Σειρές Fourier

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι ένα LTI σύστημα μεταχειρίζεται κάθε συχνότητα ξεχωριστά: ένα cosine συχνότητας $f_0$ μπαίνει, ένα cosine της ίδιας συχνότητας βγαίνει — απλώς με νέο πλάτος και φάση. Πανέμορφο, αλλά πολλά πρακτικά σήματα δεν είναι cosines. Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνουμε να τα γράφουμε σαν άθροισμα cosines, ώστε όλα τα εργαλεία του προηγούμενου κεφαλαίου να ισχύουν παντού.

Το ερώτημα

Πάρε έναν τετραγωνικό παλμό που εναλλάσσεται μεταξύ 0 και 1 με περίοδο 1 ms (δηλαδή 1 kHz). Δεν είναι cosine — έχει ακμές, επίπεδα, ασυνέχειες. Πώς υπολογίζεις τι θα κάνει ένα LTI σύστημα σε ένα τέτοιο σήμα;

Η απάντηση είναι μια από τις πιο όμορφες ιδέες της επιστήμης σημάτων:

Κάθε «λογικό» periodic signal μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα από cosines.

Αν μπορούμε να το γράψουμε έτσι, τότε από γραμμικότητα του LTI συστήματος, η έξοδός του είναι το άθροισμα των εξόδων για κάθε cosine ξεχωριστά — και αυτές τις ξέρουμε. Το cosine περνάει από LTI και βγαίνει με νέο πλάτος και φάση. Άθροισε όλα μαζί και έχεις την πλήρη απόκριση.

Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε ποιες ακριβώς cosines χρειαζόμαστε, με ποια πλάτη και φάσεις, και γιατί δουλεύει.

Ανάλυση και Σύνθεση: ο κύκλος δύο αρχών

Πριν δούμε εξισώσεις, ας πιάσουμε τον κύκλο. Στο slide 21 του session 4 σχεδιάζεται το παρακάτω διάγραμμα:

Δύο αντίστροφες λειτουργίες:

• Ανάλυση — παίρνεις ένα σήμα στον χρόνο και «βγάζεις» τις συχνότητες που περιέχει, με συγκεκριμένα πλάτη και φάσεις. Αυτό είναι το βήμα που μετράει το «πόσο 100 Hz» έχει η ομιλία σου.
• Σύνθεση — παίρνεις μια λίστα από συχνότητες με πλάτη και φάσεις, και φτιάχνεις το σήμα στον χρόνο. Αυτό είναι το βήμα που χρησιμοποιεί κάθε μουσικό synthesizer.

Το υπόλοιπο κεφάλαιο είναι: πώς γίνεται κάθε ένα από τα δύο βέλη μαθηματικά.

Γιατί cosines;

Πριν δούμε πώς, ας ρωτήσουμε γιατί cosines και όχι κάτι άλλο. Δύο λόγοι:

1. Φυσικός. Στη φύση το cosine είναι το «πιο απλό» περιοδικό σήμα. Εμφανίζεται σε εκκρεμή, ταλαντώσεις, ηλεκτρομαγνητικά κύματα — οπουδήποτε υπάρχει επιστροφή σε ισορροπία. Είναι ο φυσικός «δομικός λίθος» του περιοδικού.

2. Μαθηματικός. Όπως μόλις είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, τα LTI συστήματα μεταχειρίζονται τα cosines (πιο τεχνικά: τα complex exponentials) σαν eigenfunctions — απλώς τα πολλαπλασιάζουν με ένα μιγαδικό αριθμό. Δεν αλλάζει το σχήμα τους. Κανένα άλλο σήμα δεν το κάνει αυτό εκτός από complex exponentials.

Συνδυασμένα: τα cosines είναι ταυτόχρονα φυσικός και μαθηματικός δομικός λίθος για το περιοδικό. Είναι λοιπόν φυσικό να ρωτάμε «μπορώ να γράψω οποιοδήποτε periodic signal σαν συνδυασμό από cosines;» — και η απάντηση είναι ναι.

Διαίσθηση από διανύσματα

Πριν κάνουμε Fourier σε σήματα, βοηθάει να σκεφτούμε πρώτα διανύσματα. Η ίδια ιδέα δουλεύει και στα δύο, μόνο που στα διανύσματα την καταλαβαίνουμε ήδη.

Στον τρισδιάστατο χώρο, κάθε σημείο μπορείς να το γράψεις σαν συνδυασμό τριών «βάσεων»:

όπου $\hat{i}=(1,0,0)$, $\hat{j}=(0,1,0)$, $\hat{k}=(0,0,1)$ είναι τα unit vectors στους τρεις άξονες.

Δύο πράγματα κάνουν αυτή τη βάση χρήσιμη:

• Πληρότητα — μπορείς να φτιάξεις οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου από αυτά τα τρία.
• Ορθογωνιότητα — τα τρία διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους ($\hat{i}\cdot \hat{j}=0$ κ.λπ.).

Η ορθογωνιότητα έχει μια πανέμορφη συνέπεια: αν θέλεις να βρεις τον συντελεστή $c_1$ ενός διανύσματος $\vec{v}$, απλά πάρε το εσωτερικό γινόμενο με το $\hat{i}$:

Το $\hat{i}$ «σαρώνει» το $\vec{v}$ και βγάζει μόνο τη συνιστώσα στον x-άξονα. Τα $c_2\hat{j}$ και $c_3\hat{k}$ δεν συνεισφέρουν στο εσωτερικό γινόμενο γιατί $\hat{j}\cdot \hat{i}=0$ και $\hat{k}\cdot \hat{i}=0$.

