Συστήματα

Στο προηγούμενο κεφάλαιο μάθαμε να αναγνωρίζουμε σήματα. Σε αυτό μαθαίνουμε τι τους κάνουμε: ένα σύστημα παίρνει σήμα είσοδο και βγάζει σήμα έξοδο. Στόχος μέχρι το τέλος: να καταλάβεις βαθιά μία πράξη — τη συνέλιξη — και ένα αποτέλεσμα — ότι κάθε complex exponential (και άρα κάθε cosine) που περνάει από LTI σύστημα βγαίνει ίδιο σχήμα, απλά πολλαπλασιασμένο με έναν μιγαδικό αριθμό $H(f_0)$. Αυτά τα δύο είναι το «κλειδί» για όλη τη Fourier θεωρία που έρχεται.

Τι είναι ένα σύστημα;

Στην πιο απλή του μορφή:

Ένα σύστημα είναι ένα κουτί που παίρνει στην είσοδο ένα σήμα και βγάζει στην έξοδο ένα άλλο σήμα.

Συμβολικά γράφουμε $y(t)=S\{x(t)\}$ — «το σύστημα $S$, με είσοδο $x(t)$, παράγει $y(t)$».

Properties που μας ενδιαφέρουν

Από όλα τα πιθανά συστήματα στον κόσμο, υπάρχουν δύο ιδιότητες που τα κάνουν ξαφνικά τρομερά εργαλεία: γραμμικότητα και χρονική αμεταβλητότητα. Τα συστήματα που έχουν και τις δύο λέγονται LTI (Linear Time-Invariant), στα Ελληνικά ΓΧΑ (Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο). Όλο το υπόλοιπο μάθημα στηρίζεται σε αυτά.

Γραμμικότητα

Ένα σύστημα είναι γραμμικό όταν ικανοποιεί την αρχή της υπέρθεσης:

Σε απλά Ελληνικά: «αν δώσεις στο σύστημα ένα άθροισμα σημάτων, η έξοδος είναι το άθροισμα των εξόδων που θα έπαιρνες αν τα έδινες ένα-ένα.»

Πώς το ελέγχεις — το test της υπέρθεσης. Παίρνεις μια σύνθετη είσοδο $a_1{x}_1(t)+a_2{x}_2(t)$ με αυθαίρετα $a_1,a_2$ και αυθαίρετα σήματα $x_1,x_2$, και φτιάχνεις δύο εκδοχές της εξόδου:

• Δρόμος 1 — βάζω τον συνδυασμό μέσα, μετά εφαρμόζω το σύστημα: υπολόγισε $S\{a_1{x}_1+a_2{x}_2\}$ απευθείας.
• Δρόμος 2 — περνάω καθένα χωριστά, μετά τα συνδυάζω στην έξοδο: υπολόγισε $a_{1}S\{x_1\}+a_{2}S\{x_2\}$.
• Σύγκριση. Αν οι δύο εκφράσεις βγαίνουν ίδιες για κάθε επιλογή $a_1,a_2,x_1,x_2$ → γραμμικό. Αν βρεις έστω μία επιλογή που διαφέρουν → μη γραμμικό.

Παράδειγμα — σύστημα που είναι γραμμικό (αλλά όχι TI!). Έστω $y(t)=tx(t)$ — το ίδιο σύστημα που μόλις είδαμε ότι δεν είναι TI. Είναι όμως γραμμικό· ο συντελεστής $t$ είναι «γυμνός», δεν αλλοιώνει το $x$.

Παράδειγμα — σύστημα που δεν είναι γραμμικό. Έστω $y(t)=x^2(t)$ (τετραγωνιστής). Δύναμη του $x$ — κόκκινη σημαία. Δοκίμασέ το, μετά άνοιξε τον έλεγχο.

Παίξε με την υπέρθεση ζωντανά: διάλεξε σύστημα· αριστερά είναι ο Δρόμος 1 ($S\{a_1{x}_1+a_2{x}_2\}$), δεξιά ο Δρόμος 2 ($a_{1}S\{x_1\}+a_{2}S\{x_2\}$). Αν οι δύο καμπύλες συμπίπτουν, το σύστημα είναι γραμμικό. (Το $y=5x+3$ δείχνει την παγίδα του offset, το $y=3x^2$ τον τετραγωνιστή παραπάνω.)

Χρονική αμεταβλητότητα

Ένα σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο (time-invariant) όταν, αν καθυστερήσεις την είσοδο, η έξοδος είναι ίδια — απλώς καθυστερημένη κατά το ίδιο:

Σε απλά Ελληνικά: «το σύστημα συμπεριφέρεται το ίδιο όποτε κι αν του δώσεις το σήμα. Η σχέση input→output δεν εξαρτάται από τον χρόνο.»

