Foundations · Section 3·~35 min read

Σειρές Fourier

Χρειάζεσαι:Τι είναι ένα σύστημα επικοινωνιών Σήματα Συστήματα & convolution

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι ένα LTI σύστημα μεταχειρίζεται κάθε συχνότητα ξεχωριστά: ένα cosine συχνότητας $f_{0}$ μπαίνει, ένα cosine της ίδιας συχνότητας βγαίνει — απλώς με νέο πλάτος και φάση. Πανέμορφο, αλλά πολλά πρακτικά σήματα δεν είναι cosines. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνουμε να τα γράφουμε σαν άθροισμα cosines, ώστε όλα τα εργαλεία του προηγούμενου κεφαλαίου να ισχύουν παντού.

Το ερώτημα

Πάρε έναν τετραγωνικό παλμό που εναλλάσσεται μεταξύ 0 και 1 με περίοδο 1 ms (δηλαδή 1 kHz). Δεν είναι cosine — έχει ακμές, επίπεδα, ασυνέχειες. Πώς υπολογίζεις τι θα κάνει ένα LTI σύστημα σε ένα τέτοιο σήμα;

Η απάντηση είναι μια από τις πιο όμορφες ιδέες της επιστήμης σημάτων:

Κάθε «λογικό» periodic signal μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα από cosines.

Αν μπορούμε να το γράψουμε έτσι, τότε από γραμμικότητα του LTI συστήματος, η έξοδός του είναι το άθροισμα των εξόδων για κάθε cosine ξεχωριστά — και αυτές τις ξέρουμε. Το cosine περνάει από LTI και βγαίνει με νέο πλάτος και φάση. Άθροισε όλα μαζί και έχεις την πλήρη απόκριση.

Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε ποιες ακριβώς cosines χρειαζόμαστε, με ποια πλάτη και φάσεις, και γιατί δουλεύει.

Γιατί cosines;

Πριν δούμε πώς, ας ρωτήσουμε γιατί cosines και όχι κάτι άλλο. Δύο λόγοι:

1. Φυσικός. Στη φύση το cosine είναι το «πιο απλό» περιοδικό σήμα. Εμφανίζεται σε εκκρεμή, ταλαντώσεις, ηλεκτρομαγνητικά κύματα — οπουδήποτε υπάρχει επιστροφή σε ισορροπία. Είναι ο φυσικός «δομικός λίθος» του περιοδικού.

2. Μαθηματικός. Όπως μόλις είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, τα LTI συστήματα μεταχειρίζονται τα cosines (πιο τεχνικά: τα complex exponentials) σαν eigenfunctions — απλώς τα πολλαπλασιάζουν με ένα μιγαδικό αριθμό. Δεν αλλάζει το σχήμα τους. Κανένα άλλο σήμα δεν το κάνει αυτό εκτός από complex exponentials.

Συνδυασμένα: τα cosines είναι ταυτόχρονα φυσικός και μαθηματικός δομικός λίθος για το περιοδικό. Είναι λοιπόν φυσικό να ρωτάμε «μπορώ να γράψω οποιοδήποτε periodic signal σαν συνδυασμό από cosines;» — και η απάντηση είναι ναι.

Διαίσθηση από διανύσματα

Πριν κάνουμε Fourier σε σήματα, βοηθάει να σκεφτούμε πρώτα διανύσματα. Η ίδια ιδέα δουλεύει και στα δύο, μόνο που στα διανύσματα την καταλαβαίνουμε ήδη.

Στον τρισδιάστατο χώρο, κάθε σημείο μπορείς να το γράψεις σαν συνδυασμό τριών «βάσεων»:

v = c_{1} \hat{i} + c_{2} \hat{j} + c_{3} \hat{k}

όπου $\hat{i} = (1, 0, 0)$ , $\hat{j} = (0, 1, 0)$ , $\hat{k} = (0, 0, 1)$ είναι τα unit vectors στους τρεις άξονες.