Σαν αυτή την παρομοίωση θα την ξαναβρούμε σε λίγο, οπότε αξίζει ένας πίνακας:

Το υπόλοιπο κεφάλαιο είναι, βασικά, η μετάφραση αυτού του πίνακα από αριστερά προς τα δεξιά.

Τα harmonic complex exponentials είναι ορθογώνια

Στον κόσμο των σημάτων, το «εσωτερικό γινόμενο» δύο σημάτων $x_1(t)$ και $x_2(t)$ ορίζεται ως:

(Ο συζυγής στο $x_2$ είναι εκεί για να το κάνει συνεπές με μιγαδικά σήματα — αν τα σήματα είναι real, ο συζυγής δεν αλλάζει τίποτα.)

Δύο σήματα είναι ορθογώνια αν αυτό το ολοκλήρωμα είναι μηδέν.

Ο πανέμορφος υπολογισμός. Πάρε δύο complex exponentials με συχνότητες που είναι ακέραια πολλαπλάσια της ίδιας θεμελιώδους συχνότητας $f_0=1/T_0$ (σε πολλές πηγές και στις διαφάνειες του μαθήματος θα δεις τη γραφή με ${\omega }_0=2\pi f_0$ — είναι το ίδιο μέγεθος σε διαφορετικές μονάδες, rad/s αντί για Hz):

• Αν $k=m$: ο integrand είναι $e^{j\cdot 0}=1$, και το ολοκλήρωμα δίνει $T_0$.
• Αν $k\ne m$: ο integrand $e^{j2\pi (k-m)f_{0}t}$ είναι ένα complex exponential που συμπληρώνει $|k-m|$ ακέραιους κύκλους μέσα στο διάστημα $[0,T_0]$. Με Euler γράφεται $\cos (2\pi (k-m)f_{0}t)+j\sin (2\pi (k-m)f_{0}t)$: και το real και το imaginary μέρος είναι ημίτονα, και το ολοκλήρωμα ενός ημιτόνου σε ακέραιο πλήθος κύκλων είναι $0$ (ίσο εμβαδόν πάνω και κάτω από τον άξονα). Άρα μηδενίζονται και τα δύο μέρη — και μαζί τους ολόκληρο το ολοκλήρωμα.

Σε ένα σύμβολο:

όπου ${\delta }_{k,m}$ είναι το Kronecker delta — όχι το Dirac! Είναι απλώς συντομογραφία για «1 αν $k=m$, 0 αλλιώς».

Τα harmonic complex exponentials σχηματίζουν ένα ορθογώνιο σύνολο ακριβώς όπως τα $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ του 3D χώρου, μόνο που είναι άπειρα στον αριθμό (ένα για κάθε ακέραιο $k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$).

Με την ίδια λογική όπως στα διανύσματα: αν μπορούμε να γράψουμε ένα periodic σήμα σαν συνδυασμό από αυτές τις «βάσεις», τότε μπορούμε να βρούμε κάθε συντελεστή με εσωτερικό γινόμενο.

Cosine ↔ exponential: η γέφυρα μεταξύ των δύο γραφών

Πριν περάσουμε στις εξισώσεις της σειράς, αξίζει να σταθούμε σε ένα σημείο που οι διαφάνειες 22 (session 4) και 7 (session 5&6) δουλεύουν ρητά: κάθε real cosine είναι ήδη άθροισμα δύο μιγαδικών εκθετικών. Από Euler:

Δύο πράγματα να προσέξεις:

• Δύο γραμμές, όχι μία. Ένα και μόνο cosine στον χρόνο δίνει δύο γραμμές στη συχνότητα, στα $\pm f$. Όχι σύμπτωση: το complex exponential «ζει» μόνο στη μία πλευρά της συχνότητας, οπότε για να φτιάξουμε ένα πραγματικό σήμα χρειαζόμαστε ζευγάρι.
• Οι συντελεστές είναι μιγαδικοί συζυγείς. Το $\frac{A}{2}{e}^{+j\phi }$ στο $+f$ και το $\frac{A}{2}{e}^{-j\phi }$ στο $-f$ έχουν ίδιο μέτρο ($A/2$) και αντίθετη φάση ($\pm \phi$). Αυτή είναι η «συζυγία των φασόρων» που θα μας δώσει αργότερα τις συμμετρίες του φάσματος.

Για ένα γενικό άθροισμα cosines $x(t)={\sum }_k{A}_k\cos (2\pi f_{k}t+{\phi }_k)$, εφαρμόζεις την παραπάνω για κάθε όρο:

Διάβασέ το «στη συχνότητα»: το $x(t)$ έχει συντελεστή $(A_k/2)e^{+j{\phi }_k}$ στο $+f_k$ και $(A_k/2)e^{-j{\phi }_k}$ στο $-f_k$, για κάθε $k$.

Αυτή η μετατροπή είναι το ακριβώς ίδιο μηχανικό βήμα που θα κάνεις σε κάθε άσκηση σειράς Fourier όπου το σήμα δίνεται ήδη σαν άθροισμα cosines / sines.

