Modulation · AM·~28 min read·🔴 Heavy exam

Modulator & Demodulator + AM στον θόρυβο

Χρειάζεσαι:Φίλτρα Bandpass & I/Q canonical form Conventional AM DSB-SC

Ξέρουμε τι είναι η AM, ποιο είναι το φάσμα της, πόση ισχύ καταναλώνει, ποιες παραλλαγές υπάρχουν. Σε αυτό το κεφάλαιο πάμε στα πρακτικά κυκλώματα και στη συμπεριφορά σε θόρυβο — τι κάνει πραγματικά ένας AM δέκτης, ποιοι είναι οι περιορισμοί, και γιατί η AM είναι ευαίσθητη στον θόρυβο.

8% εξεταστικό βάρος, εμφανίζεται σχεδόν σε κάθε εξεταστική ως ερώτηση «εξήγησε τη λειτουργία του envelope detector», «βρες τα όρια του RC», ή «υπολόγισε output SNR».

1. Modulator (πομπός)

Ο πομπός AM χρειάζεται να παράξει το $x (t) = [A_{c} + m (t)] cos (2 π f_{c} t)$ . Δύο βασικές προσεγγίσεις:

1a. Direct multiplication (ιδεατή προσέγγιση)

Πάρε τον carrier $A_{c} cos (2 π f_{c} t)$ , προσθέσε το $A_{c}$ στο message για να το πιάσεις πάνω από μηδέν, και πολλαπλασίασε. Αυτό απαιτεί έναν αναλογικό multiplier στις υψηλές συχνότητες — δύσκολο αν το $f_{c}$ είναι ραδιοφωνικό (MHz).

1b. Nonlinear element + bandpass filter (πραγματικός πομπός)

Η πραγματική AM παράγεται εκμεταλλευόμενη μη γραμμικότητα, π.χ. ένα διοδικό κύκλωμα τύπου $V_{o u t} = d_{1} V_{in} + d_{2} V_{in}^{2} + \dots$ Παρακάτω η πλήρης παραγωγή που εμφανίζεται στις διαλέξεις (session 11&12&13).

Setup. Στην είσοδο της διόδου εφαρμόζουμε $V_{in} (t) = m (t) + A_{c} cos (2 π f_{c} t)$ — message συν carrier. Η έξοδος της μη γραμμικής συσκευής είναι:

V_{o u t} (t) = d_{1} V_{in} (t) + d_{2} V_{in}^{2} (t) + \dots

Αναπτύσσοντας το τετράγωνο:

V_{in}^{2} (t) = m^{2} (t) + 2 A_{c} m (t) cos (2 π f_{c} t) + A_{c}^{2} cos^{2} (2 π f_{c} t)

Χρησιμοποιώντας $cos^{2} = (1 + cos (2 \cdot)) /2$ :

V_{in}^{2} (t) = m^{2} (t) + 2 A_{c} m (t) cos (2 π f_{c} t) + \frac{A _{c}^{2}}{2} [1 + cos (4 π f_{c} t)]

Τελικά, μαζεύοντας τους όρους που προέρχονται από $d_{1} V_{in}$ και $d_{2} V_{in}^{2}$ :

V_{o u t} (t) = AM-like 2 d_{2} A_{c} cos (2 π f_{c} t) [\frac{d _{1}}{2 d _{2}} + m (t)] + d_{1} m (t) + d_{2} m^{2} (t) + \frac{d _{2} A _{c}^{2}}{2} [1 + cos (4 π f_{c} t)]

Ο πρώτος όρος είναι ακριβώς AM σήμα της μορφής $A_{c}^{'} [1 + k_{a} m (t)] cos (2 π f_{c} t)$ με $A_{c}^{'} = d_{1} A_{c}$ και $k_{a} = 2 d_{2} / d_{1}$ . Οι υπόλοιποι όροι είναι «παράπλευρα προϊόντα» που πρέπει να αφαιρεθούν με bandpass filter γύρω από τη ζώνη $[f_{c} - W, f_{c} + W]$ .