Δύο πράγματα κάνουν αυτή τη βάση χρήσιμη:

Πληρότητα — μπορείς να φτιάξεις οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου από αυτά τα τρία.
Ορθογωνιότητα — τα τρία διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους ( $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ κ.λπ.).

Η ορθογωνιότητα έχει μια πανέμορφη συνέπεια: αν θέλεις να βρεις τον συντελεστή $c_{1}$ ενός διανύσματος $v$ , απλά πάρε το εσωτερικό γινόμενο με το $\hat{i}$ :

c_{1} = v \cdot \hat{i}

Το $\hat{i}$ «σαρώνει» το $v$ και βγάζει μόνο τη συνιστώσα στον x-άξονα. Τα $c_{2} \hat{j}$ και $c_{3} \hat{k}$ δεν συνεισφέρουν στο εσωτερικό γινόμενο γιατί $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$ και $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ .

Διάνυσμα ως συνδυασμός ορθογώνιων αξόνων

Σύρε τους τρεις συντελεστές c₁, c₂, c₃. Το διάνυσμα v = c₁·î + c₂·ĵ + c₃·k̂ ζωγραφίζεται μαζί με τις τρεις του προβολές. Παρατήρησε ότι κάθε συντελεστής βγαίνει από το εσωτερικό γινόμενο με τον αντίστοιχο άξονα.

c₁ (x)0.60

c₂ (y)-0.40

c₃ (z)0.80

Εσωτερικό γινόμενο με τον x-άξονα: v · î = 0.60 = c₁ — μόνο η συνιστώσα x επιβιώνει· οι άλλες είναι ορθογώνιες στο î.

Με τον y-άξονα: v · ĵ = -0.40 = c₂

Με τον z-άξονα: v · k̂ = 0.80 = c₃

Σαν αυτή την παρομοίωση θα την ξαναβρούμε σε λίγο, οπότε αξίζει ένας πίνακας:

Διανύσματα σε 3D	Σήματα στον χρόνο
Διάνυσμα $v$	Σήμα $x (t)$
Συντεταγμένες $c_{1}, c_{2}, c_{3}$	Συντελεστές Fourier $a_{k}$
Unit vectors $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$	Harmonic complex exponentials $e^{j 2 π k f_{0} t}$
Εσωτερικό γινόμενο $v \cdot \hat{i}$	Ολοκλήρωμα γινομένου σε μια περίοδο
Ορθογωνιότητα $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$	Ολοκλήρωμα μηδενίζεται για διαφορετικές αρμονικές

Το υπόλοιπο κεφάλαιο είναι, βασικά, η μετάφραση αυτού του πίνακα από αριστερά προς τα δεξιά.

Τα harmonic complex exponentials είναι ορθογώνια

Στον κόσμο των σημάτων, το «εσωτερικό γινόμενο» δύο σημάτων $x_{1} (t)$ και $x_{2} (t)$ ορίζεται ως:

⟨ x_{1}, x_{2} ⟩ = \int_{0}^{T_{0}} x_{1} (t) x_{2}^{*} (t) d t

(Ο συζυγής στο $x_{2}$ είναι εκεί για να το κάνει συνεπές με μιγαδικά σήματα — αν τα σήματα είναι real, ο συζυγής δεν αλλάζει τίποτα.)

Δύο σήματα είναι ορθογώνια αν αυτό το ολοκλήρωμα είναι μηδέν.

