Συστήματα

Στο προηγούμενο κεφάλαιο μάθαμε να αναγνωρίζουμε σήματα. Σε αυτό μαθαίνουμε τι τους κάνουμε: ένα σύστημα παίρνει σήμα είσοδο και βγάζει σήμα έξοδο. Στόχος μέχρι το τέλος: να καταλάβεις βαθιά μία πράξη — τη συνέλιξη — και ένα αποτέλεσμα — ότι κάθε cosine που περνάει από LTI σύστημα βγαίνει σαν cosine ίδιας συχνότητας, απλά με νέο πλάτος και φάση. Αυτά τα δύο είναι το «κλειδί» για όλη τη Fourier θεωρία που έρχεται.

Τι είναι ένα σύστημα;

Στην πιο απλή του μορφή:

Ένα σύστημα είναι ένα κουτί που παίρνει στην είσοδο ένα σήμα και βγάζει στην έξοδο ένα άλλο σήμα.

Συμβολικά γράφουμε $y(t)=S\{x(t)\}$ — «το σύστημα $S$, με είσοδο $x(t)$, παράγει $y(t)$».

Properties που μας ενδιαφέρουν

Από όλα τα πιθανά συστήματα στον κόσμο, υπάρχουν δύο ιδιότητες που τα κάνουν ξαφνικά τρομερά εργαλεία: γραμμικότητα και χρονική αμεταβλητότητα. Τα συστήματα που έχουν και τις δύο λέγονται LTI (Linear Time-Invariant). Όλο το υπόλοιπο μάθημα στηρίζεται σε αυτά.

Γραμμικότητα

Ένα σύστημα είναι γραμμικό όταν ικανοποιεί την αρχή της υπέρθεσης:

Σε απλά Ελληνικά: «αν δώσεις στο σύστημα ένα άθροισμα σημάτων, η έξοδος είναι το άθροισμα των εξόδων που θα έπαιρνες αν τα έδινες ένα-ένα.»

Χρονική αμεταβλητότητα

Ένα σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο (time-invariant) όταν, αν καθυστερήσεις την είσοδο, η έξοδος είναι ίδια — απλώς καθυστερημένη κατά το ίδιο:

Σε απλά Ελληνικά: «το σύστημα συμπεριφέρεται το ίδιο όποτε κι αν του δώσεις το σήμα. Η σχέση input→output δεν εξαρτάται από τον χρόνο.»

Αν πεις «γεια» στο μικρόφωνο στις 10:00 ή στις 14:00, η ηχογράφηση ακούγεται ίδια — απλώς κάθεται σε άλλο σημείο του χρόνου. Αυτό είναι TI. Αντίθετα, ένα σύστημα όπως $y(t)=t\cdot x(t)$ πολλαπλασιάζει το σήμα με τον τρέχοντα χρόνο — όσο αργότερα δίνεις την είσοδο, τόσο μεγαλύτερη είναι η έξοδος. Όχι TI.

LTI = ΓΧΑ

Ένα σύστημα που είναι και γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο λέγεται LTI (Linear Time-Invariant). Στα Ελληνικά: ΓΧΑ (Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο). Θα συναντήσεις και τους δύο όρους — εμείς θα χρησιμοποιούμε LTI σαν default.

Άλλες ιδιότητες σύντομα

Δύο ακόμη ιδιότητες με τις οποίες θα ξαναβρεθούμε:

• Αιτιατό (causal): η έξοδος τη χρονική στιγμή $t$ εξαρτάται μόνο από τιμές της εισόδου σε χρόνους $\le t$. Όλα τα φυσικά συστήματα πραγματικού χρόνου είναι αιτιατά — δεν μπορούν να «δουν το μέλλον».
• Ευσταθές (BIBO stable): σε κάθε φραγμένη είσοδο δίνει φραγμένη έξοδο (Bounded Input → Bounded Output). Στα μαθηματικά συμβαίνει στα LTI όταν η h(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμη.

Οι περισσότερες πρακτικές εφαρμογές απαιτούν αυτές τις ιδιότητες, αλλά για τη θεωρία θα τα προϋποθέτουμε σιωπηρά.

