόρυβος γύρω από τον carrier

Στην είσοδο του δέκτη ο θόρυβος είναι λευκός με PSD S_n(f) = N_0/2. Ο RF bandpass αφήνει μόνο τη ζώνη [f_c − B/2, f_c + B/2] (και την κάτοπτρή της στις αρνητικές συχνότητες). Άρα ο θόρυβος που φτάνει στον limiter είναι bandpass: επίπεδη PSD μέσα στη Carson ζώνη, μηδέν έξω.

3b. Stage 2 — I/Q decomposition

Κάθε bandpass σήμα γύρω από f_c γράφεται μέσω της canonical I/Q form (δες /modulation/bridge):

n (t) = n_{I} (t) cos (2 π f_{c} t) - n_{Q} (t) sin (2 π f_{c} t)

όπου n_I(t) (in-phase) και n_Q(t) (quadrature) είναι lowpass συνιστώσες, ανεξάρτητες μεταξύ τους και η καθεμία έχει επίπεδη PSD S_{n_I}(f) = S_{n_Q}(f) = N_0 μέσα στο |f| ≤ B/2 (διπλάσιο ύψος από το bandpass N_0/2 — γιατί η ισχύς του n(t) μοιράζεται σε δύο baseband components).

3c. Stage 3 — limiter + phasor: μόνο η quadrature επιβιώνει

Το σήμα στον limiter είναι:

y (t) = A_{c} cos (2 π f_{c} t + ϕ (t)) + n (t)

όπου φ(t) = 2π K_f ∫ m(τ) dτ. Στο μιγαδικό επίπεδο (phasor view, σε baseband):

Ο carrier είναι ο phasor A_c e^{jφ(t)}. Σε baseband (στο rotating frame του carrier) απλά είναι A_c e^{jφ(t)}.
Ο θόρυβος n(t) σπάει σε δύο συνιστώσες: n_I παράλληλη στο A_c (αλλάζει το πλάτος του resultant) και n_Q κάθετη (αλλάζει τη φάση).

Για small noise (|n| ≪ A_c, που είναι ακριβώς η συνθήκη για να ισχύει η ανάλυση μας — δηλαδή πάνω από threshold), η resultant φάση είναι:

θ_{n} (t) \approx \frac{n _{Q} ( t )}{A _{c}}

Ο limiter αφαιρεί τη radial συνιστώσα (n_I) πλήρως — μένει μόνο η n_Q(t)/A_c ως phase noise. Αυτό είναι το μυστικό της FM σταθερής envelope: αφαιρούμε δωρεάν το μισό μερίδιο του θορύβου.

3d. Stage 4 — discriminator: f² στο φάσμα

Ο discriminator διαφορίζει τη φάση για να βγάλει την στιγμιαία συχνότητα:

v_{n} (t) = \frac{1}{2 π} \frac{d θ _{n} ( t )}{d t}

Στο φάσμα, διαφόριση = πολλαπλασιασμός με j 2π f. Άρα η PSD του v_n είναι:

S_{v_{n}} (f) = (\frac{2 π f}{2 π})^{2} S_{θ} (f) = f^{2} \cdot \frac{N _{0}}{A _{c}^{2}}

Δηλαδή:

S_{v_{n}} (f) = \frac{N _{0} f ^{2}}{A _{c}^{2}}

Από επίπεδος θόρυβος (στη φάση) γίνεται παραβολικός (στην έξοδο του discriminator). Το ότι λέγεται «triangular spectrum» είναι ιστορικός όρος (από την εικόνα του |f| με δύο τρίγωνα), αν και τεχνικά είναι παραβολικός — αυτό που μετράει: οι υψηλές συχνότητες του message έχουν πιο πολύ θόρυβο γύρω τους.

FM noise triangle — γιατί ο θόρυβος μεγαλώνει με τη συχνότητα

Πάνω: ο θόρυβος που μπαίνει στον FM discriminator είναι λευκός (επίπεδη PSD). Κάτω: ο θόρυβος που βγαίνει έχει PSD ∝ f². Δηλαδή, οι υψηλές συχνότητες του message «ακούν» πολύ περισσότερο θόρυβο από τις χαμηλές. Για αυτό υπάρχει το pre-emphasis / de-emphasis: ενισχύουμε τις υψηλές πριν στείλουμε, τις κόβουμε στον δέκτη — και ο θόρυβος κόβεται μαζί.