Ο πανέμορφος υπολογισμός. Πάρε δύο complex exponentials με συχνότητες που είναι ακέραια πολλαπλάσια της ίδιας θεμελιώδους συχνότητας $f_{0} = 1/ T_{0}$ (σε άλλες σημειώσεις και τυπολόγια θα δεις και τη γραφή με $ω_{0} = 2 π f_{0}$ — είναι το ίδιο μέγεθος σε διαφορετικές μονάδες, rad/s αντί για Hz):

⟨ e^{j 2 π k f_{0} t}, e^{j 2 π m f_{0} t} ⟩ = \int_{0}^{T_{0}} e^{j 2 π k f_{0} t} e^{- j 2 π m f_{0} t} d t = \int_{0}^{T_{0}} e^{j 2 π (k - m) f_{0} t} d t

Αν $k = m$ : ο integrand είναι $e^{j \cdot 0} = 1$ , και το ολοκλήρωμα δίνει $T_{0}$ .
Αν $k \neq = m$ : ο integrand είναι ένα complex exponential με $∣ k - m ∣$ ακέραιους κύκλους μέσα στο διάστημα $[0, T_{0}]$ . Ολοκλήρωμα σε ολόκληρους κύκλους ενός μη-DC ημιτόνου = 0.

Σε ένα σύμβολο:

⟨ e^{j 2 π k f_{0} t}, e^{j 2 π m f_{0} t} ⟩ = T_{0} \cdot δ_{k, m}

όπου $δ_{k, m}$ είναι το Kronecker delta — όχι το Dirac! Είναι απλώς συντομογραφία για «1 αν $k = m$ , 0 αλλιώς».

Τα harmonic complex exponentials σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο ακριβώς όπως τα $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ του 3D χώρου, μόνο που είναι άπειρα στον αριθμό (ένα για κάθε ακέραιο $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ ).

⟨e^(jkω₀t), e^(jmω₀t)⟩ — ορθογωνιότητα αρμονικών

Διάλεξε k και m. Σχεδιάζεται το πραγματικό μέρος του ολοκληρωτέου, cos((k − m)·ω₀·t), σε μία περίοδο. Η σκιασμένη περιοχή είναι το ολοκλήρωμα. Μόνο όταν k = m δεν αλληλοεξουδετερώνεται και βγαίνει T₀.

k − m = -1 ≠ 0 ⇒ ∫₀^T₀ cos((k−m)ω₀t) dt = 0 · ακέραιοι κύκλοι σε ένα διάστημα μήκους T₀ → άθροισμα μηδέν.

Με την ίδια λογική όπως στα διανύσματα: αν μπορούμε να γράψουμε ένα periodic σήμα σαν συνδυασμό από αυτές τις «βάσεις», τότε μπορούμε να βρούμε κάθε συντελεστή με εσωτερικό γινόμενο.

Η σειρά Fourier — οι δύο βασικές εξισώσεις

Σύνθεση: από συντελεστές σε σήμα

Με ορθογώνιο σύνολο στα χέρια, ορίζουμε τη σειρά Fourier. Ένα periodic σήμα $x (t)$ με περίοδο $T_{0}$ μπορεί να γραφτεί σαν:

x (t) = k = - \infty \sum \infty a_{k} e^{j 2 π k f_{0} t}

όπου $f_{0} = 1/ T_{0}$ είναι η θεμελιώδης συχνότητα σε Hz, και τα $a_{k}$ είναι μιγαδικοί αριθμοί που λέγονται συντελεστές Fourier.

Αυτή είναι η εξίσωση σύνθεσης: από τους συντελεστές ξαναχτίζουμε το σήμα. Σε πολική μορφή κάθε $a_{k}$ έχει δύο πληροφορίες:

$∣ a_{k} ∣$ — πόσο πολύ της αρμονικής $k$ υπάρχει στο σήμα.
$∠ a_{k}$ — σε ποια φάση ξεκινάει η αρμονική $k$ .