Αυτό είναι το «nonlinear AM transmitter» πρόβλημα — βλ. και την worked exercise στο /practice (Άσκηση AM-3).

1c. Balanced modulator για DSB-SC

Για DSB-SC (χωρίς carrier στην έξοδο) χρησιμοποιείται ο balanced modulator: δύο πανομοιότυπες μη γραμμικές συσκευές με αντίθετα πρόσημα στο message:

y_{+} (t) = d_{1} [m (t) + cos (2 π f_{c} t)] + d_{2} [m (t) + cos (2 π f_{c} t)]^{2}

y_{-} (t) = d_{1} [- m (t) + cos (2 π f_{c} t)] + d_{2} [- m (t) + cos (2 π f_{c} t)]^{2}

Αφαιρώντας:

y_{+} (t) - y_{-} (t) = 2 d_{1} m (t) + 4 d_{2} m (t) cos (2 π f_{c} t)

Οι όροι $cos^{2}$ και ο σκέτος carrier εξαφανίζονται λόγω της αντισυμμετρίας. Μετά από bandpass filter γύρω από $f_{c}$ :

y_{B P F} (t) = 4 d_{2} m (t) cos (2 π f_{c} t) \leftarrow καθαρ \overset{ο}{ˊ} DSB-SC

Το «balanced» στο όνομα αναφέρεται σε αυτή την ακριβή ακύρωση του carrier — γι' αυτό η συσκευή απαιτεί πανομοιότυπες διοδικές χαρακτηριστικές στους δύο κλάδους.

2. Envelope detector — η ραχοκοκαλιά του AM δέκτη

Το πιο σημαντικό κύκλωμα στο εμπορικό AM. Είναι απλό (δίοδος + αντίσταση + πυκνωτής), φθηνό, και δεν χρειάζεται συγχρονισμό φάσης. Γι' αυτό το AM ραδιόφωνο είναι ακόμα ζωντανό μετά από 100 χρόνια.

2a. Πώς δουλεύει

Το AM σήμα $x (t)$ μπαίνει σε δίοδο. Η δίοδος half-wave rectifies — αφήνει μόνο τη θετική πλευρά:

x_{rect} (t) = max (0, x (t))

Στη συνέχεια ένα RC κύκλωμα (αντίσταση και πυκνωτής σε παράλληλη σύνδεση) λειτουργεί σαν lowpass filter που «κρατάει την κορυφή» κάθε carrier κύκλου. Το αποτέλεσμα ακολουθεί το envelope του AM σήματος, που είναι (όταν $μ \leq 1$ ) το $A_{c} + m (t)$ .

Στη συνέχεια αφαιρούμε το DC offset $A_{c}$ και κρατάμε το $m (t)$ .

Envelope detector — η RC συμπεριφορά καθορίζει την ανάκτηση

AM input (μπλε) → δίοδος (half-wave rectified, αχνό γκρι) → RC LPF (πορτοκαλί) → ανακτημένο envelope. Σύρε το RC slider για να δεις τις τρεις περιοχές: μικρό RC, σωστό RC, μεγάλο RC.

RC time constant = 0.200 · Σωστό — καθαρή ανάκτηση

Πρακτικός κανόνας: 1/f_c << RC << 1/W. Δηλαδή αρκετά μεγάλο για να εξομαλύνει τους carrier cycles, αρκετά μικρό για να ακολουθεί τις διακυμάνσεις του message. Στο εμπορικό AM ραδιόφωνο, τυπικά RC ≈ 50 μs, που είναι ανάμεσα στα 1/(2π · 1 MHz) και 1/(2π · 4 kHz).

2b. Όρια του RC time constant

Το RC time constant πρέπει να είναι σε σωστό εύρος:

\frac{1}{f _{c}} ≪ R C ≪ \frac{1}{W} ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

όπου $W$ είναι το message bandwidth.