Αν πεις «γεια» στο μικρόφωνο στις 10:00 ή στις 14:00, η ηχογράφηση ακούγεται ίδια — απλώς κάθεται σε άλλο σημείο του χρόνου. Αυτό είναι TI. Αντίθετα, ένα σύστημα όπως $y(t)=t\cdot x(t)$ πολλαπλασιάζει το σήμα με τον τρέχοντα χρόνο — όσο αργότερα δίνεις την είσοδο, τόσο μεγαλύτερη είναι η έξοδος. Όχι TI.

Πώς το ελέγχεις — η μέθοδος των δύο δρόμων. Το TI ρωτάει στην ουσία: «καθυστέρηση πριν το σύστημα δίνει το ίδιο με καθυστέρηση μετά το σύστημα;». Φτιάχνεις λοιπόν δύο εκδοχές της εξόδου για μια καθυστερημένη είσοδο $x(t-t_0)$ και τις συγκρίνεις:

• Δρόμος 1 — καθυστερώ την είσοδο, ύστερα περνάω από το σύστημα. Κανόνας: σε κάθε εμφάνιση του $x$ μέσα στον ορισμό, αφαίρεσε $t_0$ από το όρισμά του. Τα γυμνά $t$ και οι σταθεροί συντελεστές μένουν ως έχουν. Αυτό είναι η πραγματική έξοδος, $y_1(t)$.
• Δρόμος 2 — περνάω από το σύστημα, ύστερα καθυστερώ την έξοδο. Παίρνεις την κανονική έξοδο $y(t)$ και βάζεις παντού $t\to t-t_0$ (στα $x$ και στα γυμνά $t$). Αυτό είναι η έξοδος αν το σύστημα ήταν TI, $y_2(t)=y(t-t_0)$.
• Σύγκριση. Αν $y_1(t)=y_2(t)$ για κάθε $t_0$ → TI. Αν βρεις έστω ένα $t_0$ όπου διαφέρουν → όχι TI.

Παράδειγμα — σύστημα που είναι TI. Έστω $y(t)=x(t)-x(t-1)$· ένας «ανιχνευτής μεταβολής» που βγάζει πόσο άλλαξε το σήμα μέσα σε 1 δευτερόλεπτο. Μόνο ολισθήσεις του $x$, κανένα γυμνό $t$ — ας το επιβεβαιώσουμε.

Παράδειγμα — σύστημα που δεν είναι TI. Έστω $y(t)=x(2t)$· συμπιέζει το σήμα στον χρόνο επί 2. Το όρισμα του $x$ είναι πειραγμένο ($2t$) — κόκκινη σημαία. Προσπάθησέ το μόνος σου πρώτα, μετά άνοιξε τον έλεγχο.

Παίξε με τους δύο δρόμους ζωντανά: διάλεξε σύστημα και σύρε την καθυστέρηση ${\tau }_0$. Αριστερά είναι η πραγματική καθυστερημένη έξοδος (Δρόμος 1), δεξιά η αναμενόμενη αν TI, $y(t-{\tau }_0)$ (Δρόμος 2) — αν η μία πέφτει πάνω στην άλλη, το σύστημα είναι TI.

LTI = ΓΧΑ

Ένα σύστημα που είναι και γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο λέγεται LTI (Linear Time-Invariant). Στα Ελληνικά: ΓΧΑ (Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο). Θα συναντήσεις και τους δύο όρους — εμείς θα χρησιμοποιούμε LTI σαν default, αλλά σε εξεταστικές το ΓΧΑ εμφανίζεται εξίσου συχνά (κυρίως αυτό γράφεται στις διαφάνειες).

Άλλες ιδιότητες σύντομα

Δύο ακόμη ιδιότητες με τις οποίες θα ξαναβρεθούμε:

• Αιτιατό (causal): η έξοδος τη χρονική στιγμή $t$ εξαρτάται μόνο από τιμές της εισόδου σε χρόνους $\le t$. Όλα τα φυσικά συστήματα πραγματικού χρόνου είναι αιτιατά — δεν μπορούν να «δουν το μέλλον».
• Ευσταθές (BIBO stable): σε κάθε φραγμένη είσοδο δίνει φραγμένη έξοδο (Bounded Input → Bounded Output). Για ένα LTI, ισοδυναμεί με την απαίτηση να είναι η κρουστική απόκριση απολύτως ολοκληρώσιμη: ${\int }_{-\infty }^{\infty }|h(t)|dt<\infty$.

Οι περισσότερες πρακτικές εφαρμογές απαιτούν αυτές τις ιδιότητες, αλλά για τη θεωρία θα τα προϋποθέτουμε σιωπηρά.