Ανάλυση: από σήμα σε συντελεστές

Πώς όμως βρίσκουμε τα $a_{k}$ από το σήμα; Από την ορθογωνιότητα, ίδια λογική με τη διανυσματική απόσπαση συντεταγμένης. Πάρε το εσωτερικό γινόμενο του $x (t)$ με το $e^{j 2 π m f_{0} t}$ :

⟨ x, e^{j 2 π m f_{0} t} ⟩ = \int_{0}^{T_{0}} x (t) e^{- j 2 π m f_{0} t} d t

Αντικατέστησε το $x (t)$ από τη σύνθεση και βγάλε το άθροισμα έξω από το ολοκλήρωμα:

⟨ x, e^{j 2 π m f_{0} t} ⟩ = k \sum a_{k} \int_{0}^{T_{0}} e^{j 2 π (k - m) f_{0} t} d t

Από την ορθογωνιότητα, όλα τα ολοκληρώματα είναι 0 εκτός από το $k = m$ , που δίνει $T_{0}$ . Άρα μένει ένας μόνο όρος:

⟨ x, e^{j 2 π m f_{0} t} ⟩ = a_{m} \cdot T_{0}

Λύνοντας ως προς $a_{m}$ (και αλλάζοντας το $m$ σε $k$ για συνέπεια):

a_{k} = \frac{1}{T _{0}} \int_{0}^{T_{0}} x (t) e^{- j 2 π k f_{0} t} d t

Αυτή είναι η εξίσωση ανάλυσης: από το σήμα παίρνουμε τους συντελεστές. Πρόσεξε ότι το ολοκλήρωμα μπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε διάστημα μήκους $T_{0}$ (όχι απαραίτητα $0$ έως $T_{0}$ ). Το σήμα είναι περιοδικό, οπότε όλα τα διαστήματα μήκους $T_{0}$ δίνουν την ίδια τιμή. Στην πράξη συχνά διαλέγουμε $- T_{0} /2$ έως $T_{0} /2$ γιατί τα συμμετρικά όρια απλοποιούν τα even/odd argument.

Σχέση μεταξύ μιγαδικής και cosine μορφής

Συχνά βλέπουμε τη σειρά Fourier γραμμένη σε δύο μορφές:

Μιγαδική μορφή (αυτή που μόλις δείξαμε):

x (t) = k = - \infty \sum \infty a_{k} e^{j 2 π k f_{0} t}

Πραγματική (cosine) μορφή:

x (t) = A_{0} + k = 1 \sum \infty A_{k} cos (2 π k f_{0} t + ϕ_{k})

Οι δύο είναι ισοδύναμες για real signals. Από Euler και τη συζυγή συμμετρία ( $a_{- k} = a_{k}^{*}$ — δες παρακάτω), παίρνουμε:

$A_{0} = a_{0}$ — η DC συνιστώσα, ο μέσος όρος του σήματος σε μία περίοδο.
$A_{k} = 2∣ a_{k} ∣$ για $k \geq 1$ — το πλάτος της k-ης αρμονικής.
$ϕ_{k} = ∠ a_{k}$ — η φάση της k-ης αρμονικής.

Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιούμε κυρίως τη μιγαδική μορφή γιατί τα ολοκληρώματα είναι πιο καθαρά. Αλλά να ξέρεις και τις δύο — εμφανίζονται και οι δύο σε exam προβλήματα και στο τυπολόγιο.

Φάσμα: το σήμα στο frequency domain

Κάθε συντελεστής $a_{k}$ είναι μιγαδικός με μέτρο $∣ a_{k} ∣$ και φάση $∠ a_{k}$ . Αν τα σχεδιάσουμε σε διάγραμμα ως προς τη συχνότητα $f = k f_{0} = k / T_{0}$ , παίρνουμε δύο plots — μαζί λέγονται το φάσμα του σήματος.