Η κρουστική απόκριση h(t)

Πώς περιγράφουμε τη συμπεριφορά ενός LTI με έναν αντικείμενο, αντί να το δοκιμάζουμε με κάθε δυνατή είσοδο;

Η ιδέα: σου δίνω ένα μόνο σήμα — ένα που περιέχει «λίγο από κάθε συχνότητα και κάθε διάρκεια» — και βλέπω τι βγαίνει. Αυτό το σήμα είναι το $\delta (t)$.

Η έξοδος ενός LTI συστήματος όταν η είσοδος είναι $\delta (t)$ ονομάζεται κρουστική απόκριση $h(t)$:

$h(t)=S\{\delta (t)\}$

Γιατί η h(t) περιγράφει ΠΛΗΡΩΣ ένα LTI

Θα δείξουμε ότι, αν ξέρουμε την $h(t)$, μπορούμε να υπολογίσουμε την έξοδο για οποιαδήποτε είσοδο $x(t)$. Η μόνη απαίτηση: το σύστημα να είναι LTI. Σε τέσσερα βήματα:

1. Σαρωτική ιδιότητα της δ. Μπορούμε να γράψουμε την είσοδο $x(t)$ ως:

   $$x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$

   Γιατί; Η $\delta (t-\tau )$ είναι μη-μηδενική μόνο όταν $\tau =t$. Σε κάθε άλλο $\tau$, ο integrand είναι 0 και δεν συνεισφέρει. Άρα το ολοκλήρωμα «διαλέγει» μόνο την τιμή του $x$ στη θέση $\tau =t$, που είναι το $x(t)$.

2. Time-invariance. (Σύμβαση: από εδώ και κάτω γράφουμε είσοδος → έξοδος για να δηλώσουμε «αυτή η είσοδος δίνει αυτή την έξοδο όταν περάσει από το σύστημα».)

   Μια κρούση στο 0 δίνει $h(t)$ από τον ορισμό της κρουστικής απόκρισης. Από TI, μια κρούση στο $\tau$ δίνει το ίδιο, απλώς ολισθημένο:

   $$\delta (t-\tau )⟶h(t-\tau )$$

3. Linearity — ομογένεια. Αν η κρούση $\delta (t-\tau )$ δίνει $h(t-\tau )$, τότε μια κρούση scaled κατά $x(\tau )$ στην είσοδο πρέπει να δίνει το ίδιο scaling στην έξοδο:

   $$\underset{\text{«κομμαˊτι» εισοˊδου}}{\underbrace{x(\tau )\delta (t-\tau )}}⟶\underset{\text{«κομμαˊτι» εξοˊδου}}{\underbrace{x(\tau )h(t-\tau )}}$$

   Πρόσεξε ότι το $x(\tau )$ είναι ίδιο και στις δύο πλευρές. Η μόνη αλλαγή είναι το $\delta (t-\tau )$ έγινε $h(t-\tau )$ — δηλαδή η δ έδωσε τη θέση της στην h.

4. Linearity — προσθετικότητα. Από Βήμα 1, η είσοδος είναι ένα ολοκλήρωμα — ένα «άπειρο άθροισμα» — από κομμάτια της μορφής $x(\tau )\delta (t-\tau )$. Η προσθετικότητα της γραμμικότητας μάς λέει ότι αν η είσοδος είναι άθροισμα κομματιών, η έξοδος είναι το άθροισμα των αντίστοιχων εξόδων. Αυτό ισχύει και για ολοκληρώματα (που είναι «συνεχή αθροίσματα»). Από Βήμα 3 ξέρουμε σε τι μετατρέπεται κάθε κομμάτι: το $x(\tau )\delta (t-\tau )$ γίνεται $x(\tau )h(t-\tau )$. Άρα η συνολική έξοδος είναι:

Αυτή είναι η συνέλιξη $y(t)=x(t)\ast h(t)$. Δεν την κατεβάσαμε από τον ουρανό — προέκυψε αναγκαστικά από τις τρεις ιδιότητες που ήδη ξέραμε.