Η κρουστική απόκριση h(t)

Πώς περιγράφουμε τη συμπεριφορά ενός LTI με έναν αντικείμενο, αντί να το δοκιμάζουμε με κάθε δυνατή είσοδο;

Η ιδέα: σου δίνω ένα μόνο σήμα — ένα που περιέχει «λίγο από κάθε συχνότητα και κάθε διάρκεια» — και βλέπω τι βγαίνει. Αυτό το σήμα είναι το $\delta (t)$.

Η έξοδος ενός LTI συστήματος όταν η είσοδος είναι $\delta (t)$ ονομάζεται κρουστική απόκριση $h(t)$:

$h(t)=S\{\delta (t)\}$

Γιατί η h(t) περιγράφει ΠΛΗΡΩΣ ένα LTI

Θα δείξουμε ότι, αν ξέρουμε την $h(t)$, μπορούμε να υπολογίσουμε την έξοδο για οποιαδήποτε είσοδο $x(t)$. Η μόνη απαίτηση: το σύστημα να είναι LTI. Σε τέσσερα βήματα:

1. Σαρωτική ιδιότητα της δ. Μπορούμε να γράψουμε την είσοδο $x(t)$ ως:

   $$x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$

   Γιατί; Η $\delta (t-\tau )$ είναι μη-μηδενική μόνο όταν $\tau =t$. Σε κάθε άλλο $\tau$, ο integrand είναι 0 και δεν συνεισφέρει. Άρα το ολοκλήρωμα «διαλέγει» μόνο την τιμή του $x$ στη θέση $\tau =t$, που είναι το $x(t)$.

2. Time-invariance. (Σύμβαση: από εδώ και κάτω γράφουμε είσοδος → έξοδος για να δηλώσουμε «αυτή η είσοδος δίνει αυτή την έξοδο όταν περάσει από το σύστημα».)

   Μια κρούση στο 0 δίνει $h(t)$ από τον ορισμό της κρουστικής απόκρισης. Από TI, μια κρούση στο $\tau$ δίνει το ίδιο, απλώς ολισθημένο:

   $$\delta (t-\tau )⟶h(t-\tau )$$

3. Linearity — ομογένεια. Αν η κρούση $\delta (t-\tau )$ δίνει $h(t-\tau )$, τότε μια κρούση scaled κατά $x(\tau )$ στην είσοδο πρέπει να δίνει το ίδιο scaling στην έξοδο:

   $$\underset{\text{«κομμαˊτι» εισοˊδου}}{\underbrace{x(\tau )\delta (t-\tau )}}⟶\underset{\text{«κομμαˊτι» εξοˊδου}}{\underbrace{x(\tau )h(t-\tau )}}$$

   Πρόσεξε ότι το $x(\tau )$ είναι ίδιο και στις δύο πλευρές. Η μόνη αλλαγή είναι το $\delta (t-\tau )$ έγινε $h(t-\tau )$ — δηλαδή η δ έδωσε τη θέση της στην h.

4. Linearity — προσθετικότητα. Από Βήμα 1, η είσοδος είναι ένα ολοκλήρωμα — ένα «άπειρο άθροισμα» — από κομμάτια της μορφής $x(\tau )\delta (t-\tau )$. Η προσθετικότητα της γραμμικότητας μάς λέει ότι αν η είσοδος είναι άθροισμα κομματιών, η έξοδος είναι το άθροισμα των αντίστοιχων εξόδων. Αυτό ισχύει και για ολοκληρώματα (που είναι «συνεχή αθροίσματα»). Από Βήμα 3 ξέρουμε σε τι μετατρέπεται κάθε κομμάτι: το $x(\tau )\delta (t-\tau )$ γίνεται $x(\tau )h(t-\tau )$. Άρα η συνολική έξοδος είναι:

Αυτή είναι η συνέλιξη $y(t)=x(t)\ast h(t)$. Δεν την κατεβάσαμε από τον ουρανό — προέκυψε αναγκαστικά από τις τρεις ιδιότητες που ήδη ξέραμε.

Συνέλιξη

Ο τύπος, εξηγημένος όρος-προς-όρο

• $\tau$ — η μεταβλητή ολοκλήρωσης. Όχι ο χρόνος της εξόδου, ούτε ο χρόνος της εισόδου. Είναι βοηθητική.
• $x(\tau )$ — η τιμή της εισόδου τη χρονική στιγμή $\tau$.
• $h(t-\tau )$ — η κρουστική απόκριση αναποδογυρισμένη (επειδή είναι $t-\tau$ αντί για $\tau -t$) και μετατοπισμένη δεξιά κατά $t$. Αυτή είναι η οπτική της επόμενης παραγράφου.
• Το γινόμενο $x(\tau )\cdot h(t-\tau )$ — αυτό που ολοκληρώνουμε. Δείχνει σε κάθε σημείο $\tau$ «πόσο συμβάλλει» η αντίστοιχη κρούση της εισόδου στην έξοδο τη στιγμή $t$.
• $y(t)$ — μία τιμή για κάθε $t$. Η ολοκλήρωση συσσωρεύει όλες τις συμβολές για το συγκεκριμένο $t$.