Πολύ μικρό RC (κοντά στο $1/ f_{c}$ ): ο πυκνωτής εκφορτίζεται γρήγορα ανάμεσα στους carrier κύκλους → output με ripple στη συχνότητα του carrier. Δεν είναι καθαρή ανάκτηση.
Πολύ μεγάλο RC (κοντά στο $1/ W$ ): ο πυκνωτής δεν εκφορτίζεται αρκετά γρήγορα για να ακολουθήσει τις πτώσεις του message → diagonal clipping όπου το ανακτημένο σήμα μένει «ψηλά» όταν το message πέφτει απότομα.
Σωστό RC: αρκετά μεγάλο για να εξομαλύνει carrier, αρκετά μικρό για να ακολουθεί message.

Παράδειγμα τιμών για AM ραδιόφωνο: $f_{c} = 1$ MHz, $W = 4$ kHz. Σωστό RC ≈ 50–100 μs (ανάμεσα στα $1/ (2 π \cdot 1 0^{6})$ ≈ 0.16 μs και $1/ (2 π \cdot 4 \cdot 1 0^{3})$ ≈ 40 μs).

2c. Όρος envelope detection για να δουλέψει

Απαραίτητη συνθήκη: $μ \leq 1$ (καμία υπερδιαμόρφωση). Διαφορετικά το envelope πάει αρνητικό σε κάποιες στιγμές, ο envelope detector το αναποδογυρίζει, και παίρνεις παραμορφωμένο message.

3. Coherent receiver (synchronous detection)

Ο εναλλακτικός τρόπος demodulation που ισχύει για όλα τα AM σχήματα (Conventional, DSB-SC, SSB, VSB):

Mixer: πολλαπλασιάζεις το λαμβανόμενο σήμα με ένα τοπικό cosine ίδιας συχνότητας και φάσης με τον carrier.
LPF: φιλτράρεις το αποτέλεσμα με ένα low-pass filter cutoff $W$ .
(Αν Conventional AM) DC removal: αφαιρείς το $A_{c}$ DC component για να μείνει μόνο το $m (t)$ .

Είναι η ίδια διαδικασία που είδαμε στο DSB-SC. Δουλεύει για κάθε AM σχήμα. Είναι πιο πολύπλοκο αλλά πιο ισχυρό σε noisy συνθήκες — γι' αυτό το εμπορικό AM ραδιόφωνο χρησιμοποιεί envelope detector (φθηνός), αλλά τα professional συστήματα χρησιμοποιούν coherent.

4. AM στον θόρυβο — threshold effect

Στην πράξη, το λαμβανόμενο σήμα έχει πάντα προστιθέμενο θόρυβο:

r (t) = x (t) + n (t)

όπου $n (t)$ είναι bandpass θόρυβος (συνήθως white noise φιλτραρισμένο από τον RF bandpass του δέκτη). Πώς συμπεριφέρεται ο envelope detector;

4a. High-SNR regime (συνήθης λειτουργία)

Όταν το SNR είναι υψηλό (πάνω από ~10 dB), ο θόρυβος είναι «μικρός» σε σύγκριση με τον carrier. Σε αυτή την περιοχή ο envelope detector λειτουργεί σχεδόν γραμμικά:

Output SNR_{AM} \approx \frac{μ ^{2} /2}{1 + μ ^{2} /2} \cdot Input SNR

Δηλαδή, η output SNR είναι χειρότερη από την input SNR κατά τον παράγοντα efficiency $η$ που υπολογίσαμε στο Conventional AM §5. Για $μ = 1$ : output SNR ≈ (1/3) × input SNR ≈ −5 dB. Για $μ = 0.5$ : ακόμα χειρότερα.

4b. Threshold effect (κάτω από ~10 dB)

Κάτω από SNR ≈ 10 dB, ο envelope detector σπάει. Ο θόρυβος envelope κυριαρχεί και το ανακτημένο message χάνεται γρήγορα:

Output SNR_{AM} \propto (Input SNR)^{2} στο threshold region

Δηλαδή κάθε 3 dB πτώση στο input → 6 dB πτώση στο output. Threshold effect — η μεγαλύτερη αδυναμία της Conventional AM.

AM σε θόρυβο — threshold effect του envelope detector

Πάνω: AM signal καθαρό. Μέσο: + bandpass θόρυβος. Κάτω: η έξοδος του envelope detector — όσο πέφτει το SNR, η ανάκτηση χειροτερεύει γρήγορα. Στο ~10 dB SNR αρχίζει το threshold effect.