Συνέλιξη

Ο τύπος, εξηγημένος όρος-προς-όρο

• $\tau$ — η μεταβλητή ολοκλήρωσης. Όχι ο χρόνος της εξόδου, ούτε ο χρόνος της εισόδου. Είναι βοηθητική.
• $x(\tau )$ — η τιμή της εισόδου τη χρονική στιγμή $\tau$.
• $h(t-\tau )$ — η κρουστική απόκριση αναποδογυρισμένη (επειδή είναι $t-\tau$ αντί για $\tau -t$) και μετατοπισμένη δεξιά κατά $t$. Αυτή είναι η οπτική της επόμενης παραγράφου.
• Το γινόμενο $x(\tau )\cdot h(t-\tau )$ — αυτό που ολοκληρώνουμε. Δείχνει σε κάθε σημείο $\tau$ «πόσο συμβάλλει» η αντίστοιχη κρούση της εισόδου στην έξοδο τη στιγμή $t$.
• $y(t)$ — μία τιμή για κάθε $t$. Η ολοκλήρωση συσσωρεύει όλες τις συμβολές για το συγκεκριμένο $t$.

Flip-and-slide — η οπτική του τύπου

Πώς υπολογίζεις $y(t)$ για ένα συγκεκριμένο $t$;

1. Σχεδιάζεις το $x(\tau )$ στον άξονα $\tau$.
2. Παίρνεις το $h(\tau )$, το αναποδογυρίζεις οριζόντια για να γίνει $h(-\tau )$.
3. Ολισθαίνεις το flipped $h$ δεξιά κατά $t$ ⇒ προκύπτει το $h(t-\tau )$.
4. Πολλαπλασιάζεις σε κάθε $\tau$ τις δύο καμπύλες.
5. Ολοκληρώνεις το γινόμενο. Αυτό είναι το $y(t)$.
6. Επόμενο $t$ → επανάληψη.

Πατώντας Παίξε το $t$ τρέχει, το flipped-and-shifted $h$ ολισθαίνει, το γινόμενο αλλάζει σχήμα και το εμβαδό του χτίζει σταδιακά την καμπύλη $y(t)$ στο κάτω panel. Αυτό είναι η συνέλιξη — η αλγεβρική φόρμουλα είναι απλά πιο συμπυκνωμένη γραφή της ίδιας πράξης.

Worked example: $\Pi (\tau -0.5)\ast \Pi (\tau -0.5)$

Δύο ορθογώνια του ίδιου μήκους που συνελίσσονται. Διαλέγοντας το preset «Δύο ορθογώνια» στο viz βλέπεις τι συμβαίνει βήμα-βήμα. Η αλγεβρική λύση:

Ιδιότητες της συνέλιξης

Λίγες ταυτότητες, αλλά καθεμία αντιστοιχεί σε φυσική σύνθεση συστημάτων.

Αντιμεταθετική

$x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)$

«Δεν έχει σημασία ποιο σήμα παίζει το ρόλο της εισόδου και ποιο το ρόλο του συστήματος.» Πρακτικά: στην εξεταστή, flip-and-slide το πιο απλό σήμα για να βγει πιο εύκολα το ολοκλήρωμα.

Προσεταιριστική (cascade)

$(x_1(t)\ast x_2(t))\ast x_3(t)=x_1(t)\ast (x_2(t)\ast x_3(t))$

Φυσικό νόημα: αν βάλεις δύο LTI σε σειρά (έξοδος του πρώτου = είσοδος του δευτέρου), το συνολικό σύστημα είναι κι αυτό LTI με κρουστική απόκριση $h_1\ast h_2$.

Επιμεριστική (parallel)

$x(t)\ast (h_1(t)+h_2(t))=x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)$

Φυσικό νόημα: αν τροφοδοτήσεις την ίδια είσοδο σε δύο LTI παράλληλα και προσθέσεις τις εξόδους, το συνολικό σύστημα είναι LTI με $h_1+h_2$.