Φάσμα πλάτους

Το φάσμα πλάτους (amplitude spectrum) δείχνει $∣ a_{k} ∣$ έναντι $f$ . Δύο πράγματα προσέξτε αμέσως:

Το φάσμα είναι discrete (διακριτό): σπικς μόνο σε ακέραια πολλαπλάσια του $f_{0}$ (δηλαδή $0, \pm f_{0}, \pm 2 f_{0}, \dots$ ). Δεν υπάρχει σήμα μεταξύ των αρμονικών. Αυτό είναι φυσικό: ένα periodic σήμα έχει μόνο αρμονικά συσχετισμένες συχνότητες, τίποτα ενδιάμεσα.
Το φάσμα έχει και αρνητικές συχνότητες. Αυτό προκύπτει μαθηματικά από την exponential μορφή — το $e^{j 2 π f t}$ και το $e^{- j 2 π f t}$ μαζί κάνουν ένα cosine. Δεν υπάρχει «αρνητική φυσική συχνότητα», απλά ένας μαθηματικός λογαριασμός. (Πιο αναλυτική συζήτηση + η εναλλακτική σύμβαση «one-sided» που δείχνει μόνο $f \geq 0$ : reference/spectrum-conventions.)

Φάσμα φάσης

Το φάσμα φάσης (phase spectrum) δείχνει $∠ a_{k}$ έναντι $f$ . Είναι λιγότερο διαισθητικό αλλά εξίσου σημαντικό. Λέει «πότε ξεκινάει» κάθε αρμονική στο σήμα.

Αν όλες οι φάσεις είναι 0, οι αρμονικές «ευθυγραμμίζονται» και πετυχαίνουν peak μαζί στο $t = 0$ .
Αν οι φάσεις διαφέρουν, οι αρμονικές δεν ευθυγραμμίζονται, και το σχήμα του σήματος αλλάζει — ακόμα και αν τα πλάτη παραμένουν τα ίδια.

Αυτό είναι κρίσιμο για να καταλάβεις γιατί το φάσμα φάσης δεν είναι «λιγότερο σημαντικό» από το φάσμα πλάτους. Αλλάζοντας μόνο τις φάσεις μπορείς να μετατρέψεις ένα τετράγωνο σε σχεδόν τίποτα.

Συμμετρίες ±f για real signals

Παρατήρησε στους τύπους του φάσματος μια συμμετρία που εμφανίζεται όταν το σήμα είναι real:

Το φάσμα πλάτους $∣ a_{k} ∣$ είναι άρτια συνάρτηση: $∣ a_{- k} ∣ = ∣ a_{k} ∣$ .
Το φάσμα φάσης $∠ a_{k}$ είναι περιττή συνάρτηση: $∠ a_{- k} = - ∠ a_{k}$ .

Δηλαδή τα πλάτη είναι κατοπτρικά και οι φάσεις αντισυμμετρικά γύρω από το $f = 0$ . Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα conjugate symmetry: για real $x (t)$ , ισχύει $a_{- k} = a_{k}^{*}$ . Ο συζυγής σημαίνει ίδιο μέτρο, αντίθετη φάση — εξ ου η συμμετρία.

Γι' αυτό σε πολλά διαγράμματα φάσματος σχεδιάζουμε μόνο το θετικό μισό (η λεγόμενη «one-sided» σύμβαση — δες reference/spectrum-conventions για το πότε χρησιμοποιείται και πώς μετατρέπεις ανάμεσα στις δύο) — το αρνητικό μισό είναι απλά ο μιγαδικός συζυγής. Δεν χάνουμε πληροφορία.

Σήμα και φάσμα — δύο όψεις του ίδιου πράγματος

Δύο σπικς, στο +f₀ και −f₀, μέτρο 1/2.

Σημείωσε τη συμμετρία ±f

Στον χρόνοx(t) = Σ aₖ e^(jkω₀t)

|aₖ| — φάσμα πλάτουςδιακριτές γραμμές στα k·f₀

∠aₖ — φάσμα φάσηςrad (περιττή για real signals)

Παρατήρησε: μόνο γραμμές στα ακέραια πολλαπλάσια του f₀. Δεν υπάρχει σήμα μεταξύ τους — αυτό είναι το «φάσμα είναι discrete». Για real signals οι γραμμές στο −f είναι ο μιγαδικός συζυγής αυτών στο +f, οπότε το μέτρο είναι κατοπτρικό και η φάση αντισυμμετρική.