Η σειρά Fourier — οι δύο βασικές εξισώσεις

Σύνθεση: από συντελεστές σε σήμα

Με ορθογώνιο σύνολο στα χέρια, ορίζουμε τη σειρά Fourier. Ένα periodic σήμα $x(t)$ με περίοδο $T_0$ μπορεί να γραφτεί σαν:

όπου $f_0=1/T_0$ είναι η θεμελιώδης συχνότητα σε Hz, και τα $a_k$ είναι μιγαδικοί αριθμοί που λέγονται συντελεστές Fourier.

Αυτή είναι η εξίσωση σύνθεσης (slide 28, στο πράσινο πλαίσιο): από τους συντελεστές ξαναχτίζουμε το σήμα. Σε πολική μορφή κάθε $a_k$ έχει δύο πληροφορίες:

• $|a_k|$ — πόσο πολύ της αρμονικής $k$ υπάρχει στο σήμα.
• $\angle a_k$ — σε ποια φάση ξεκινάει η αρμονική $k$.

Ανάλυση: από σήμα σε συντελεστές

Πώς όμως βρίσκουμε τα $a_k$ από το σήμα; Από την ορθογωνιότητα, ίδια λογική με τη διανυσματική απόσπαση συντεταγμένης. Πάρε το εσωτερικό γινόμενο του $x(t)$ με το $e^{j2\pi m{f}_{0}t}$:

Αντικατέστησε το $x(t)$ από τη σύνθεση και βγάλε το άθροισμα έξω από το ολοκλήρωμα:

Από την ορθογωνιότητα, όλα τα ολοκληρώματα είναι 0 εκτός από το $k=m$, που δίνει $T_0$. Άρα μένει ένας μόνο όρος:

Λύνοντας ως προς $a_m$ (και αλλάζοντας το $m$ σε $k$ για συνέπεια):

Αυτή είναι η εξίσωση ανάλυσης (slide 30, πράσινο πλαίσιο): από το σήμα παίρνουμε τους συντελεστές. Πρόσεξε ότι το ολοκλήρωμα μπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε διάστημα μήκους $T_0$ — όχι απαραίτητα $0$ έως $T_0$. Το σήμα είναι περιοδικό, οπότε όλα τα διαστήματα μήκους $T_0$ δίνουν την ίδια τιμή. Στην πράξη συχνά διαλέγουμε $-T_0/2$ έως $T_0/2$ γιατί τα συμμετρικά όρια απλοποιούν τα even/odd argument.

Σχέση μεταξύ μιγαδικής και cosine μορφής

Έχουμε χτίσει τη σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή — ένα καθαρό άθροισμα με μιγαδικούς συντελεστές $a_k$. Είναι ιδανική για υπολογισμούς: ένας τύπος, εύκολα ολοκληρώματα, η ορθογωνιότητα δουλεύει αμέσως. Έχει όμως δύο «αφύσικα» χαρακτηριστικά — οι συντελεστές είναι μιγαδικοί (δεν «βλέπεις» έναν μιγαδικό αριθμό σε έναν παλμογράφο) και υπάρχουν αρνητικές συχνότητες.

Η cosine μορφή είναι το ακριβώς αντίθετο: κάθε όρος είναι μια αληθινή ταλάντωση $A_k\cos (2\pi k{f}_{0}t+{\varphi }_k)$ με πραγματικό πλάτος $A_k$ (πόσο δυνατά ακούγεται η αρμονική) και πραγματική φάση ${\varphi }_k$ (πότε κάνει peak), με μόνο θετικά $k$. Είναι η μορφή που «βλέπει» ένα όργανο, ένας synthesizer, το αυτί σου.

Οι δύο μορφές:

Μιγαδική — μιγαδικοί $a_k$, άθροισμα σε όλα τα $k$ (θετικά και αρνητικά):

Πραγματική (cosine) — πραγματικά πλάτη $A_k\ge 0$ και φάσεις ${\varphi }_k$, μόνο $k\ge 1$ συν τη DC:

Στόχος: να δείξουμε γιατί είναι ισοδύναμες (για real σήματα) και πώς περνάς από τη μία στην άλλη.

Γιατί ένα άθροισμα μιγαδικών βγαίνει πραγματικό. Κάθε όρος $a_k{e}^{j2\pi k{f}_{0}t}$ είναι μιγαδικός — έχει imaginary μέρος. Για να βγει το συνολικό άθροισμα πραγματικό σε κάθε στιγμή $t$, τα imaginary μέρη πρέπει να αλληλοαναιρούνται. Ο μόνος τρόπος: ο όρος στο $-k$ να είναι ο μιγαδικός συζυγής του όρου στο $+k$ — ίδιο μέτρο, αντίθετη φάση. Τότε τα imaginary κομμάτια είναι ίσα κι αντίθετα και σβήνουν, ενώ τα real κομμάτια προστίθενται. Αυτό επιβάλλει τη συζυγή συμμετρία $a_{-k}=a_k^{\ast }$ (για real $x(t)$).

Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε τη συμμετρία $a_{-k}=a_k^{\ast }$. Τη συναντάμε ξανά σαν συμμετρία του φάσματος (άρτιο μέτρο, περιττή φάση) στην ενότητα «Συμμετρίες ±f» παρακάτω, και την αποδεικνύουμε γενικά — για κάθε real σήμα, ως $X(-f)=X^{\ast }(f)$ — στο κεφάλαιο του Fourier transform.