Ταυτοτική — η δ είναι το «1» της συνέλιξης

$x(t)\ast \delta (t)=x(t)$ $x(t)\ast \delta (t-t_0)=x(t-t_0)$

Συνελίσσοντας με $\delta (t)$ δεν αλλάζει τίποτα. Με $\delta (t-t_0)$ απλώς καθυστερείς κατά $t_0$. Συμπέρασμα: ένα σύστημα καθαρής καθυστέρησης έχει $h(t)=\delta (t-t_0)$.

Από τη συνέλιξη στη συχνότητα — teaser

Η συνέλιξη στον χρόνο είναι πολύ φασαριόζικη — flips, slides, ολοκληρώματα. Υπάρχει όμως ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα:

Πώς συμπεριφέρεται ένα LTI σύστημα σε cosines

Το ερώτημα

Μόλις είδαμε ότι ένα LTI σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση $h(t)$, και ότι η έξοδος για οποιαδήποτε είσοδο δίνεται από τη συνέλιξη $y(t)=x(t)\ast h(t)$. Καλό αυτό — αλλά η συνέλιξη είναι βαριά πράξη. Να την κάνουμε για κάθε σήμα που μας ενδιαφέρει θα ήταν εξουθενωτικό.

Ερώτημα: υπάρχει μια κατηγορία σημάτων για την οποία η σχέση input → output γίνεται δραματικά πιο απλή — όχι ολοκλήρωμα, αλλά απλός πολλαπλασιασμός;

Απάντηση: ναι, τα cosines. Και η απλοποίηση είναι τόσο ωραία που μας λέει κάτι βαθύ για τη φύση των LTI συστημάτων.

Ένα μαθηματικό κόλπο που θα μας λύσει τα χέρια

Πριν προχωρήσουμε, χρειαζόμαστε ένα μαθηματικό εργαλείο. Από Euler ξέρουμε ότι:

Δηλαδή κάθε cosine μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα δύο complex exponentials σε συχνότητες $+f_0$ και $-f_0$.

Σημαντική διευκρίνηση: ένα complex exponential δεν υπάρχει στον φυσικό κόσμο. Δεν μπορείς να στείλεις ένα $e^{j2\pi f_{0}t}$ σε μικρόφωνο ή σε κεραία· φανταστικοί αριθμοί δεν είναι πράγματα που μετριούνται σε volts. Το cosine, αντίθετα, είναι πραγματικό σήμα — και αυτό είναι που δίνουμε πραγματικά στο σύστημα.

Όμως μαθηματικά μπορούμε να γράψουμε το cosine έτσι. Και επειδή το LTI σύστημα είναι γραμμικό, μπορούμε να αναλύσουμε ξεχωριστά τι κάνει σε καθένα από τα δύο complex exponentials, και μετά να τα προσθέσουμε. Δεν αλλάζουμε το σήμα — απλώς αλλάζουμε πώς το γράφουμε για να μας βολεύει στους υπολογισμούς. Στο τέλος όλα τα μιγαδικά κομμάτια θα ξανασυναντηθούν και θα μας δώσουν πραγματικό αποτέλεσμα — γιατί η είσοδος ήταν εξαρχής πραγματική.

Με άλλα λόγια: τα complex exponentials είναι ένας μαθηματικός φακός μέσω του οποίου παρατηρούμε ένα φυσικό σήμα. Όχι σήμα από μόνα τους.

Το αποτέλεσμα: τι κάνει ένα LTI σε ένα cosine

Με αυτή την οπτική, μπορούμε να πούμε τι παθαίνει ένα cosine περνώντας από LTI σύστημα. Το αποτέλεσμα είναι το εξής: αν στείλεις στην είσοδο ένα cosine συχνότητας $f_0$,

η έξοδος θα είναι πάλι ένα cosine της ίδιας συχνότητας, απλώς με νέο πλάτος και νέα φάση:

όπου $H(f_0)$ είναι ένας μιγαδικός αριθμός που εξαρτάται από:

• το σύστημα (συγκεκριμένα την κρουστική του απόκριση $h(t)$),
• τη συχνότητα $f_0$ που τον υπολογίζουμε.