Επίπεδο θορύβου N₀ = 0.60

Message bandwidth W = 70% του Carson BW

4. Output noise power και SNR_out

Ο τελικός LPF στα ±W περιορίζει τον θόρυβο στην baseband message ζώνη. Με την κανονική σύμβαση single-sided ισχύος (κάθε baseband ζώνη [0, W] μετράει την «πραγματική» ισχύ — ο integrator δίνει N_0 W³/3 αντί για 2 N_0 W³/3, αποφεύγοντας double-counting από συμμετρικές αρνητικές συχνότητες) η output noise power είναι:

P_{n, o u t} = \frac{N _{0} W ^{3}}{3 A _{c}^{2}}

Η ισχύς του message στην έξοδο, για single-tone m(t) = A_m cos(2π f_m t) με Δf = K_f A_m, είναι:

P_{s, o u t} = \frac{( Δ f ) ^{2}}{2}

(ο discriminator παράγει f(t) − f_c = K_f m(t), με ισχύ K_f² A_m²/2 = (Δf)²/2).

Άρα:

SNR_{o u t, F M} = \frac{P _{s, o u t}}{P _{n, o u t}} = \frac{( Δ f ) ^{2} /2}{N _{0} W ^{3} / ( 3 A _{c}^{2} )} = \frac{3 A _{c}^{2} ( Δ f ) ^{2}}{2 N _{0} W ^{3}}

Με β = Δf/W:

SNR_{o u t, F M} = \frac{3 β ^{2} A _{c}^{2}}{2 N _{0} W}

Ορίζουμε το reference SNR:

SNR_{r e f} ≜ \frac{A _{c}^{2}}{2 N _{0} W}

ως μια universal αναφορά (το SNR που θα είχες αν ολόκληρη η carrier ισχύς A_c²/2 έφτανε σε baseband W χωρίς bandpass overhead). Άρα:

SNR_{o u t, F M} = 3 β^{2} \cdot SNR_{r e f}

Πεζά: η FM δίνει 3β² φορές καλύτερο output SNR από τη reference baseline. Διπλασιάζεις το β, τετραπλασιάζεις το output SNR. Αυτή η τετραγωνική σχέση είναι η βάση του wideband FM (β=5 → output SNR 75× πάνω από reference, για β=10 → 300× πάνω).

Triangular noise → 3β² gain — η κεντρική σύνδεση

Λέξεις-κλειδιά

S_v(f) = N₀ f²/A_c²
P_n,out = N₀ W³/(3 A_c²)
P_s,out = (Δf)²/2
SNR_ref = A_c²/(2 N₀W)
SNR_out,FM = 3β² · SNR_ref

Βήματα

Bandpass θόρυβος → I/Q decomposition → limiter κρατά μόνο $n_{Q}$ .
Phase noise $θ_{n} = n_{Q} / A_{c}$ ⇒ flat PSD $S_{θ} = N_{0} / A_{c}^{2}$ .
Discriminator differentiates ⇒ S_v(f) = f²·S_θ(f) = $N_{0} f^{2} / A_{c}^{2}$ .
Single-sided integration στο message band ⇒ P_n,out = $N_{0} W^{3} / (3 A_{c}^{2})$ .
Divide P_s,out / P_n,out, plug β = Δf/W ⇒ $SNR_{o u t, F M} = 3 β^{2} \cdot SNR_{r e f}$ .

Η συχνότερη παγίδα

Το

3 β^{2}

ισχύει μόνο πάνω από threshold και μόνο για single-tone message. Για άλλα μηνύματα ο αριθμητής γίνεται

K_{f}^{2} P_{m}

αντί για

(Δ f)^{2} /2

. Για την εξέταση: αν δίνει single-tone, χρησιμοποιείς το

3 β^{2}

· αν δίνει γενικό m, χρησιμοποιείς

3 K_{f}^{2} P_{m} / (N_{0} W^{3}) \cdot (A_{c}^{2} /2)

5. Η σύγκριση: G = 9β² over AM

Τώρα ξέρουμε ότι SNR_out,FM = 3β² · SNR_ref. Πόσο καλύτερα είναι αυτό από AM στο ίδιο reference;

Από /am/modulator-demodulator §4-5, για Conventional AM (envelope ή coherent, high-SNR, με μ = 1):

SNR_{o u t, A M} = η \cdot SNR_{in, A M}, η = \frac{μ ^{2} /2}{1 + μ ^{2} /2} = μ = 1 \frac{1}{3}

Όμως η σύγκριση πρέπει να γίνει στις ίδιες συνθήκες — και η πιο διδακτική επιλογή είναι «ίδιο συνολικό εκπεμπόμενο P_T»: γιατί το P_T είναι αυτό που πληρώνεις στον πομπό σου, και άρα το «τι πετυχαίνω για μια συγκεκριμένη επένδυση σε ισχύ» είναι η πραγματική σύγκριση. Παρακάτω την κάνουμε ρητά.