Η μετατροπή: ένα ζευγάρι $\pm k$ γίνεται ένα cosine. Πάρε τους όρους $+k$ και $-k$ μαζί (για $k\ge 1$). Γράψε τον συντελεστή σε πολική μορφή, $a_k=|a_k|e^{j\angle a_k}$, οπότε $a_{-k}=a_k^{\ast }=|a_k|e^{-j\angle a_k}$. Τότε:

όπου το τελευταίο βήμα είναι η ταυτότητα $e^{j\theta }+e^{-j\theta }=2\cos \theta$ — η σχέση του §«Cosine ↔ exponential» διαβασμένη ανάποδα. Σε απλά λόγια: τα δύο συζυγή «καρφιά» στα $+k$ και $-k$ καταρρέουν σε ένα πραγματικό cosine. Διαβάζοντας πλάτος και φάση από το αποτέλεσμα: $A_k=2|a_k|$ και ${\varphi }_k=\angle a_k$.

Ο όρος $k=0$ (η DC) ξεχωριστά. Ο $a_0$ δεν έχει ζευγάρι — το $-0$ είναι το ίδιο το $0$. Από τη συμμετρία $a_0=a_0^{\ast }$, ο $a_0$ είναι πραγματικός· και βάζοντας $k=0$ στην εξίσωση ανάλυσης, το εκθετικό γίνεται $1$:

δηλαδή ο μέσος όρος του σήματος σε μία περίοδο — η DC συνιστώσα. (Ο όρος «DC», από το direct current, και το γιατί ισούται με τον μέσο όρο, εξηγούνται στο foundations/signals §«DC και RMS».) Επειδή είναι μία μόνη γραμμή στο $f=0$, χωρίς ζευγάρι, δεν διπλασιάζεται: $A_0=a_0$.

Το λεξικό μετατροπής — δουλεύει και προς τις δύο κατευθύνσεις:

Πάμε σε νούμερα — η μετατροπή είναι πάντα το ίδιο μηχανικό βήμα, αλλά αξίζει να το κάνεις μία φορά αναλυτικά:

Sine ↔ cosine χωρίς αποστήθιση — ο μοναδιαίος κύκλος. Το «$+\frac{\pi }{2}$ για το $-\sin$» δεν χρειάζεται να το θυμάσαι· ξαναβγαίνει σε δευτερόλεπτα από έναν κύκλο που σχεδιάζεις στο περιθώριο. Συμφωνία (η ίδια με τους phasors): γράφουμε τα πάντα ως $\cos (\theta +\varphi )$ και το φανταζόμαστε σαν ένα βελάκι που στο $\theta =0$ δείχνει σε γωνία $\varphi$· η οριζόντια προβολή του δίνει την τιμή, και θετική $\varphi$ σημαίνει «στρίψε αριστερόστροφα». Οι τέσσερις βάσεις κάθονται στα τέσσερα σημεία του ορίζοντα:

• Δεξιά, $\varphi =0$: η προβολή είναι μέγιστη ($1$) στο $\theta =0$ → είναι το $\cos \theta$. Η αφετηρία.
• Πάνω, $\varphi =+\frac{\pi }{2}$: η προβολή ξεκινά στο $0$ και πέφτει (το βελάκι, στρίβοντας αριστερόστροφα, φεύγει προς τα αριστερά) → ξεκινά στο $0$ κατεβαίνοντας = $-\sin \theta$. Άρα $-\sin \theta =\cos (\theta +\frac{\pi }{2})$.
• Κάτω, $\varphi =-\frac{\pi }{2}$: η προβολή ξεκινά στο $0$ και ανεβαίνει → $+\sin \theta =\cos (\theta -\frac{\pi }{2})$.
• Αριστερά, $\varphi =\pm \pi$: η προβολή ξεκινά στο $-1$ → $-\cos \theta =\cos (\theta +\pi )$.

Για να μετατρέψεις οτιδήποτε σε μορφή $\cos (\theta +\varphi )$: βρες σε ποιο σημείο «κάθεται» (πού δείχνει το βελάκι στο $\theta =0$) και διάβασε τη γωνία — αυτή είναι η φάση $\varphi$. Στρίψε τον τροχό παρακάτω, ή πάτησε «Περιστροφή» για να δεις την προβολή να «γράφει» την κυματομορφή:

Σε αυτό το κεφάλαιο δουλεύουμε κυρίως στη μιγαδική μορφή (καθαρότερα ολοκληρώματα), αλλά οι ασκήσεις ζητούν συχνά τη cosine μορφή για να διαβάσεις πλάτος/φάση κάθε αρμονικής — γι' αυτό θέλεις να περνάς αβίαστα από τη μία στην άλλη. Ξαναδές το διαδραστικό «Δύο συζυγείς phasors» πιο πάνω σε αυτή την ενότητα: άλλαξε το $|a_k|$ ή τη φάση $\angle a_k$ και δες το ζευγάρι $a_{\pm k}$ να συνθέτει ένα και μόνο πραγματικό cosine.

Φάσμα: το σήμα στο frequency domain

Κάθε συντελεστής $a_k$ είναι μιγαδικός με μέτρο $|a_k|$ και φάση $\angle a_k$. Αν τα σχεδιάσουμε σε διάγραμμα ως προς τη συχνότητα $f=k{f}_0=k/T_0$, παίρνουμε δύο plots — μαζί λέγονται το φάσμα του σήματος.