Flip-and-slide — η οπτική του τύπου

Πώς υπολογίζεις $y(t)$ για ένα συγκεκριμένο $t$;

1. Σχεδιάζεις το $x(\tau )$ στον άξονα $\tau$.
2. Παίρνεις το $h(\tau )$, το αναποδογυρίζεις οριζόντια για να γίνει $h(-\tau )$.
3. Ολισθαίνεις το flipped $h$ δεξιά κατά $t$ ⇒ προκύπτει το $h(t-\tau )$.
4. Πολλαπλασιάζεις σε κάθε $\tau$ τις δύο καμπύλες.
5. Ολοκληρώνεις το γινόμενο. Αυτό είναι το $y(t)$.
6. Επόμενο $t$ → επανάληψη.

Πατώντας Παίξε το $t$ τρέχει, το flipped-and-shifted $h$ ολισθαίνει, το γινόμενο αλλάζει σχήμα και το εμβαδό του χτίζει σταδιακά την καμπύλη $y(t)$ στο κάτω panel. Αυτό είναι η συνέλιξη — η αλγεβρική φόρμουλα είναι απλά πιο συμπυκνωμένη γραφή της ίδιας πράξης.

Worked example: $\Pi (\tau -0.5)\ast \Pi (\tau -0.5)$

Δύο ίδια ορθογώνια στο διάστημα $[0,1]$ που συνελίσσονται. Πριν κάνουμε καμία πράξη, η εικόνα: κρατάμε το ένα ορθογώνιο ακίνητο και σέρνουμε το άλλο (αναποδογυρισμένο) από αριστερά προς τα δεξιά. Σε κάθε θέση $t$, το $y(t)$ είναι απλώς το μήκος της επικάλυψης των δύο κουτιών. Σύρε το $t$ παρακάτω και δες το τρίγωνο να χτίζεται μόνο του:

Συμπέρασμα: η συνέλιξη δύο ίδιων ορθογωνίων είναι ένα τρίγωνο. Είναι τόσο σημαντική αυτή η σχέση που εμφανίζεται παντού — ως απόκριση των απλούστερων φίλτρων, ως μετασχηματισμός Fourier, και στα επόμενα κεφάλαια.

Άσκηση 4 — slide 8

Όταν τα δύο σήματα έχουν και θετικά και αρνητικά κομμάτια, η συνέλιξη γίνεται πολυφασική: κάθε «φάση» του υπολογισμού έχει διαφορετικό σύνολο ολοκληρωτικών ορίων. Η Άσκηση 4 του deck είναι ο κανονικός εκπαιδευτικός εκπρόσωπος αυτής της κατάστασης.

Ιδιότητες της συνέλιξης

Λίγες ταυτότητες, αλλά καθεμία αντιστοιχεί σε φυσική σύνθεση συστημάτων.

Αντιμεταθετική

$x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)$

«Δεν έχει σημασία ποιο σήμα παίζει το ρόλο της εισόδου και ποιο το ρόλο του συστήματος.» Πρακτικά: στην εξεταστή, flip-and-slide το πιο απλό σήμα για να βγει πιο εύκολα το ολοκλήρωμα. Το slide 4 του deck γράφει αυτή την ιδιότητα ρητά μαζί με τον ορισμό — και οι δύο μορφές υπάρχουν.

Προσεταιριστική (cascade)

$(x_1(t)\ast x_2(t))\ast x_3(t)=x_1(t)\ast (x_2(t)\ast x_3(t))$

Φυσικό νόημα: αν βάλεις δύο LTI σε σειρά (έξοδος του πρώτου = είσοδος του δευτέρου), το συνολικό σύστημα είναι κι αυτό LTI με κρουστική απόκριση $h_1\ast h_2$.

Επιμεριστική (parallel)

$x(t)\ast (h_1(t)+h_2(t))=x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)$

Φυσικό νόημα: αν τροφοδοτήσεις την ίδια είσοδο σε δύο LTI παράλληλα και προσθέσεις τις εξόδους, το συνολικό σύστημα είναι LTI με $h_1+h_2$. Το slide 7 του deck γράφει «Η φυσική σημασία της επιμεριστικής ιδιότητας της συνέλιξης» πάνω από το αντίστοιχο block diagram.