FM gain πάνω από AM — G = 9β², bandwidth trade-off

Σύγκρινε FM (current β) με Conventional AM (μ = 1) στο ίδιο SNR_ref και ίδιο P_T (συνολική εκπεμπόμενη ισχύς). Πάνω panel: SNR_out vs SNR_ref σε dB κλίμακα — η FM γραμμή είναι ακριβώς 23.5 dB πάνω από την AM. Κάτω panel: όσο μεγαλώνει το β, ο gain (πορτοκαλί) μεγαλώνει σαν β² ενώ το Carson BW (μπλε) μεγαλώνει σαν β — διπλασιάζεις BW, τετραπλάσιο SNR gain.

β (FM modulation index) = 5.00

SNR_ref = 20 dB

SNR_out (AM μ=1)

15.2 dB

SNR_out (FM β=5.0)

38.8 dB

Gain G = 9β²

225× (23.5 dB)

BW penalty (FM/AM)

6.00×

Παραγωγή (διπλώστε στο + παρακάτω για το πλήρες algebra).

Με τον carrier σταθερά A_c²/2 και μ = 1, το AM transmits P_T_AM = (3/4) A_c² (carrier + 2 sidebands). Για να συγκρίνουμε σωστά, δίνουμε στο FM ίδιο P_T_FM = B²/2 = (3/4) A_c², άρα B² = (3/2) A_c². Με αυτή την υποκατάσταση:

	SNR_out (σε `A_c²`/`B²` μονάδες)	SNR_out (σε ίδιο `P_T`)
AM, μ=1	$η \cdot \frac{P _{T}}{N _{0} W} = \frac{1}{3} \cdot \frac{( 3/4 ) A _{c}^{2}}{N _{0} W} = \frac{A _{c}^{2}}{4 N _{0} W}$	$\frac{( 2/3 ) B ^{2}}{4 N _{0} W} = \frac{B ^{2}}{6 N _{0} W}$
FM, β	$3 β^{2} \cdot \frac{B ^{2}}{2 N _{0} W}$	$3 β^{2} \cdot \frac{B ^{2}}{2 N _{0} W}$
Ratio (FM/AM)		$\frac{3 β ^{2} B ^{2} / ( 2 N _{0} W )}{B ^{2} / ( 6 N _{0} W )} = 3 β^{2} \cdot \frac{6}{2} = 9 β^{2}$

G_{F M / A M} = 9 β^{2} (μ = 1, \overset{ι}{ˊ} διο P_{T})

Πεζά: η FM δίνει 9β² φορές καλύτερο output SNR από συγκρίσιμη Conventional AM, με την προϋπόθεση ότι εκπέμπεις την ίδια συνολική ισχύ. Για εμπορικό FM ραδιόφωνο (β=5): G = 225 ή 23.5 dB πάνω από AM. Αυτό είναι γιγαντιαία βελτίωση — και το πληρώνεις σε bandwidth.

6. Threshold effect — η μεγάλη παγίδα

Το πάνω από threshold της προηγούμενης ανάλυσης δεν είναι κενή συνθήκη. Όταν το SNR_in πέφτει κάτω από ~10 dB, η small-noise προσέγγιση θ_n ≈ n_Q/A_c σπάει. Ο resultant phasor (carrier + θόρυβος) αρχίζει να κοντοζυγώνει το μηδέν αρκετά συχνά — και κάθε φορά που περνά κοντά από το μηδέν, η γωνία του «πετάγεται» κατά 2π. Ο discriminator το βλέπει αυτό σαν πολύ μεγάλο στιγμιαίο dθ/dt (γιατί 2π φάση «περάσε» σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα), και βγάζει στην έξοδο έναν κρότο — ένα «click».

Σε χαμηλό SNR_in, οι clicks πυκνώνουν εκθετικά. Το output SNR καταρρέει με slope πολύ μεγαλύτερο από 1 (σε dB κλίμακα — δηλαδή κάθε 1 dB πτώση στο input κοστίζει πολλά dB στο output).

FM threshold effect — η ξαφνική κατάρρευση κάτω από ~10 dB

Πάνω από threshold (linear regime)

Πάνω από SNR_in ≈ 13.1 dB ο τύπος SNR_out = 3β²·SNR_in ισχύει — slope 1 σε dB κλίμακα. Κάτω από αυτό ο discriminator αρχίζει να παράγει clicks (false zero crossings στις φάσεις όπου η ακτίνα του resultant phasor κοντοζυγώνει το μηδέν), και το SNR_out πέφτει με slope >> 1 — μερικά dB πτώση στο input κοστίζουν 10ple dB στο output. Παρατήρησε: αυξάνεις το β → ο gain ανεβαίνει (γραμμή πιο ψηλά) ΑΛΛΑ και το threshold ανεβαίνει (γιατί περισσότερο BW μπαίνει στον δέκτη και μαζί του περισσότερος θόρυβος).