Συγκεκριμένα ορίζεται από το ολοκλήρωμα:

Δεν θα υπολογίσουμε αυτό το ολοκλήρωμα ακόμα — αυτή είναι δουλειά του επόμενου κεφαλαίου. Σε αυτή τη σελίδα, μας αρκεί να ξέρουμε ότι κάθε LTI σύστημα έχει ένα τέτοιο $H(f)$ — μια συνάρτηση που μας λέει τι κάνει σε κάθε συχνότητα.

Τι λέει ο μιγαδικός αριθμός H(f₀);

Ο $H(f_0)$ είναι μιγαδικός. Σε πολική μορφή τον γράφουμε:

Πακετάρει δύο ξεχωριστές πληροφορίες για το πώς το σύστημα μεταχειρίζεται τη συχνότητα $f_0$:

• Το μέτρο $|H(f_0)|$ → πόσο ενισχύει ή εξασθενεί το πλάτος του cosine στη συχνότητα αυτή.
• Η φάση $\angle H(f_0)$ → πόσο μετατοπίζει χρονικά το cosine. Η φάση σε rad μεταφράζεται σε χρονική ολίσθηση μέσω της σχέσης από εδώ: $t_0=-\angle H(f_0)/(2\pi f_0)$.

Όταν λοιπόν ρωτάμε «τι κάνει αυτό το σύστημα στη συχνότητα $f_0$;», η απάντηση είναι ακριβώς αυτά τα δύο νούμερα — κανένα παραπάνω, κανένα λιγότερο.

Διαφορετικές συχνότητες παίρνουν πιθανώς διαφορετικά $|H|$ και $\angle H$. Συνολικά η συνάρτηση $H(f)$ μας λέει «τι κάνει το σύστημα συχνότητα προς συχνότητα». Αυτή είναι το frequency response του συστήματος.

Σύρε το $f_0$. Παρατήρησε ότι:

• Η έξοδος (πράσινη) έχει πάντα την ίδια συχνότητα με την είσοδο.
• Αλλάζουν μόνο το πλάτος ($|H(f_0)|$) και η φάση ($\angle H(f_0)$).
• Οι πράσινες κουκκίδες δεξιά «ζωγραφίζουν» την καμπύλη $|H(f)|$ και $\angle H(f)$ — αυτά είναι το frequency response του συστήματος.

Παράδειγμα: το σύστημα καθαρής καθυστέρησης

Ένα παράδειγμα όπου το $H(f)$ μπορούμε να το βρούμε εύκολα. Πάρε το σύστημα καθαρής καθυστέρησης: ό,τι μπει στην είσοδο, βγαίνει στην έξοδο μετά από $t_d$ δευτερόλεπτα.

Η κρουστική απόκριση είναι $h(t)=\delta (t-t_d)$ — μια κρούση που εμφανίζεται $t_d$ δευτερόλεπτα μετά το 0. Υπολογίζουμε:

(από τη σαρωτική ιδιότητα της δ).

Σε πολική μορφή:

• $|H(f)|=1$ για κάθε $f$ — το σύστημα δεν αλλάζει το πλάτος καμίας συχνότητας. Λογικό: μια καθυστέρηση δεν εξασθενεί τίποτα.
• $\angle H(f)=-2\pi f{t}_d$ — γραμμική φάση ως προς $f$. Από τη σχέση φάσης ↔ time shift, αυτή ακριβώς η φάση αντιστοιχεί σε χρονική ολίσθηση κατά $t_d$ δευτερόλεπτα. Σε όλες τις συχνότητες την ίδια.

Αυτό είναι αυτό που περιμέναμε από ένα σύστημα καθυστέρησης: σε κάθε συχνότητα, ίδιο μέτρο 1 και ίδια χρονική καθυστέρηση. Η μαθηματική πρόβλεψη συμπίπτει με τη φυσική διαίσθηση.