Ταυτοτική — η δ είναι το «1» της συνέλιξης

Συνελίσσοντας με $\delta (t)$ δεν αλλάζει τίποτα. Με $\delta (t-t_0)$ απλώς καθυστερείς κατά $t_0$. Συμπέρασμα: ένα σύστημα καθαρής καθυστέρησης έχει $h(t)=\delta (t-t_0)$.

Άσκηση-σύνθεση: το h(t) ενός σύνθετου συστήματος

Καιρός να μπουν όλες οι ιδιότητες σε μία δουλειά. Όλα τα blocks παρακάτω είναι LTI· γράψε το σύστημα σε αλγεβρική μορφή και απλοποίησέ το για να βρεις τη συνολική κρουστική απόκριση $h(t)$. Δοκίμασέ το μόνος σου πρώτα — θα χρειαστείς αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική και ταυτοτική.

Από τη συνέλιξη στη συχνότητα — teaser

Η συνέλιξη στον χρόνο είναι πολύ φασαριόζικη — flips, slides, ολοκληρώματα, και (όπως είδαμε στην Άσκηση 4) πολλαπλές φάσεις. Υπάρχει όμως ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα:

Για να φτάσουμε εκεί, πρέπει πρώτα να μιλήσουμε για συχνότητα: τι είναι το «φάσμα» ενός σήματος, και τι κάνει ένα LTI σύστημα σε μία συχνότητα. Αυτή η ενότητα κάνει αυτό το βήμα — δουλεύοντας πρώτα με ένα complex exponential (το απλούστερο σήμα που έχει μία και μόνο συχνότητα) και μετά γενικεύοντας στο cosine.

Πώς συμπεριφέρεται ένα LTI σε μία συχνότητα

Cosine στη συχνότητα — slide 12-15

Πριν κοιτάξουμε τι κάνει το σύστημα, ας θυμηθούμε τι έχει ένα cosine στη συχνότητα. Από εδώ ξέρουμε ότι μέσω Euler:

Δηλαδή ένα cosine είναι άθροισμα δύο μιγαδικών εκθετικών σε συχνότητες $+f_0$ και $-f_0$. Στο φάσμα πλάτους εμφανίζονται δύο γραμμές στο $\pm f_0$ ύψους $A/2$ — αυτό φαίνεται στα slides 12-14 του deck. Στο φάσμα φάσης εμφανίζονται δύο γραμμές με αντίθετες φάσεις $\pm \phi$ (περιττή συμμετρία — χαρακτηριστικό κάθε πραγματικού σήματος).

Δοκίμασε το «Καθαρό cosine» preset παραπάνω — είναι ακριβώς η εικόνα του slide 12: δύο spectral lollipops στο $\pm f_0$. Και τι γίνεται όταν προσθέτεις κι άλλα cosines; Κάθε cosine που βάζεις — έστω $A\cos (2\pi ft)$, δηλαδή ένα cosine πλάτους $A$ στη συχνότητα $f$ — δίνει το δικό του ζευγάρι lollipops στο $\pm f$, ύψους $A/2$ το καθένα (από Euler: $A\cos (2\pi ft)=\frac{A}{2}{e}^{j2\pi ft}+\frac{A}{2}{e}^{-j2\pi ft}$). Επειδή κάθε cosine ζει σε δική του συχνότητα και δεν αλληλεπιδρά με τα υπόλοιπα, το φάσμα του αθροίσματος είναι απλώς η ένωση των επιμέρους ζευγών. Αυτό ακριβώς λέει το slide 15: $x=x_1+x_2\Rightarrow$ φάσμα = ένωση των δύο φασμάτων. Άναψε τα cosines ένα-ένα και δες τα ζεύγη να εμφανίζονται:

Slide 16 — LTI σε complex exponential (η πραγματική πηγή της eigenfunction property)

Έστω το ΓΧΑ σύστημα δέχεται στην είσοδο ένα complex exponential:

Αν βάλουμε αυτό το σήμα στη συνέλιξη, παίρνουμε:

Το κλειδί: ο όρος $A{e}^{j(2\pi f_{0}t+\phi )}$ δεν εξαρτάται από το $\tau$, οπότε βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα:

Το ολοκλήρωμα που μένει είναι μιγαδικός αριθμός που εξαρτάται μόνο από το σύστημα (μέσω της $h$) και τη συχνότητα $f_0$ — όχι από τον χρόνο, όχι από το $A$, όχι από το $\phi$. Τον ονομάζουμε:

Με αυτόν τον ορισμό, η έξοδος γίνεται ολόκληρη:

Γιατί ο πολλαπλασιασμός αλλάζει και τη φάση, όχι μόνο το πλάτος. Το «scale κατά $H(f_0)$» ακούγεται σαν να πειράζει μόνο το μέγεθος — αλλά το $H(f_0)$ είναι μιγαδικός αριθμός, κι ο πολλαπλασιασμός με μιγαδικό κάνει δύο πράγματα μαζί. Γράψε το $H(f_0)$ σε πολική μορφή, $H(f_0)=|H(f_0)|e^{j\angle H(f_0)}$, και κάνε ρητά τον πολλαπλασιασμό:

Το μόνο εργαλείο εδώ είναι ο κανόνας $e^{j\alpha }{e}^{j\beta }=e^{j(\alpha +\beta )}$: όταν πολλαπλασιάζεις μιγαδικούς σε πολική μορφή, τα μέτρα πολλαπλασιάζονται και οι γωνίες προστίθενται. Διαβάζοντας το αποτέλεσμα:

• πλάτος: $A\to A|H(f_0)|$ — πολλαπλασιάζεται με το $|H|$.
• φάση: $\phi \to \phi +\angle H(f_0)$ — προστίθεται το $\angle H$ στην αρχική γωνία.

Νά λοιπόν γιατί ένας απλός πολλαπλασιασμός μετατοπίζει τη φάση: η γωνία του $H$ προστίθεται στη γωνία του σήματος. Γεωμετρικά, ο πολλαπλασιασμός με το $H(f_0)$ τεντώνει το phasor κατά $|H|$ και το στρίβει κατά $\angle H$ — και το στρίψιμο είναι η μετατόπιση φάσης. (Refresher για το «γιατί ο πολλαπλασιασμός μιγαδικών προσθέτει γωνίες»: Reference · Μιγαδικοί αριθμοί.)

Σύρε τους sliders. Παρατήρησε ότι:

• Η έξοδος (πορτοκαλί) περιστρέφεται με την ίδια ταχύτητα ($f_0$) με την είσοδο (μπλε). Καμία αλλαγή συχνότητας.
• Η ακτίνα της εξόδου είναι η ακτίνα της εισόδου × $|H(f_0)|$ — δηλαδή το $|H|$ κλιμακώνει το πλάτος.
• Η αρχική γωνία της εξόδου είναι η αρχική γωνία της εισόδου + $\angle H(f_0)$ — δηλαδή το $\angle H$ περιστρέφει τη φάση.
• Στο panel των φασματικών γραμμών βλέπεις μία γραμμή στο $+f_0$ στην είσοδο, που πάει σε μία γραμμή στο ίδιο $+f_0$ στην έξοδο. Όχι ζεύγος, όχι αλλαγή θέσης — ακριβώς αυτό το «scaling στη συχνότητα» που λέει το slide 18.

Αυτό είναι το eigenfunction property. Το complex exponential δεν είναι απλώς «ένα σήμα» — είναι το απαραίτητο σχήμα που το ΓΧΑ σύστημα αναγνωρίζει σαν δικό του και αφήνει να περάσει αλώβητο, μόνο πολλαπλασιασμένο με μια σταθερά. Σε λίγο θα δούμε γιατί ονομάζεται έτσι.

Εφαρμογή στο πραγματικό cosine

Έχοντας το slide-16 αποτέλεσμα, η συμπεριφορά του LTI σε cosine βγαίνει αμέσως. Με Euler το cosine είναι άθροισμα δύο complex exponentials, και από γραμμικότητα η έξοδος είναι το άθροισμα των δύο εξόδων:

Δηλαδή: cosine ίδιας συχνότητας, με νέο πλάτος $|H(f_0)|$ και νέα φάση μετατοπισμένη κατά $\angle H(f_0)$.

Τι λέει ο μιγαδικός αριθμός H(f₀);

Ο $H(f_0)$ είναι μιγαδικός. Σε πολική μορφή τον γράφουμε:

Πακετάρει δύο ξεχωριστές πληροφορίες για το πώς το σύστημα μεταχειρίζεται τη συχνότητα $f_0$:

• Το μέτρο $|H(f_0)|$ → πόσο ενισχύει ή εξασθενεί το πλάτος του σήματος στη συχνότητα αυτή.
• Η φάση $\angle H(f_0)$ → πόσο μετατοπίζει χρονικά το σήμα. Η φάση σε rad μεταφράζεται σε χρονική ολίσθηση μέσω της σχέσης από εδώ: $t_0=-\angle H(f_0)/(2\pi f_0)$.

Όταν λοιπόν ρωτάμε «τι κάνει αυτό το σύστημα στη συχνότητα $f_0$;», η απάντηση είναι ακριβώς αυτά τα δύο νούμερα — κανένα παραπάνω, κανένα λιγότερο.