SNR_in = 15 dB

β = 5.0

Threshold

13.1 dB

SNR_out (linear)

33.8 dB

SNR_out (πραγματικό)

33.8 dB

Clicks / sec

Πρακτική σημασία: στο εμπορικό FM ραδιόφωνο, ο receiver λειτουργεί πάνω από threshold για την κανονική εμβέλεια του σταθμού. Όσο απομακρύνεσαι, το SNR_in πέφτει — και μόλις περάσεις το threshold, ξαφνικά ακούς clicks. Αντίθετα στο AM, η ποιότητα μειώνεται σταδιακά (graceful degradation). Αυτή είναι η βασική διαφορά «FM είτε ακούγεται καθαρά είτε χάνεται».

Practical implications:

Για το εμπορικό FM ραδιόφωνο, όσο απομακρύνεσαι από τον σταθμό, το SNR_in πέφτει σταδιακά. Μέχρι το threshold, ο ήχος ακούγεται καθαρά (το 9β² gain ισχύει). Μόλις περάσεις, ξαφνικά αρχίζεις να ακούς «κρακίδια» — και σύντομα ο σταθμός γίνεται αδιάβαστος.
Σε σύγκριση, η AM έχει graceful degradation — η ποιότητα πέφτει σταδιακά, ο ήχος γίνεται πιο «πνιγμένος» αλλά παραμένει αναγνωρίσιμος για πολλά dB. Αυτό είναι το άλλο πρόσωπο του FM trade-off: «είτε ακούς καθαρά είτε δεν ακούς καθόλου».
Αύξηση του β χειροτερεύει το threshold! Όσο μεγαλύτερο β, τόσο μεγαλύτερο B = 2(β+1)W και τόσο περισσότερος θόρυβος μπαίνει στον limiter. Άρα δεν μπορείς απλά να αυξάνεις το β για να βελτιώσεις το SNR — υπάρχει σημείο όπου το αυξημένο threshold ακυρώνει το αυξημένο gain.

Το «~10 dB threshold» είναι loose qualifier — όχι σκληρός αριθμός

Διαφορετικές πηγές (Haykin: «μερικά dB πάνω από 10», Lathi: «10 dB ως πρακτικό όριο», βιομηχανία: «12-15 dB για να είσαι ασφαλής») αναφέρουν διαφορετικές τιμές. Σχεδίαζε τον πομπό σου για margin πάνω από 10 dB σε ολόκληρη την περιοχή εμβέλειας. Αν στη εξέταση δεις «κάτω από threshold» χωρίς συγκεκριμένο αριθμό, η σωστή απάντηση είναι «όταν το SNR_in δεν είναι σημαντικά μεγαλύτερο από τη μονάδα (linear scale) ή πάνω από ~10 dB».

7. Capture effect — μοναδικό στην FM

Φαντάσου δύο FM σταθμοί S_1 και S_2 που εκπέμπουν στην ίδια συχνότητα f_c και φτάνουν στον δέκτη σου με ισχύεις P_1 > P_2. Στο AM (δες /am/modulator-demodulator §4), τα δύο σήματα αναμιγνύονται γραμμικά — ακούς και τα δύο σαν «κουβέντα δύο ανθρώπων ταυτόχρονα», περισσότερο τον δυνατότερο αλλά καθαρά και τον αδύναμο.

Στην FM, όχι. Ο limiter + discriminator έχει την εξής ιδιότητα: στο μιγαδικό επίπεδο, ο resultant phasor A_1 e^{jφ_1(t)} + A_2 e^{jφ_2(t)} κάνει «πετάγματα» γύρω από τον δυνατότερο. Όσο A_1 ≫ A_2, η γωνιακή διακύμανση του resultant είναι μικρή και «κυριαρχείται» από τη γωνία του A_1. Ο discriminator δίνει στην έξοδο σχεδόν αποκλειστικά το m_1(t) — το m_2(t) εμφανίζεται μόνο σαν ασθενής θόρυβος.