Αν θέλεις να το δεις και εμπειρικά, διάλεξε στο viz παραπάνω το preset καθυστέρησης — θα δεις την έξοδο να ταυτίζεται με την είσοδο, απλώς ολισθημένη, ενώ το $|H(f)|$ μένει σταθερό στο 1 και η φάση πέφτει γραμμικά.

Eigenfunction, και γιατί λέγεται έτσι

Όλη αυτή η ανάλυση κρύβει μια ωραία δομική ιδιότητα των LTI συστημάτων.

Στην κρυφή απόδειξη παραπάνω, αυτό που πραγματικά υπολογίσαμε ήταν: όταν περνάει ένα complex exponential $e^{j2\pi f_{0}t}$ από LTI σύστημα, βγαίνει το ίδιο complex exponential, απλώς πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό $H(f_0)$:

Το σχήμα δεν αλλάζει. Δεν παραμορφώνεται. Είναι σαν να «αναγνωρίζει» το σύστημα τα complex exponentials σαν δικά του προτιμώμενα σήματα — τους κάνει την πιο ήπια δυνατή τροποποίηση: τους πολλαπλασιάζει με μια σταθερά.

Αυτή η ιδιότητα έχει ένα όνομα: τα complex exponentials είναι οι eigenfunctions των LTI συστημάτων.

Αν έχεις δει γραμμική άλγεβρα: ένα eigenvector ενός πίνακα είναι ένα διάνυσμα που, όταν το πολλαπλασιάσεις με τον πίνακα, σου επιστρέφει το ίδιο διάνυσμα απλώς πολλαπλασιασμένο με μια σταθερά (την eigenvalue). Στα LTI συστήματα ισχύει το ακριβές ανάλογο: τα complex exponentials είναι οι «eigenvectors» (eigenfunctions, αφού μιλάμε για συναρτήσεις) και οι τιμές $H(f)$ είναι οι αντίστοιχες «eigenvalues».

Πρακτικά τι σημαίνει αυτό για εμάς; Ότι κάθε φορά που μπορούμε να γράψουμε ένα σήμα σαν συνδυασμό από complex exponentials, η ανάλυση του LTI απλοποιείται δραματικά — γιατί κάθε exponential ταξιδεύει ανεξάρτητα και απλώς ζυγίζεται κατά $H$. Αυτή είναι η βαθιά γέφυρα μεταξύ αυτού του κεφαλαίου και του επόμενου, όπου θα δούμε ότι κάθε σήμα μπορεί να γραφτεί έτσι. Και τότε όλα τα ίδια εργαλεία θα ισχύουν παντού.

Σύνοψη

Ένα LTI σύστημα μεταχειρίζεται κάθε συχνότητα ξεχωριστά. Όταν στέλνεις ένα cosine συχνότητας $f_0$ στην είσοδο:

• η έξοδος είναι πάντα cosine ίδιας συχνότητας $f_0$,
• με νέο πλάτος $|H(f_0)|$ και νέα φάση $\angle H(f_0)$,
• όπου το $H(f)$ είναι το frequency response του συστήματος, μια συνάρτηση που μας λέει τι κάνει σε κάθε συχνότητα.

Αυτό αξίζει να το πεις δυνατά: ένα LTI σύστημα δεν δημιουργεί ποτέ νέες συχνότητες. Αν βάλεις 100 Hz μέσα, παίρνεις 100 Hz έξω. Πάντα. Αν στην έξοδο εμφανίζονται νέες συχνότητες — όπως κάνει ένας modulator — το σύστημα δεν είναι LTI.

Στο επόμενο κεφάλαιο θα δούμε ότι αυτή η συνάρτηση $H(f)$ έχει ένα όνομα και μια ολόκληρη οικογένεια ιδιοτήτων: είναι ο μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής απόκρισης $h(t)$. Και θα δούμε ότι κάθε σήμα — όχι μόνο cosines — μπορεί να αναλυθεί σε complex exponentials, που σημαίνει ότι η eigenfunction property εφαρμόζεται παντού.

🧪 Lab — Ελέγχοντας γραμμικότητα και TI στο MATLAB

Εξάσκηση