Διαφορετικές συχνότητες παίρνουν πιθανώς διαφορετικά $|H|$ και $\angle H$. Συνολικά η συνάρτηση $H(f)$ μας λέει «τι κάνει το σύστημα συχνότητα προς συχνότητα». Αυτή είναι το frequency response του συστήματος.

Σύρε το $f_0$. Παρατήρησε ότι:

• Η έξοδος (πράσινη) έχει πάντα την ίδια συχνότητα με την είσοδο.
• Αλλάζουν μόνο το πλάτος ($|H(f_0)|$) και η φάση ($\angle H(f_0)$).
• Οι πράσινες κουκκίδες δεξιά «ζωγραφίζουν» την καμπύλη $|H(f)|$ και $\angle H(f)$ — αυτά είναι το frequency response του συστήματος.

Παράδειγμα: το σύστημα καθαρής καθυστέρησης

Ένα παράδειγμα όπου το $H(f)$ μπορούμε να το βρούμε εύκολα. Πάρε το σύστημα καθαρής καθυστέρησης: ό,τι μπει στην είσοδο, βγαίνει στην έξοδο μετά από $t_d$ δευτερόλεπτα.

Η κρουστική απόκριση είναι $h(t)=\delta (t-t_d)$ — μια κρούση που εμφανίζεται $t_d$ δευτερόλεπτα μετά το 0. Υπολογίζουμε:

(από τη σαρωτική ιδιότητα της δ).

Πώς διαβάζουμε μέτρο και φάση από αυτό. Το $H(f)=e^{-j2\pi f{t}_d}$ φαίνεται «γυμνό»: δεν έχει κάποιον αριθμό μπροστά, ούτε κάποιο ορατό «$+\varphi$» στον εκθέτη. Είναι εύκολο να σε ξεγελάσει και να σκεφτείς «δεν βλέπω φάση κάπου, άρα $\angle H(f)=0$» — ισχύει όμως ακριβώς το αντίθετο. Θυμήσου τι είναι η πολική μορφή ενός μιγαδικού:

Το μέτρο μπαίνει μπροστά, και η γωνία κάθεται μέσα στον εκθέτη (πολλαπλασιασμένη με το $j$). Η γωνία δεν είναι κάποιος ξεχωριστός όρος που «προστίθεται» — είναι ό,τι ακριβώς βρίσκεται στον εκθέτη· το $e^{j\theta }$ είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα (μήκους $1$) που δείχνει προς τη γωνία $\theta$. Συγκρίνοντας λοιπόν όρο προς όρο το $e^{-j2\pi f{t}_d}$ με το πρότυπο $|z|e^{j\angle z}$:

• μπροστά δεν υπάρχει αριθμός → $|H(f)|=1$ για κάθε $f$. Το σύστημα δεν αλλάζει το πλάτος καμίας συχνότητας — λογικό, μια καθυστέρηση δεν εξασθενεί τίποτα.
• ο εκθέτης είναι $-j2\pi f{t}_d=j\cdot (-2\pi f{t}_d)$ → $\angle H(f)=-2\pi f{t}_d$. Γραμμική φάση ως προς $f$ (διπλάσια συχνότητα → διπλάσια φάση σε rad).

Αυτό που «λείπει» δηλαδή από το $e^{-j2\pi f{t}_d}$ δεν είναι η φάση — είναι το μέτρο, που απλώς τυχαίνει να είναι $1$.

Και τώρα το σημαντικό: γιατί αυτή η φάση είναι μια καθυστέρηση. Θυμήσου τη σχέση φάσης ↔ time shift από τα σήματα — μια φάση $\varphi$ σε μια συχνότητα $f$ ισοδυναμεί με χρονική ολίσθηση $t_0=-\frac{\varphi }{2\pi f}$. Βάλε μέσα τη φάση που μόλις βρήκαμε, $\varphi =-2\pi f{t}_d$:

Το $f$ απλοποιείται: κι ας είναι η φάση διαφορετική σε κάθε συχνότητα (σε rad), η χρονική ολίσθηση βγαίνει η ίδια — $t_d$ δευτερόλεπτα — για όλες τις συχνότητες. Αυτό ακριβώς περιμέναμε από ένα σύστημα καθυστέρησης: ίδιο μέτρο $1$ και ίδια χρονική καθυστέρηση παντού, ώστε όλο το σήμα να μετατοπίζεται ατόφιο, χωρίς παραμόρφωση. Η μαθηματική πρόβλεψη συμπίπτει με τη φυσική διαίσθηση.