Capture effect — ο ισχυρότερος FM σταθμός παίρνει τα πάντα

Δύο FM σταθμοί S₁ και S₂ φτάνουν στον δέκτη στην ίδια συχνότητα f_c. Σύρε τον λόγο A₁/A₂ — όταν το S₁ είναι περίπου ίσο με το S₂ (0–3 dB) ο δέκτης μπερδεύεται και ακούς και τους δύο «παραμορφωμένα». Μόλις περάσεις τα 6 dB πλεονέκτημα, ο S₁ κερδίζει ολοκληρωτικά — ο S₂ εξαφανίζεται από την έξοδο, όχι απλά μειώνεται. Αυτό είναι το capture effect, μοναδικό στην FM (στο AM τα δύο σήματα αναμιγνύονται γραμμικά πάντα).

A₁/A₂ ratio = 6.0 dB · Total capture — μόνο το S₁ ακούγεται

A₁/A₂ (linear)

2.00×

Share στην έξοδο (S₁)

100%

Share στην έξοδο (S₂)

Πρακτικές συνέπειες: (1) στο FM ραδιόφωνο, αν φύγεις από την εμβέλεια του σταθμού σου, ξαφνικά «πιάνεις» τον επόμενο ισχυρότερο στην ίδια συχνότητα — δεν υπάρχει zone αναμίξης. (2) Στη στρατιωτική επικοινωνία, ένας ισχυρός jammer μπορεί να καλύψει εντελώς εχθρικές εκπομπές. (3) Σε δίκτυα συγχρονισμένων FM transmitters (single-frequency networks), η ζώνη όπου δύο εκπομπείς δίνουν ίδια ισχύ είναι «τυφλή» — γι' αυτό σχεδιάζονται ώστε να υπάρχει πάντα ένας ισχυρός σε κάθε σημείο.

Το νούμερο: αρκούν 3-6 dB advantage για πρακτικό capture. Πάνω από 6 dB, ο δυνατότερος κερδίζει ολοκληρωτικά — ο αδύναμος εξαφανίζεται από την έξοδο. Δεν είναι «μειωμένος» — είναι μηδέν.

Πρακτικές συνέπειες:

FM ραδιόφωνο: αν φύγεις από την εμβέλεια του σταθμού σου και υπάρχει άλλος στην ίδια συχνότητα, ξαφνικά «πιάνεις» τον επόμενο. Δεν υπάρχει zone αναμίξης όπως στο AM.
Στρατιωτικά: ένας ισχυρός jammer μπορεί να καλύψει εντελώς εχθρικές FM εκπομπές με σχετικά μικρή ισχύ — αρκεί να ξεπερνά κατά 6 dB.
Single-frequency networks (SFN): δίκτυα συγχρονισμένων FM transmitters σχεδιάζονται ώστε σε κάθε σημείο να υπάρχει ένας σταθμός 6+ dB πιο δυνατός από τους υπόλοιπους — αλλιώς υπάρχουν «τυφλές ζώνες» μίξης.

8. Pre-emphasis / de-emphasis

Πίσω στο triangular noise spectrum: η output noise PSD ανεβαίνει σαν f², που σημαίνει ότι οι υψηλές συχνότητες του message «πληρώνουν» περισσότερο θόρυβο. Στη φωνή και τη μουσική, οι υψηλές συχνότητες έχουν συνήθως ήδη χαμηλότερη ισχύ από τις χαμηλές (η ηχητική φάσμα-κατανομή πέφτει σαν 1/f) — οπότε το SNR στις υψηλές είναι διπλά κακό: λίγο σήμα και πολύς θόρυβος.

Λύση (εμπορικό FM ραδιόφωνο):

Pre-emphasis στον πομπό: ενίσχυσε τις υψηλές συχνότητες του message πριν τη μετάδοση. Συνήθης υλοποίηση: high-shelf filter με σταθερά χρόνου τ.
De-emphasis στον δέκτη: αντίστοιχη μείωση των υψηλών μετά τον discriminator. Lowpass με ίδιο τ.

Το αποτέλεσμα: το message επανέρχεται στο σωστό φάσμα (pre-emphasis και de-emphasis αλληλοακυρώνονται για το σήμα), αλλά ο θόρυβος που μπήκε ΜΕΤΑ το pre-emphasis (στο κανάλι/discriminator) κόβεται μονόπλευρα από το de-emphasis. Άρα οι υψηλές συχνότητες πληρώνουν λιγότερο θόρυβο.

Σταθερές χρόνου τ:

Περιοχή	`τ`	Σημείωση
Europe (CCIR/EBU)	`50 μs`	Cut-off ≈ 3.18 kHz
USA / Japan (FCC/RIAA)	`75 μs`	Cut-off ≈ 2.12 kHz

Βελτίωση SNR: ~12-13 dB στο εμπορικό FM ραδιόφωνο. Δηλαδή πάνω από το 23.5 dB «βασικό» FM gain over AM, το pre/de-emphasis προσθέτει ακόμα ~13 dB — συνολικά ~36 dB SNR advantage σε σχέση με συγκρίσιμη AM εκπομπή. Γι' αυτό το εμπορικό FM ραδιόφωνο ακούγεται τόσο πιο καθαρά.