Φάσμα πλάτους

Το φάσμα πλάτους (amplitude spectrum) δείχνει $|a_k|$ έναντι $f$. Δύο πράγματα προσέξτε αμέσως:

1. Το φάσμα είναι discrete (διακριτό): σπικς μόνο σε ακέραια πολλαπλάσια του $f_0$ (δηλαδή $0,\pm f_0,\pm 2f_0,\dots$). Δεν υπάρχει σήμα μεταξύ των αρμονικών. Αυτό είναι φυσικό: ένα periodic σήμα έχει μόνο αρμονικά συσχετισμένες συχνότητες, τίποτα ενδιάμεσα.
2. Το φάσμα έχει και αρνητικές συχνότητες. Αυτό προκύπτει μαθηματικά από την exponential μορφή — το $e^{j2\pi ft}$ και το $e^{-j2\pi ft}$ μαζί κάνουν ένα cosine. Δεν υπάρχει «αρνητική φυσική συχνότητα», απλά ένας μαθηματικός λογαριασμός. (Πιο αναλυτική συζήτηση + η εναλλακτική σύμβαση «one-sided» που δείχνει μόνο $f\ge 0$: reference/spectrum-conventions.)

Φάσμα φάσης

Το φάσμα φάσης (phase spectrum) δείχνει $\angle a_k$ έναντι $f$. Είναι λιγότερο διαισθητικό αλλά εξίσου σημαντικό. Λέει «πότε ξεκινάει» κάθε αρμονική στο σήμα.

• Αν όλες οι φάσεις είναι 0, οι αρμονικές «ευθυγραμμίζονται» και πετυχαίνουν peak μαζί στο $t=0$.
• Αν οι φάσεις διαφέρουν, οι αρμονικές δεν ευθυγραμμίζονται, και το σχήμα του σήματος αλλάζει — ακόμα και αν τα πλάτη παραμένουν τα ίδια.

Αυτό είναι κρίσιμο για να καταλάβεις γιατί το φάσμα φάσης δεν είναι «λιγότερο σημαντικό» από το φάσμα πλάτους. Αλλάζοντας μόνο τις φάσεις μπορείς να μετατρέψεις ένα τετράγωνο σε σχεδόν τίποτα.

Συμμετρίες ±f για real signals

Παρατήρησε στους τύπους του φάσματος μια συμμετρία που εμφανίζεται όταν το σήμα είναι real:

• Το φάσμα πλάτους $|a_k|$ είναι άρτια συνάρτηση: $|a_{-k}|=|a_k|$.
• Το φάσμα φάσης $\angle a_k$ είναι περιττή συνάρτηση: $\angle a_{-k}=-\angle a_k$.

Δηλαδή τα πλάτη είναι κατοπτρικά και οι φάσεις αντισυμμετρικά γύρω από το $f=0$. Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα conjugate symmetry: για real $x(t)$, ισχύει $a_{-k}=a_k^{\ast }$. Ο συζυγής σημαίνει ίδιο μέτρο, αντίθετη φάση — εξ ου η συμμετρία.

Γι' αυτό σε πολλά διαγράμματα φάσματος σχεδιάζουμε μόνο το θετικό μισό (η λεγόμενη «one-sided» σύμβαση — δες reference/spectrum-conventions για το πότε χρησιμοποιείται και πώς μετατρέπεις ανάμεσα στις δύο) — το αρνητικό μισό είναι απλά ο μιγαδικός συζυγής. Δεν χάνουμε πληροφορία.

Parseval — η ισχύς μιας σειράς Fourier

Μόλις είδαμε ότι το φάσμα ενός periodic σήματος είναι το σύνολο των συντελεστών $a_k$ (ή ισοδύναμα των πλατών $A_k$). Φυσικό επόμενο ερώτημα: πόση ισχύ κουβαλάει το σήμα — και μπορώ να τη διαβάσω κατευθείαν από το φάσμα; Η απάντηση είναι ναι, και είναι αφοπλιστικά απλή: κάθε αρμονική βάζει τη δική της ισχύ στο τραπέζι, και η ολική ισχύς είναι απλώς το άθροισμά τους.

Το αποτέλεσμα

Για ένα real periodic σήμα γραμμένο στην cosine μορφή (αυτήν που είδαμε στο §«Σχέση μεταξύ μιγαδικής και cosine μορφής»):

η μέση ισχύς του είναι:

Σε απλά λόγια: η DC συνιστώσα βάζει $A_0^2$ (είναι σταθερά — η ισχύς της είναι σκέτο το τετράγωνό της), και κάθε αρμονική πλάτους $A_k$ βάζει $A_k^2/2$ — ακριβώς η ισχύς ενός μεμονωμένου cosine που υπολογίσαμε στο foundations/signals §«Ενέργεια και Ισχύς» ($P=A^2/2$ για κάθε cosine). Καμία αρμονική δεν «βλέπει» τις άλλες· η καθεμία συνεισφέρει σαν να ήταν μόνη της.