Παράδειγμα: rectangular pulse train (η εμφάνιση του sinc)

Αρκετή θεωρία — ώρα για έναν συγκεκριμένο υπολογισμό. Ας υπολογίσουμε τη σειρά Fourier ενός τετραγωνικού παλμικού σήματος (square wave 50% duty cycle):

x (t) = {10 ∣ t ∣ < T_{0} /4 T_{0} /4 < ∣ t ∣ < T_{0} /2

και περιοδικό με περίοδο $T_{0}$ .

Τετραγωνικός παλμός 50% duty cycle, περίοδος T₀.

Από την εξίσωση ανάλυσης (διαλέγουμε το διάστημα $[- T_{0} /2, T_{0} /2]$ ):

a_{k} = \frac{1}{T _{0}} \int_{- T_{0} /2}^{T_{0} /2} x (t) e^{- j 2 π k f_{0} t} d t

Επειδή το $x (t)$ είναι μη-μηδενικό μόνο για $∣ t ∣ < T_{0} /4$ , το ολοκλήρωμα μειώνεται σε:

a_{k} = \frac{1}{T _{0}} \int_{- T_{0} /4}^{T_{0} /4} e^{- j 2 π k f_{0} t} d t

Από Euler, $e^{- j 2 π k f_{0} t} = cos (2 π k f_{0} t) - j sin (2 π k f_{0} t)$ . Το integrand $cos$ είναι άρτια συνάρτηση του $t$ , το $sin$ είναι περιττή — και τα όρια είναι συμμετρικά γύρω από το 0. Άρα το ολοκλήρωμα του $sin$ μηδενίζεται και μένει:

a_{k} = \frac{1}{T _{0}} \int_{- T_{0} /4}^{T_{0} /4} cos (2 π k f_{0} t) d t = \frac{1}{T _{0}} \cdot [\frac{sin ( 2 π k f _{0} t )}{2 π k f _{0}}]_{- T_{0} /4}^{T_{0} /4}

Με $f_{0} = 1/ T_{0}$ έχουμε $2 π k f_{0} \cdot (T_{0} /4) = k π /2$ :

a_{k} = \frac{1}{T _{0}} \cdot \frac{2 sin ( k π /2 )}{2 π k f _{0}} = \frac{sin ( k π /2 )}{k π}

Παρατηρώντας ότι $\frac{sin ( k π /2 )}{k π /2} = sinc (k /2)$ (όπου $sinc (x) = sin (π x) / (π x)$ ), παίρνουμε:

a_{k} = \frac{1}{2} sinc (k /2)

Τρία πράγματα να προσέξεις στο αποτέλεσμα:

$a_{0} = 1/2$ . Λογικό: ο παλμός είναι 1 για το μισό της περιόδου και 0 για το άλλο μισό, άρα ο μέσος όρος του είναι $1/2$ . Ο $a_{0}$ είναι πάντα ο μέσος όρος (DC).
$a_{k} = 0$ για άρτιο $k \neq = 0$ , γιατί το $sinc$ μηδενίζεται σε ακέραια non-zero values. Δηλαδή ο τετραγωνικός παλμός 50% δεν περιέχει καθόλου άρτιες αρμονικές.
$∣ a_{k} ∣$ φθίνει σαν $1/ k$ για περιττά $k$ . Οι αρμονικές γίνονται πιο αδύνατες όσο αυξάνεται η συχνότητα. Η περιβάλλουσα του φάσματος είναι το $sinc$ .

Τετραγωνικός παλμός 50% — οι συντελεστές γίνονται sinc

Το |aₖ| = ½·|sinc(k/2)|: μηδενίζεται στους άρτιους k ≠ 0, και φθίνει σαν 1/k στους περιττούς. Σύρε το N για να δεις πόσες αρμονικές χρειάζονται για να χτιστεί το ορθογώνιο.

