Foundations · Reference·~12 min read

Μιγαδικοί αριθμοί

Τι είναι ένας μιγαδικός αριθμός

Ένας πραγματικός αριθμός είναι ένα σημείο πάνω σε ευθεία. Ένας μιγαδικός είναι ένα σημείο στο επίπεδο — χρειάζονται δύο πραγματικοί για να τον περιγράψουν.

Γράφουμε:

z = a + j b

όπου $a = Re {z}$ είναι το real part, $b = Im {z}$ το imaginary part, και $j = - 1$ — η φανταστική μονάδα.

Παραδείγματα: $3 + 2 j$ , $- 1 - j$ , $5 j$ (καθαρά imaginary), $7$ (καθαρά real· ένας πραγματικός είναι ειδική περίπτωση μιγαδικού).

Μιγαδική επίπεδη — γεωμετρική ερμηνεία

Σχεδιάζουμε τους μιγαδικούς σε ένα επίπεδο: οριζόντιος άξονας = real part, κάθετος άξονας = imaginary part. Ένας μιγαδικός $z$ μπορεί να ιδωθεί ισοδύναμα ως σημείο $(a, b)$ ή ως διάνυσμα από την αρχή των αξόνων στο σημείο.

Cartesian

z = 1.50 + 1.00j

Polar

|z| = 1.80
∠z = 0.59 rad(34°)

Πολική επικάλυψη (|z|, ∠z)Δείξε τον συζυγή z*

Σύρε το σημείο. Real part στον οριζόντιο άξονα, imaginary στον κάθετο.

Παρατήρησε: $1 + 0 j$ είναι στα δεξιά, $0 + 1 j$ επάνω, $- 1 + 0 j$ αριστερά, $0 - j$ κάτω. Αυτές οι «τέσσερις θέσεις» θα ξανασυναντηθούν παντού στο μάθημα.

Πολική μορφή

Αντί για real + imaginary parts, μπορούμε να γράψουμε έναν μιγαδικό σαν μέτρο και γωνία:

z = ∣ z ∣ \cdot e^{j θ}

$∣ z ∣$ — μέτρο (magnitude): η απόσταση του σημείου από την αρχή των αξόνων. Πάντα $\geq 0$ .
$θ = ∠ z = ar g (z)$ — γωνία (phase / argument): η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον θετικό real άξονα. Σε rad.

Cartesian → Polar:

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}, θ = atan2 (b, a)

Polar → Cartesian:

a = ∣ z ∣ cos θ, b = ∣ z ∣ sin θ

Πάτα την «Πολική επικάλυψη» στο viz παραπάνω για να δεις τα $∣ z ∣$ και $∠ z$ πάνω στο διάνυσμα.

Η ταυτότητα του Euler

Η μαγική ταυτότητα που συνδέει εκθετικά με τριγωνομετρία:

e^{j θ} = cos θ + j sin θ

Γεωμετρικά: το $e^{j θ}$ είναι ένα σημείο στον μοναδιαίο κύκλο (ακτίνα 1, κέντρο 0), στη γωνία $θ$ . Real part = $cos θ$ , imaginary part = $sin θ$ . Άρα κάθε μιγαδικός με μέτρο 1 γράφεται $e^{j θ}$ , και πιο γενικά κάθε μιγαδικός γράφεται $∣ z ∣ \cdot e^{j θ}$ .

e^(jθ)

= 0.707 + 0.707j

cos(θ) = Re

0.707

sin(θ) = Im

0.707

θ = 0.79 rad(45°)

Σημεία-κλειδιά:

$e^{j 0} = 1$
$e^{j π /2} = j$
$e^{j π} = - 1$ (η διάσημη ταυτότητα του Euler: $e^{j π} + 1 = 0$ )
$e^{j 3 π /2} = - j$
$e^{j 2 π} = 1$ (επιστροφή στην αρχή)

Συζυγής αριθμός (complex conjugate)

Αν $z = a + j b$ , ο συζυγής του είναι:

z^{*} = a - j b

Ίδιο real part, αντίθετο imaginary part. Σε πολική μορφή:

z^{*} = ∣ z ∣ e^{- j θ}

Ίδιο μέτρο, αντίθετη γωνία. Γεωμετρικά: ο συζυγής είναι το καθρέπτισμα του $z$ ως προς τον real άξονα. (Ενεργοποίησε τον toggle «Δείξε τον συζυγή» στο viz της §2 για να το δεις.)

Σύμβολα: γράφουμε $z^{*}$ ή $\overset{z}{ˉ}$ . Σε αυτό το μάθημα: $z^{*}$ .

Οι ιδιότητες (1) και (3) είναι αυτές που τραβάνε το πιο πολύ φορτίο στο υπόλοιπο μάθημα — από τον υπολογισμό ισχύος cosines μέχρι την conjugate symmetry του Fourier transform.