Στην πιο συχνή εξεταστική περίπτωση — άθροισμα τόνων σε διαφορετικές συχνότητες, χωρίς DC — ο τύπος γίνεται ακόμα πιο λιτός:

Από πού προκύπτει

Δεν χρειάζεται να το αποστηθίσεις — βγαίνει σε τέσσερα βήματα από πράγματα που ήδη έχουμε αποδείξει:

1. Ισχύς = μέσος όρος του τετραγώνου. Εξ ορισμού (από το foundations/signals), η μέση ισχύς ενός periodic σήματος είναι ο μέσος όρος του $x^2(t)$ πάνω σε μία περίοδο: ${\mathcal{P}}_x=\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}{x}^2(t)dt.$

2. Άνοιξε το τετράγωνο. Βάζοντας μέσα τη σειρά $x(t)=A_0+{\sum }_{k\ge 1}{A}_k\cos (2\pi k{f}_{0}t+{\varphi }_k)$ και υψώνοντας στο τετράγωνο, εμφανίζονται τρία είδη όρων: το $A_0^2$, τα διαγώνια τετράγωνα $A_k^2{\cos }^2(\cdot )$, και οι διασταυρούμενοι όροι — γινόμενα δύο διαφορετικών αρμονικών (ή DC × αρμονική).

3. Οι διασταυρούμενοι όροι σβήνουν. Ο μέσος όρος, σε μία περίοδο, του γινομένου δύο διαφορετικών αρμονικών είναι μηδέν — αυτό ακριβώς λέει η ορθογωνιότητα από την ενότητα «Τα harmonic complex exponentials είναι ορθογώνια». (Ομοίως, DC × οποιαδήποτε αρμονική: ο μέσος όρος ενός σκέτου cosine σε μία περίοδο είναι κι αυτός μηδέν.) Όλοι οι διασταυρούμενοι όροι εξαφανίζονται — κανένα ζευγάρι αρμονικών δεν αφήνει αποτύπωμα στην ισχύ.

4. Μένουν μόνο τα διαγώνια. Ο μέσος όρος του $A_0^2$ είναι $A_0^2$. Ο μέσος όρος του $A_k^2{\cos }^2(2\pi k{f}_{0}t+{\varphi }_k)$ είναι $A_k^2/2$ — η per-tone ισχύς που βγάλαμε στο foundations/signals (το ${\cos }^2$ έχει μέσο όρο $\frac{1}{2}$ πάνω σε μία περίοδο).

Άθροισε ό,τι επέζησε:

Ο μόνος λόγος που το αποτέλεσμα είναι τόσο απλό — σκέτο άθροισμα — είναι η ορθογωνιότητα: αυτή σκοτώνει κάθε διασταυρούμενο όρο που αλλιώς θα μπέρδευε τις αρμονικές μεταξύ τους.

Πότε το πιάνεις στις εξετάσεις: μόλις δεις «βρείτε την ισχύ του $A\cos (2\pi f_{1}t)+B\sin (2\pi f_{2}t)+C\cos (2\pi f_{3}t)$» με διαφορετικές συχνότητες, μην υψώνεις στο τετράγωνο και ολοκληρώνεις — απλώς πρόσθεσε $\frac{A^2}{2}+\frac{B^2}{2}+\frac{C^2}{2}$. (Μία μόνο παγίδα: αν δύο όροι έχουν την ίδια συχνότητα, πρώτα ένωσέ τους σε έναν cosine, αλλιώς δεν είναι ορθογώνιοι και ο κανόνας «οι ισχύες προστίθενται» δεν ισχύει.)

Παράδειγμα: rectangular pulse train (η εμφάνιση του sinc)

Αρκετή θεωρία — ώρα για έναν συγκεκριμένο υπολογισμό. Στο slide 9 του session 5&6 αυτή η περίπτωση λύνεται ως «Παράδειγμα 1 (2.10 του βιβλίου)». Ας υπολογίσουμε τη σειρά Fourier ενός τετραγωνικού παλμικού σήματος (square wave 50% duty cycle):

και περιοδικό με περίοδο $T_0$.

Από την εξίσωση ανάλυσης (διαλέγουμε το διάστημα $[-T_0/2,T_0/2]$):

Επειδή το $x(t)$ είναι μη-μηδενικό μόνο για $|t|<T_0/4$, το ολοκλήρωμα μειώνεται σε:

Από Euler, $e^{-j2\pi k{f}_{0}t}=\cos (2\pi k{f}_{0}t)-j\sin (2\pi k{f}_{0}t)$. Το integrand $\cos$ είναι άρτια συνάρτηση του $t$, το $\sin$ είναι περιττή — και τα όρια είναι συμμετρικά γύρω από το 0. Άρα το ολοκλήρωμα του $\sin$ μηδενίζεται και μένει:

Με $f_0=1/T_0$ έχουμε $2\pi k{f}_0\cdot (T_0/4)=k\pi /2$:

Παρατηρώντας ότι $\frac{\sin (k\pi /2)}{k\pi /2}=\mathrm{sinc}(k/2)$ (όπου $\mathrm{sinc}(x)=\sin (\pi x)/(\pi x)$), παίρνουμε:

Τρία πράγματα να προσέξεις στο αποτέλεσμα (και μια ακόμα παγίδα):

• $a_0=1/2$. Λογικό: ο παλμός είναι 1 για το μισό της περιόδου και 0 για το άλλο μισό, άρα ο μέσος όρος του είναι $1/2$. Ο $a_0$ είναι πάντα ο μέσος όρος (DC).
• $a_k=0$ για άρτιο $k\ne 0$, γιατί το $\mathrm{sinc}$ μηδενίζεται σε ακέραια non-zero values. Δηλαδή ο τετραγωνικός παλμός 50% δεν περιέχει καθόλου άρτιες αρμονικές.
• $|a_k|$ φθίνει σαν $1/k$ για περιττά $k$. Οι αρμονικές γίνονται πιο αδύνατες όσο αυξάνεται η συχνότητα. Η περιβάλλουσα του φάσματος είναι το $\mathrm{sinc}$.
• Στις άρτιες $k$ η φάση δεν ορίζεται. Όπου $|a_k|=0$, η γωνία $\angle a_k$ είναι μη-καθορισμένη (καμία φασματική γραμμή για να της δώσεις φάση). Το slide 10 του session 5&6 το σημειώνει ρητά («Φάσμα φάσης δεν ορίζεται για 2kf»). Στην πράξη το αφήνεις κενό ή σχεδιάζεις μόνο τις θέσεις όπου υπάρχει μη-μηδενικό πλάτος.