9. AM vs FM — η canonical σύγκριση

Αυτός είναι ο πίνακας που χρησιμοποιείς ως απάντηση στο sept25-th2-7 και κάθε «σύγκρινε AM και FM» ερώτηση εξέτασης:

Παράγοντας	AM (Conventional, μ=1)	FM (β)
Bandwidth	`2W`	`2(β+1)W` — μεγαλύτερο, ανάλογο του β
Total power P_T	`A_c²(1 + μ²/2)/2 = (3/4)A_c²`	`A_c²/2` (ανεξάρτητο του β)
Σπατάλη στον carrier	Ναι, μόνο η_max = 33.3% ωφέλιμη	Όχι — όλη η ισχύς ωφέλιμη (100%)
Envelope	Μεταβλητή (αναπαριστά το message)	Σταθερή (η πληροφορία στη φάση)
Demodulator	Envelope detector (απλός) ή coherent	Limiter + discriminator
Output SNR	`η · SNR_ref ≈ (1/3) SNR_ref`	`3β² · SNR_ref`
FM gain over AM	—	`G = 9β²` (~23.5 dB για β=5)
Threshold	Στα ~10 dB (envelope detector), graceful collapse	Στα ~10 dB (loose), απότομη κατάρρευση
Capture effect	Όχι (γραμμική μίξη)	Ναι (μοναδικό στην FM)
Πολυπλοκότητα δέκτη	Χαμηλή (envelope) ή μέση (coherent)	Μέση/υψηλή
Παρουσία στο εμπόριο	AM ραδιόφωνο (530-1600 kHz), aviation, marine	FM ραδιόφωνο (88-108 MHz), TV audio, two-way radio

Trade-off summary: Η FM «αγοράζει» SNR με bandwidth (G ∝ β² αλλά B ∝ β), έχει σταθερή envelope (αντοχή σε amplitude θόρυβο, capture effect ως bonus), αλλά πληρώνει σε threshold (απότομη κατάρρευση) και πολυπλοκότητα δέκτη.

Πότε προτιμάμε AM:

Όταν το bandwidth είναι ακριβό (long-distance broadcasting, narrow channel allocations)
Για εφαρμογές χαμηλής πολυπλοκότητας / κόστους (φθηνός envelope detector receiver)
Όταν θέλουμε αργή υποβάθμιση με την απόσταση (AM ραδιόφωνο, aviation)

Πότε προτιμάμε FM:

Όταν θέλουμε υψηλή ποιότητα ήχου (εμπορικό FM ραδιόφωνο, TV audio)
Όταν είμαστε σε θορυβώδες περιβάλλον με σχετικά καλό SNR_in (two-way radio, walkie-talkie)
Όταν η σταθερή envelope μας επιτρέπει saturated power amplifiers (μεγαλύτερη απόδοση πομπού)

10. Άσκηση — υπολογισμός εμπορικού FM

11. Ανάκληση — drill from memory

Ανακάλεσε από μνήμη

Γράψε από μνήμη:

Το output noise PSD μετά τον FM discriminator (μορφή σε όρους $N_{0}, A_{c}, f$ ).
Τον ορισμό του reference SNR σε όρους $A_{c}, N_{0}, W$ .
Τη σχέση $SNR_{o u t, F M}$ ↔ $SNR_{r e f}$ ↔ $β$ .
Τη συνθήκη που χρησιμοποιήσαμε για να βγάλουμε το «only $n_{Q}$ επιβιώνει» (small noise).
Πόσο dB είναι το FM gain over AM για β = 5;

Συμπλήρωσε τα κενά

Συμπλήρωσε τη βασική παραγωγή: τι παράγει ο discriminator όταν δεχτεί bandpass θόρυβο γύρω από $A_{c} cos (2 π f_{c} t + ϕ (t))$ ;

I/Q decomposition:

n (t) = n_{I} cos (2 π f_{c} t) - n_{Q} sin (2 π f_{c} t)

. Ο limiter αφαιρεί τη radial συνιστώσα

n_{I}

και μένει μόνο η quadrature. Small-noise:

θ_{n} \approx

. PSD:

S_{θ} (f) =

. Ο discriminator διαφορίζει:

v_{n} = (1/2 π) d θ_{n} / d t

. Στο φάσμα ×

(j 2 π f)

⇒

S_{v} (f) =

. Single-tone

(Δ f = K_{f} A_{m})

: η output ισχύς signal είναι

P_{s} =

. Τελικά:

SNR_{o u t, F M} =

Βάλε τα βήματα στη σωστή σειρά

Βάλε τα βήματα στη σωστή σειρά για να φτάσεις από bandpass θόρυβο σε triangular output PSD.