Στον χρόνοπραγματικό σήμα + μερικό άθροισμα

|aₖ| με την περιβάλλουσα sincενεργές αρμονικές χρωματίζονται

Αρμονικές N = 7(±k μέχρι N)

Αυτή είναι η πρώτη φορά που ένα periodic σήμα στον χρόνο δίνει sinc στο φάσμα, και δεν θα είναι η τελευταία. Στο επόμενο κεφάλαιο θα δούμε ότι rectangular pulse ↔ sinc είναι ένα από τα πιο σημαντικά Fourier transform pairs — και θα προκύψει ως η συνεχής εκδοχή ακριβώς αυτού που είδαμε εδώ.

Ο τετραγωνικός παλμός χτίζεται μπροστά μας

Ώρα για το πιο όμορφο visualization αυτού του κεφαλαίου: να δούμε τον τετραγωνικό παλμό να χτίζεται μπροστά στα μάτια μας, αρμονική μετά από αρμονική.

Στο παρακάτω demo ξεκινάς με $N = 0$ αρμονικές (μόνο τη DC συνιστώσα — ο μέσος όρος, ένα επίπεδο 1/2) και προσθέτεις σταδιακά αρμονικές. Παρατήρησε:

Με την 1η αρμονική μόνο, το αποτέλεσμα είναι ένα cosine. Δεν είναι τετράγωνο, αλλά αρχίζει να μυρίζει σωστά — έχει ήδη πιάσει το «πάνω-κάτω».
Προσθέτοντας περιττές αρμονικές ( $k = 3, 5, 7, \dots$ ), οι ακμές γίνονται πιο απότομες και τα οριζόντια μέρη πιο επίπεδα. Άρτιες αρμονικές δεν προστίθενται καθόλου — είναι ήδη μηδέν, όπως είδαμε.
Με πολλές αρμονικές, το αποτέλεσμα είναι σχεδόν τέλειο τετράγωνο — εκτός από κάτι μικρά «αυτάκια» στις άκρες, που λέγονται Gibbs phenomenon και δεν φεύγουν ποτέ τελείως. Απλώς γίνονται πιο στενά.

Τετραγωνικός παλμός χτίζεται από αρμονικές

Πρόσθεσε αρμονικές μία-μία και δες πώς το άθροισμα συγκλίνει στον παλμό. Τρεις συγχρονισμένες όψεις: μερικό άθροισμα στον χρόνο, διακριτό φάσμα, και κάθε αρμονική ξεχωριστά στοιβαγμένη.

Στον χρόνο — μερικό άθροισμαN = 7 αρμονικές · στόχος: τετράγωνο

|aₖ| φάσμαενεργές αρμονικές = έγχρωμες

Κάθε αρμονική ξεχωριστάτο άθροισμά τους χτίζει το πάνω panel

N = 7(αρμονικές μέχρι ±N)

Η σειρά Fourier παύει να είναι ένας τύπος που γράφεις σε ένα τυπολόγιο. Είναι ένας τρόπος να συνθέσεις σήματα από μέσα προς τα έξω, με συστατικά που έχουν συγκεκριμένη φυσική σημασία (πλάτος, φάση, συχνότητα) και που κανονικά είναι αόρατα — αλλά που εκεί, σε αυτό το viz, τα βλέπεις να συνεργάζονται.

Η γέφυρα προς τον Fourier transform

Η σειρά Fourier δουλεύει για periodic σήματα. Αλλά τα πιο πολλά σήματα στην πράξη — μια εκφώνηση, ένας παλμός, μια μετάδοση δεδομένων — δεν είναι ακριβώς periodic.