Αν θέλεις να το δεις και εμπειρικά, διάλεξε στα δύο vizzes παραπάνω το preset καθυστέρησης — θα δεις την έξοδο να ταυτίζεται με την είσοδο, απλώς ολισθημένη προς τα δεξιά κατά $t_d$ (μια καθυστέρηση βγάζει το σήμα «αργότερα», και στον άξονα του χρόνου το «αργότερα» είναι προς τα δεξιά· συνεπές με το θετικό $t_0=t_d$ που μόλις βρήκαμε), ενώ το $|H(f)|$ μένει σταθερό στο 1 και η φάση πέφτει γραμμικά.

Eigenfunction, και γιατί λέγεται έτσι

Η κρυφή δομή πίσω από όλα αυτά: το complex exponential είναι το σχήμα που οι LTI «αναγνωρίζουν» σαν δικό τους. Όταν περάσει από LTI, βγαίνει το ίδιο complex exponential, απλά πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό $H(f_0)$:

Δεν παραμορφώνεται. Δεν αλλάζει σχήμα. Είναι σαν να «αναγνωρίζει» το σύστημα τα complex exponentials σαν δικά του προτιμώμενα σήματα — τους κάνει την πιο ήπια δυνατή τροποποίηση: τους πολλαπλασιάζει με μια σταθερά.

Αυτή η ιδιότητα έχει ένα όνομα: τα complex exponentials είναι οι eigenfunctions των LTI συστημάτων.

Αν έχεις δει γραμμική άλγεβρα: ένα eigenvector ενός πίνακα είναι ένα διάνυσμα που, όταν το πολλαπλασιάσεις με τον πίνακα, σου επιστρέφει το ίδιο διάνυσμα απλώς πολλαπλασιασμένο με μια σταθερά (την eigenvalue). Στα LTI συστήματα ισχύει το ακριβές ανάλογο: τα complex exponentials είναι οι «eigenvectors» (eigenfunctions, αφού μιλάμε για συναρτήσεις) και οι τιμές $H(f)$ είναι οι αντίστοιχες «eigenvalues».

Πρακτικά τι σημαίνει αυτό για εμάς; Ότι κάθε φορά που μπορούμε να γράψουμε ένα σήμα σαν συνδυασμό από complex exponentials, η ανάλυση του LTI απλοποιείται δραματικά — γιατί κάθε exponential ταξιδεύει ανεξάρτητα και απλώς ζυγίζεται κατά $H$. Αυτή είναι η βαθιά γέφυρα μεταξύ αυτού του κεφαλαίου και του επόμενου, όπου θα δούμε ότι κάθε σήμα μπορεί να γραφτεί έτσι. Και τότε όλα τα ίδια εργαλεία θα ισχύουν παντού.

Από εδώ — Fourier (slide 18-20 verbatim)

Το slide 18 του deck κλείνει με ένα ρητορικό ερώτημα που είναι η απευθείας γέφυρα στο επόμενο κεφάλαιο:

Σύνοψη της ενότητας

Ένα LTI σύστημα μεταχειρίζεται κάθε συχνότητα ξεχωριστά.

• Όταν στέλνεις ένα complex exponential συχνότητας $f_0$ στην είσοδο, η έξοδος είναι το ίδιο complex exponential $\times H(f_0)$ (slide 16).
• Όταν στέλνεις ένα cosine συχνότητας $f_0$ (που είναι ζεύγος complex exponentials), η έξοδος είναι cosine ίδιας συχνότητας με νέο πλάτος $|H(f_0)|$ και νέα φάση $\angle H(f_0)$.
• Το $H(f)$ είναι το frequency response του συστήματος — μια συνάρτηση που μας λέει τι κάνει σε κάθε συχνότητα.

Αυτό αξίζει να το πεις δυνατά: ένα LTI σύστημα δεν δημιουργεί ποτέ νέες συχνότητες. Αν βάλεις 100 Hz μέσα, παίρνεις 100 Hz έξω. Πάντα. Αν στην έξοδο εμφανίζονται νέες συχνότητες — όπως κάνει ένας modulator — το σύστημα δεν είναι LTI.

Στο επόμενο κεφάλαιο θα δούμε ότι αυτή η συνάρτηση $H(f)$ έχει ένα όνομα και μια ολόκληρη οικογένεια ιδιοτήτων: είναι ο μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής απόκρισης $h(t)$. Και θα δούμε ότι κάθε σήμα — όχι μόνο cosines — μπορεί να αναλυθεί σε complex exponentials, που σημαίνει ότι η eigenfunction property εφαρμόζεται παντού.

🧪 Lab — Ελέγχοντας γραμμικότητα και TI στο MATLAB

Εξάσκηση

Συμπύκνωσε — keywords, skeleton, παγίδα

Ανακάλεσε — γρήγορες δοκιμές μνήμης

Αναγνώρισε — τι «παγώνει» το LTI machinery