Σύρε τις γραμμές για αναδιάταξη — ή χρησιμοποίησε τα βελάκια .

1.
Ο RF bandpass στα f_c με BW = B = 2(β+1)W περιορίζει τον θόρυβο σε bandpass ζώνη (επίπεδη PSD μέσα στη ζώνη).
2.
Phasor view: ο carrier A_c e^{jφ(t)} + n_I (παράλληλο, radial) + n_Q (κάθετο, quadrature). Ο limiter αφαιρεί τη radial συνιστώσα.
3.
Phase noise: θ_n(t) ≈ n_Q(t)/A_c (small-noise approx, ισχύει πάνω από threshold). PSD: S_θ(f) = N_0/A_c² (επίπεδη μέσα στο message band).
4.
Άρα S_v(f) = N_0 f² / A_c² — triangular spectrum (παραβολικός στο f²).
5.
Discriminator differentiates: v_n(t) = (1/2π) dθ_n/dt. Στο φάσμα: ×(j2πf) ⇒ S_v(f) = f² · S_θ(f).
6.
I/Q decomposition: n(t) = n_I cos(2π f_c t) − n_Q sin(2π f_c t), με n_I, n_Q baseband (κάθε ένα flat PSD = N_0 στα |f| ≤ B/2).
7.
LPF στα ±W κόβει· single-sided integration ⇒ P_n,out = N_0 W³ / (3 A_c²).
8.
White noise n(t) με PSD S_n(f) = N_0/2 φτάνει στον δέκτη.

12. Αναγνώριση — πώς εμφανίζεται στην εξέταση

Σύγκριση FM vs AM — signals + question-shape

Αν δεις στην εκφώνηση

«σύγκριση FM vs AM»
«ευαισθησία στον θόρυβο»
«output SNR»
«FM gain»
«bandwidth penalty»
«πολυπλοκότητα δέκτη»
«capture effect»
«threshold effect»
«γιατί χρησιμοποιεί η εμπορική ραδιοφωνία FM»
«triangular noise spectrum»
«pre-emphasis / de-emphasis»
«limiter»
«discriminator»
«envelope detector vs FM demodulator»
«wideband FM advantage»
«stations on same frequency»
«3β² gain»
«9β² gain»
«clicks»

Pattern shape 1 — «σύγκρινε qualitatively» (sept25-th2-7, 8%): Πίνακας με 5-7 παράγοντες (bandwidth, SNR, ισχύς, envelope, threshold, capture, πολυπλοκότητα). Σχεδόν βέβαιο ότι θα ζητηθεί στις προηγούμενες εξεταστικές περιόδους — η μόνη ποιοτική σύγκριση FM-vs-AM που έχει εμφανιστεί. Η μία γραμμή που πρέπει να αναφέρεις πάντα: «η FM ανταλλάσσει bandwidth για SNR — διπλασιάζεις BW, τετραπλάσιο SNR gain».

Pattern shape 2 — «υπολόγισε output SNR» (ποσοτικά): Δίνεται $A_{c}, Δ f, W, N_{0}$ . Σειρά βημάτων: (α) Carson $B = 2 (β + 1) W$ · (β) reference SNR $A_{c}^{2} / (2 N_{0} W)$ · (γ) output SNR $3 β^{2} \cdot SNR_{r e f}$ · σε dB. Πρόσεξε: το input SNR υπολογίζεται με BW = $B$ (όχι W).

Pattern shape 3 — «FM gain over AM σε dB» (μ=1): Άμεσα $9 β^{2}$ , $10 lo g_{10} (9 β^{2})$ . Για β=5: 225× → 23.5 dB. Παγίδα: η σύγκριση είναι στο ίδιο P_T — αυτή είναι η διδακτική σύμβαση. Αν ρωτηθείς γιατί ο αριθμός είναι «9» και όχι «3» ή «6», ξεκίνα από $SNR_{F M} = 3 β^{2} \cdot SNR_{r e f}$ και $SNR_{A M (μ = 1)} = (1/3) \cdot SNR_{r e f}$ · ratio = $(3 β^{2}) / (1/3) = 9 β^{2}$ .

Pattern shape 4 — «εξήγησε το threshold/capture effect» (qualitative): Threshold: small-noise approx ( $θ_{n} \approx n_{Q} / A_{c}$ ) σπάει κάτω από ~10 dB → clicks → exponential SNR collapse. Capture: ο ισχυρότερος resultant phasor «κυριαρχεί τη γωνία», ο discriminator κλειδώνει σε αυτόν — 6 dB advantage = total capture, μοναδικό στην FM.