Τι γίνεται τότε;

Ιδέα: ένα μη-περιοδικό σήμα μπορούμε να το σκεφτούμε σαν περιοδικό με άπειρη περίοδο. Καθώς το $T_{0} \to \infty$ :

Η θεμελιώδης συχνότητα $f_{0} = 1/ T_{0} \to 0$ .
Οι αρμονικές $k f_{0}$ έρχονται ολοένα και πιο κοντά μεταξύ τους.
Το διακριτό φάσμα γίνεται συνεχές.

T₀ → ∞: από Fourier series σε Fourier transform

Αριστερά ο periodic παλμός — σταθερό σχήμα τ = 1, μεταβλητή περίοδος T₀. Δεξιά το διακριτό φάσμα του πάνω σε μια σταθερή sinc περιβάλλουσα — τον FT του ενός παλμού. Σύρε το T₀ και παρακολούθησε πώς αλλάζει η πυκνότητα των γραμμών χωρίς να αλλάζει η περιβάλλουσα.

Στον χρόνοperiodic παλμός, σταθερό σχήμα

Στη συχνότηταγραμμές στις k/T₀ πάνω σε sinc envelope

T₀ = 3.0 · απόσταση γραμμών 1/T₀ = 0.333 Hz

Παρατήρησε ότι η περιβάλλουσα στο φάσμα δεν αλλάζει σχήμα — εξαρτάται μόνο από το σχήμα του ενός παλμού. Αυτό που αλλάζει με το T₀ είναι πόσο πυκνά δειγματοληπτούμε αυτή την περιβάλλουσα. Στο όριο T₀ → ∞, το «δειγματοληψία» γίνεται «συνεχές» — αυτή είναι η μετάβαση από Fourier series σε Fourier transform.

Στο όριο, το άθροισμα της σειράς Fourier γίνεται ολοκλήρωμα, και τα διακριτά $a_{k}$ γίνονται μια συνεχής συνάρτηση συχνότητας: ο μετασχηματισμός Fourier $X (f)$ .

Αυτό είναι το αντικείμενο του επόμενου κεφαλαίου: η γενίκευση της Fourier ανάλυσης από periodic σε οποιοδήποτε σήμα. Και θα δούμε ότι η περίφημη $H (f)$ ενός LTI συστήματος, που εμφανίστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι ακριβώς ο Fourier transform της κρουστικής απόκρισης $h (t)$ .

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις τύπου εξετάσεων. Δοκίμασέ τες πρώτα μόνος σου, μετά αποκάλυψε τη λύση.

Τι μάθαμε

Ένα periodic σήμα μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα από αρμονικά συσχετισμένες complex exponentials (ή ισοδύναμα cosines): $x (t) = \sum_{k} a_{k} e^{j 2 π k f_{0} t}$ με συντελεστές που εξάγονται από: $a_{k} = \frac{1}{T _{0}} \int_{T_{0}} x (t) e^{- j 2 π k f_{0} t} d t$
Το φάσμα του σήματος είναι το σύνολο των $a_{k}$ — διακριτό για periodic σήματα, με αρμονικές μόνο στα $k f_{0}$ . Πλάτη συμμετρικά και φάσεις αντισυμμετρικές γύρω από το 0 (για real signals).
Πίσω από το όλο πράγμα: η ορθογωνιότητα των harmonic exponentials, που μας επιτρέπει να εξάγουμε κάθε συντελεστή ξεχωριστά — όπως ακριβώς εξάγουμε τις συντεταγμένες ενός 3D διανύσματος μέσω εσωτερικού γινομένου με τα unit vectors.
Παράδειγμα-κλειδί: ο τετραγωνικός παλμός 50% έχει $a_{k} = \frac{1}{2} sinc (k /2)$ — μόνο περιττές αρμονικές, με sinc περιβάλλουσα και απόσβεση $1/ k$ .
Στο επόμενο κεφάλαιο: γενίκευση σε μη-περιοδικά σήματα, ο μετασχηματισμός Fourier, και η σύνδεσή του με την κρουστική απόκριση των LTI συστημάτων.

Επόμενο

Fourier transform

Φόρτωση σχολίων…