Πράξεις

Πρόσθεση και αφαίρεση

Σε Cartesian μορφή, κατά συνιστώσα:

(a_{1} + j b_{1}) + (a_{2} + j b_{2}) = (a_{1} + a_{2}) + j (b_{1} + b_{2})

Γεωμετρικά: σαν να προσθέτεις διανύσματα (κανόνας του παραλληλόγραμμου).

Στην πολική μορφή η πρόσθεση είναι δύσκολη — μετάτρεψε πρώτα σε Cartesian. Η πολική λάμπει στους πολλαπλασιασμούς.

Πολλαπλασιασμός

Σε Cartesian (από τον ορισμό $j^{2} = - 1$ ):

(a_{1} + j b_{1}) (a_{2} + j b_{2}) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + j (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})

Σε πολική — εδώ είναι η ομορφιά:

(∣ z_{1} ∣ e^{j θ_{1}}) (∣ z_{2} ∣ e^{j θ_{2}}) = ∣ z_{1} ∣ ∣ z_{2} ∣ e^{j (θ_{1} + θ_{2})}

Τα μέτρα πολλαπλασιάζονται. Οι γωνίες προστίθενται.

Γεωμετρικά, πολλαπλασιασμός με ένα $z$ είναι scaling κατά $∣ z ∣$ + στροφή κατά $∠ z$ . Παράδειγμα-κλειδί: πολλαπλασιασμός με $j = e^{j π /2}$ είναι στροφή κατά 90° (αριστερόστροφα). Πολλαπλασιασμός με $- 1 = e^{j π}$ είναι στροφή κατά 180°.

z₁

|z₁| = 1.00 · ∠z₁ = 0.17π rad

z₂

|z₂| = 1.50 · ∠z₂ = 0.33π rad

z₁ · z₂

|z₁·z₂| = |z₁| · |z₂| = 1.50

∠(z₁·z₂) = ∠z₁ + ∠z₂ = 0.50π rad

|z₁|1.00

∠z₁0.17π rad

|z₂|1.50

∠z₂0.33π rad

Πολλαπλασιασμός σε πολική μορφή: μέτρα πολλαπλασιάζονται, γωνίες προστίθενται. Γεωμετρικά είναι scaling κατά |z| και στροφή κατά ∠z.

Διαίρεση

Σε πολική:

\frac{∣ z _{1} ∣ e ^{j θ_{1}}}{∣ z _{2} ∣ e ^{j θ_{2}}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣} e^{j (θ_{1} - θ_{2})}

Μέτρα διαιρούνται, γωνίες αφαιρούνται.

Σε Cartesian η τυπική τεχνική είναι πολλαπλασιασμός αριθμητή και παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή:

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} \cdot z _{2}^{*}}{z _{2} \cdot z _{2}^{*}} = \frac{z _{1} \cdot z _{2}^{*}}{∣ z _{2} ∣ ^{2}}

Παράδειγμα: $\frac{1}{j} = \frac{1 \cdot ( - j )}{j \cdot ( - j )} = \frac{- j}{1} = - j$ . Δηλαδή $1/ j = - j$ — μια από τις πιο χρήσιμες σχέσεις στις τηλεπικοινωνίες.

Ύψωση σε δύναμη

Σε πολική:

z^{n} = ∣ z ∣^{n} e^{j n θ}

Μέτρο στη δύναμη $n$ , γωνία πολλαπλασιάζεται με $n$ .

Παράδειγμα: $(1 + j)^{4}$ . Σε πολική, $1 + j = 2 e^{j π /4}$ . Άρα $(1 + j)^{4} = (2)^{4} e^{j π} = 4 \cdot (- 1) = - 4$ .

De Moivre's theorem (ειδική περίπτωση όταν $∣ z ∣ = 1$ ):

(cos θ + j sin θ)^{n} = cos (n θ) + j sin (n θ)

Quick reference

Όλοι οι τύποι μαζεμένοι

Cartesian ↔ Polar:
  z = a + jb = |z|·e^(jθ)
  |z| = √(a² + b²)
  θ   = atan2(b, a)
  a   = |z|·cos(θ)
  b   = |z|·sin(θ)

Euler:
  e^(jθ)  = cos(θ) + j·sin(θ)
  e^(-jθ) = cos(θ) - j·sin(θ)
  cos(θ)  = (e^(jθ) + e^(-jθ)) / 2
  sin(θ)  = (e^(jθ) - e^(-jθ)) / (2j)

Conjugate:
  z*       = a - jb = |z|·e^(-jθ)
  z + z*   = 2·Re{z}
  z - z*   = 2j·Im{z}
  z · z*   = |z|²
  (z₁ + z₂)* = z₁* + z₂*
  (z₁ · z₂)* = z₁* · z₂*
  (z*)*    = z

Operations (polar):
  z₁ · z₂  → magnitudes multiply, angles add
  z₁ / z₂  → magnitudes divide, angles subtract
  z^n      → magnitude^n, angle·n

Παραδείγματα και ασκήσεις

0 / 8 λυμένα

Φόρτωση σχολίων…