Πού εμφανίζεται στα παλιά θέματα

Σύγκριση FM vs AMΣεπτέμβριος 2025ΘΕΜΑ 2.7FM / PM

13. Παλιά θέματα

0 / 5 λυμένα

Σύνοψη — FM στον θόρυβο

Λέξεις-κλειδιά

triangular noise PSD: $N_{0} f^{2} / A_{c}^{2}$
SNR_ref ≜ $A_{c}^{2} / (2 N_{0} W)$
SNR_out,FM = $3 β^{2}$ · SNR_ref
G_FM/AM = $9 β^{2}$ (μ=1, ίδιο P_T)
threshold ~10 dB (loose, αυξάνεται με β)
capture: 6 dB → total
pre/de-emphasis τ = 50/75 μs
FM trade-off: BW ↑ ⇒ SNR² ↑

Βήματα

Bandpass θόρυβος → I/Q decomp → limiter στρώνει envelope, μένει μόνο $n_{Q}$ .
Phase noise $θ_{n} \approx n_{Q} / A_{c}$ → discriminator differentiates → output PSD = $f^{2} \cdot N_{0} / A_{c}^{2}$ (triangular).
Single-sided integration στο message band: $P_{n} = N_{0} W^{3} / (3 A_{c}^{2})$ · single-tone $P_{s} = (Δ f)^{2} /2$ → SNR_out = $3 β^{2} \cdot SNR_{r e f}$ .
Σύγκριση AM σε ίδιο P_T: $G = 9 β^{2}$ · για β=5 → 23.5 dB.
Κάτω από threshold (~10 dB SNR_in): clicks, exponential SNR collapse.
Capture effect: 6 dB margin → ισχυρότερος κερδίζει 100%.
Pre/de-emphasis: αντισταθμίζει το $f^{2}$ noise weighting, +12-13 dB SNR.

Η συχνότερη παγίδα

Δύο διπλές παγίδες: (α) Ο τύπος

3 β^{2} \cdot SNR_{r e f}

ισχύει μόνο πάνω από threshold — κάτω από αυτό, το 3β² δεν είναι σωστή προσέγγιση. (β) Ο τύπος

9 β^{2}

για το FM gain over AM ισχύει στο ίδιο `P_T` και μ=1 — αν αλλάξει η σύμβαση (π.χ. ίδιο `A_c`, ή μ < 1), αλλάζει το νούμερο. Στην εξέταση: όταν λες «FM gain over AM», ξεκαθάρισε ότι μιλάς για ίδιο `P_T`/μ=1 (canonical convention).

Τι μάθαμε

Σταθερή envelope της FM + limiter → αφαιρούμε δωρεάν τη μισή ισχύ θορύβου (την radial συνιστώσα). Αυτή είναι η δομική διαφορά FM vs AM.
Bandpass θόρυβος → I/Q decomposition → small-noise approx δίνει θ_n ≈ n_Q/A_c· discriminator διαφορίζει → output PSD ∝ f² (triangular noise spectrum).
Output SNR: SNR_out,FM = 3β² · SNR_ref με SNR_ref = A_c²/(2 N_0 W). Τετραγωνική βελτίωση με το β.
FM gain over AM (μ=1, ίδιο P_T): G = 9β² → 23.5 dB για β=5, εμπορικό FM.
Trade-off: G ∝ β², B ∝ β — διπλασιάζεις BW, τετραπλασιάζεις SNR gain. Πιο ευνοϊκό trade-off στις communications.
Threshold effect: κάτω από ~10 dB SNR_in, το small-noise approx σπάει, ο discriminator παράγει clicks, output SNR καταρρέει εκθετικά. Αυξάνεται με β (περισσότερο BW = περισσότερος θόρυβος).
Capture effect: ισχυρότερος FM σταθμός κερδίζει 100% με ≥ 6 dB advantage. Μοναδικό στην FM.
Pre-emphasis / de-emphasis: εμπορικό FM χρησιμοποιεί τ = 50 μs (Europe) / 75 μs (US) — βελτίωση SNR ~12-13 dB.
Canonical FM vs AM σύγκριση για τη sept25-th2-7: 5 παράγοντες (bandwidth, ισχύς, envelope, output SNR, threshold/capture, πολυπλοκότητα). Η μία γραμμή: «η FM ανταλλάσσει bandwidth για SNR».

Επόμενο: coming soon

Τελείωσες αυτή τη σελίδα;

Φόρτωση σχολίων…