Η γενική μορφή — και πώς ταιριάζει εδώ. Αυτό που μόλις λύσαμε είναι μια ειδική περίπτωση ενός γενικού τύπου. Για οποιονδήποτε rectangular pulse train ύψους $A$, διάρκειας παλμού $\tau$ και περιόδου $T_0$:

Δεν ξανακάνεις το ολοκλήρωμα — διαβάζεις τρία μεγέθη από το σήμα και αντικαθιστάς: το ύψος $A$, τη διάρκεια $\tau$ (πόσο χρόνο είναι «on» ο παλμός μέσα σε μία περίοδο) και την περίοδο $T_0$.

Ας το ελέγξουμε στο δικό μας παράδειγμα: εδώ $A=1$, ο παλμός είναι «on» για το μισό της περιόδου (από $-T_0/4$ ως $+T_0/4$), άρα $\tau =T_0/2$, και η περίοδος είναι $T_0$. Αντικαθιστώντας:

οπότε $a_k=\frac{1}{2}\mathrm{sinc}(k/2)$ — ακριβώς το πλαισιωμένο αποτέλεσμα παραπάνω. Ο γενικός τύπος δεν λέει κάτι καινούργιο· απλώς σου γλιτώνει το ολοκλήρωμα την επόμενη φορά. (Π.χ. αν ο ίδιος παλμός ήταν «on» μόνο το $1/4$ της περιόδου, θα έβαζες $\tau =T_0/4$ και ο συντελεστής $\frac{A\tau }{T_0}$ θα γινόταν $1/4$, με sinc argument $k/4$.)

Σύρε τη διάρκεια $\tau$ και το πλάτος $A$ στο διαδραστικό «Παλμοσειρά → sinc» πιο κάτω για να δεις τον κανόνα ζωντανά: στενότερος παλμός → πλατύτερο sinc (τα μηδενικά απομακρύνονται, περισσότερες αρμονικές μετράνε), ενώ ο μέσος όρος είναι πάντα $a_0=A\tau /T_0$.

Αυτή είναι η πρώτη φορά που ένα periodic σήμα στον χρόνο δίνει sinc στο φάσμα, και δεν θα είναι η τελευταία. Στο επόμενο κεφάλαιο θα δούμε ότι rectangular pulse ↔ sinc είναι ένα από τα πιο σημαντικά Fourier transform pairs — και θα προκύψει ως η συνεχής εκδοχή ακριβώς αυτού που είδαμε εδώ.

Ο τετραγωνικός παλμός χτίζεται μπροστά μας

Ώρα για το πιο όμορφο visualization αυτού του κεφαλαίου: να δούμε τον τετραγωνικό παλμό να χτίζεται μπροστά στα μάτια μας, αρμονική μετά από αρμονική.

Στο παρακάτω demo ξεκινάς με $N=0$ αρμονικές (μόνο τη DC συνιστώσα — ο μέσος όρος, ένα επίπεδο 1/2) και προσθέτεις σταδιακά αρμονικές. Παρατήρησε:

1. Με την 1η αρμονική μόνο, το αποτέλεσμα είναι ένα cosine. Δεν είναι τετράγωνο, αλλά αρχίζει να μυρίζει σωστά — έχει ήδη πιάσει το «πάνω-κάτω».
2. Προσθέτοντας περιττές αρμονικές ($k=3,5,7,\dots$), οι ακμές γίνονται πιο απότομες και τα οριζόντια μέρη πιο επίπεδα. Άρτιες αρμονικές δεν προστίθενται καθόλου — είναι ήδη μηδέν, όπως είδαμε.
3. Με πολλές αρμονικές, το αποτέλεσμα είναι σχεδόν τέλειο τετράγωνο — εκτός από κάτι μικρά «αυτάκια» στις άκρες, που λέγονται Gibbs phenomenon και δεν φεύγουν ποτέ τελείως. Απλώς γίνονται πιο στενά.

Η σειρά Fourier παύει να είναι ένας τύπος που αποστηθίζεις από μνήμη. Είναι ένας τρόπος να συνθέσεις σήματα από μέσα προς τα έξω, με συστατικά που έχουν συγκεκριμένη φυσική σημασία (πλάτος, φάση, συχνότητα) και που κανονικά είναι αόρατα — αλλά που εκεί, σε αυτό το viz, τα βλέπεις να συνεργάζονται.

LTI σε periodic σήμα — κάθε αρμονική ξεχωριστά

Φτάνουμε στη στιγμή που η σειρά Fourier κάνει το κεφάλαιο των LTI συστημάτων απλό. Το slide 5 του session 5&6 το δείχνει με ένα και μόνο block diagram:

Δηλαδή: ένα single μιγαδικό εκθετικό περνάει αναλλοίωτο μέσα από το LTI — απλώς το πλάτος γίνεται $|H(f_0)|\cdot A$ και η φάση μετατοπίζεται κατά $\angle H(f_0)$. Αυτή είναι η eigenfunction property από το προηγούμενο κεφάλαιο.