SNR = 20 dB · Linear region — καλή ανάκτηση

Threshold effect: για SNR > ~10 dB ο envelope detector είναι σχεδόν γραμμικός — output SNR ≈ input SNR (με κάποια απώλεια από τον carrier). Κάτω από 10 dB ο envelope του θορύβου αρχίζει να κυριαρχεί και η output SNR καταρρέει γρήγορα. Αυτή είναι η βασική αδυναμία της AM σε σύγκριση με το coherent receiver ή την FM (που έχουν διαφορετικά threshold characteristics).

4c. Coherent vs envelope σε θόρυβο

Ο coherent receiver δεν έχει threshold effect — η output SNR ακολουθεί γραμμικά την input SNR ακόμα και σε χαμηλά SNR. Είναι ο λόγος που στρατιωτικά συστήματα χρησιμοποιούν coherent παρά την πολυπλοκότητα.

Demodulator	High SNR	Low SNR
Envelope detector	Σχεδόν γραμμικός, factor $η$ απώλεια	Threshold collapse
Coherent (synchronous)	Γραμμικός	Παραμένει γραμμικός

5. AM input/output SNR στο τυπολόγιο

Για Conventional AM στο high-SNR regime, ο γενικός τύπος για την output SNR είναι:

(SNR)_{out, AM} = \frac{μ ^{2} P _{m, N}}{1 + μ ^{2} P _{m, N}} \cdot (SNR)_{in}

όπου $P_{m, N} = ⟨ m^{2} ⟩ / m_{m a x}^{2}$ είναι η κανονικοποιημένη ισχύς του message ( $\leq 1$ ). Για single-tone $m (t) = A_{m} cos$ → $P_{m, N} = 1/2$ , και ο τύπος γίνεται:

(SNR)_{out, AM} = \frac{μ ^{2} /2}{1 + μ ^{2} /2} \cdot (SNR)_{in} = η \cdot (SNR)_{in}

Για DSB-SC και SSB, η output SNR είναι πάντα ίση με την input SNR (κανένας carrier να πετάξει).

6. Worked example

7. Πρακτικές παρατηρήσεις

Εμπορικό AM ραδιόφωνο χρησιμοποιεί envelope detector γιατί είναι φθηνό. Η ευαισθησία στον θόρυβο είναι αποδεκτή για τοπικές εκπομπές με ισχυρό σήμα.
DX (long-distance) AM listening συχνά χρησιμοποιεί receiverς με coherent detection (synchronous AM detectors) για καλύτερη ποιότητα σε ασθενή σήματα.
Stereo AM (όπου υπάρχει — σπάνιο σήμερα) χρησιμοποιεί quadrature multiplexing με coherent detection — απαιτεί PLL για συγχρονισμό.

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις πάνω στα κυκλώματα — circuits + threshold + practical engineering.

Τι μάθαμε

Ο envelope detector είναι δίοδος + RC LPF. Δουλεύει για Conventional AM και VSB, όχι για DSB-SC/SSB.
RC range: $1/ f_{c} ≪ R C ≪ 1/ W$ . Πολύ μικρό → ripple. Πολύ μεγάλο → diagonal clipping.
Ο coherent receiver (mixer + LPF + DC removal) είναι universal — δουλεύει για κάθε AM σχήμα. Χρειάζεται PLL ή pilot για carrier recovery.
AM στον θόρυβο: στο high-SNR regime, output SNR = $η \cdot$ input SNR (factor απώλεια από carrier waste). Στο low-SNR regime ( $<$ 10 dB), threshold effect — output SNR καταρρέει τετραγωνικά.
Coherent demodulation δεν έχει threshold effect — γραμμική ανάκτηση μέχρι κάτω.
Πρακτική σημείωση: εμπορικό AM = envelope detector (φθηνό), professional = coherent (καλύτερο σε θόρυβο).

Επόμενο

Multiplexing (FDM)

Φόρτωση σχολίων…