Τώρα συνδυάζουμε με τη σειρά Fourier. Αν το σήμα είναι periodic:

(από γραμμικότητα του LTI: η απόκριση σε άθροισμα = άθροισμα αποκρίσεων).

Με μία λέξη: στο πεδίο της συχνότητας, το LTI πολλαπλασιάζει κάθε συντελεστή Fourier $a_k$ ξεχωριστά με το $H(k{f}_0)$. Κάθε αρμονική «βλέπει» το σύστημα ξεχωριστά. Οι νέοι συντελεστές είναι:

Το παρακάτω διαδραστικό δείχνει ακριβώς αυτόν τον πολλαπλασιασμό ανά αρμονική: διάλεξε ένα σήμα και ένα σύστημα $H$, και δες κάθε συντελεστή εισόδου $a_k$ να γίνεται $b_k=a_k\cdot |H(k{f}_0)|$, και την κυματομορφή της εξόδου να αλλάζει.

Τα συστήματα εδώ είναι τα πρώτα μας φίλτρα — συστήματα φτιαγμένα να αφήνουν κάποιες συχνότητες να περάσουν και να κόβουν άλλες. Θα τα δούμε κανονικά (με ονόματα, σχεδιασμό και αποδείξεις) στο κεφάλαιο των φίλτρων· εδώ τα χρησιμοποιούμε απλώς σαν ζωντανό παράδειγμα του $b_k=a_{k}H(k{f}_0)$. Για τώρα φτάνουν δύο όροι:

• LPF (lowpass filter, «βαθυπερατό»): αφήνει να περάσουν οι χαμηλές συχνότητες και αποδυναμώνει τις υψηλές.
• cutoff $f_c$: η συχνότητα-σύνορο του φίλτρου — χονδρικά, εκεί που περνάει από «αφήνω» σε «κόβω». Κάτω από το $f_c$ έχουμε $|H(f)|\approx 1$ (η αρμονική περνάει σχεδόν ανέπαφη)· αρκετά πάνω από το $f_c$ έχουμε $|H(f)|\to 0$ (η αρμονική σβήνει).

Ρίξε λοιπόν το cutoff $f_c$ ενός LPF και δες τις υψηλές αρμονικές να «σβήνουν» μία-μία: μόλις η συχνότητα μιας αρμονικής $k{f}_0$ ξεπεράσει το $f_c$, ο πολλαπλασιαστής της $|H(k{f}_0)|$ πέφτει προς το 0 — άρα και το $b_k$. Η έξοδος γίνεται πιο «λεία», γιατί έχασε ακριβώς τις γρήγορες λεπτομέρειες (τις υψηλές αρμονικές).

Αυτή η ιδέα γενικεύεται σε όλα τα σήματα (όχι μόνο periodic) μέσω του μετασχηματισμού Fourier στο επόμενο κεφάλαιο.

Η γέφυρα προς τον Fourier transform

Η σειρά Fourier δουλεύει για periodic σήματα. Αλλά τα πιο πολλά σήματα στην πράξη — μια εκφώνηση, ένας παλμός, μια μετάδοση δεδομένων — δεν είναι ακριβώς periodic.

Τι γίνεται τότε;

Ιδέα: ένα μη-περιοδικό σήμα μπορούμε να το σκεφτούμε σαν περιοδικό με άπειρη περίοδο. Καθώς το $T_0\to \infty$:

• Η θεμελιώδης συχνότητα $f_0=1/T_0\to 0$.
• Οι αρμονικές $k{f}_0$ έρχονται ολοένα και πιο κοντά μεταξύ τους — το διακριτό φάσμα πυκνώνει.
• Στο όριο οι γραμμές είναι τόσο πυκνές που το φάσμα μοιάζει με μια συνεχή καμπύλη.

Αυτή η συνεχής καμπύλη είναι ο μετασχηματισμός Fourier $X(f)$. Εδώ δεν χρειάζεται τίποτα παραπάνω — κράτα μόνο τη μεγάλη εικόνα: διακριτό φάσμα → συνεχές φάσμα.

Αυτό είναι το αντικείμενο του επόμενου κεφαλαίου: η γενίκευση της Fourier ανάλυσης από periodic σε οποιοδήποτε σήμα. Και θα δούμε ότι η περίφημη $H(f)$ ενός LTI συστήματος, που εμφανίστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι ακριβώς ο Fourier transform της κρουστικής απόκρισης $h(t)$.

Ανακάλεσε — δες τι μένει χωρίς να γυρίσεις πίσω

Τα κύρια εργαλεία της σειράς Fourier είναι όλα στα χέρια σου — ορθογωνιότητα, δύο εξισώσεις, cosine ↔ exponential, συμμετρίες, LTI ξεχωριστά ανά αρμονική. Πριν περάσουμε στη φάση «αναγνώρισε» και στις ασκήσεις, έλεγξε πόσο έχει εμπεδωθεί με τα τρία drills παρακάτω. Δοκίμασέ τα πριν ανοίξεις την απάντηση.

Πώς θα το αναγνωρίσεις στις εξετάσεις

Εξάσκηση

Έξι ερωτήσεις τύπου εξετάσεων. Δοκίμασέ τες πρώτα μόνος σου, μετά αποκάλυψε τη λύση.