Foundations · Reference·~8 min read

Μετασχηματισμοί σήματος

Πέντε standard «κουμπιά» που μετακινούν, ζυγίζουν, αντιστρέφουν ή συμπιέζουν ένα σήμα. Εμφανίζονται παντού — από τη συνέλιξη μέχρι τους Fourier και τη διαμόρφωση.

Amplitude scaling — A · x(t)

Πολλαπλασιάζοντας όλο το σήμα με έναν σταθερό αριθμό $A$ αλλάζει μόνο ο κάθετος άξονας. Δεν αλλάζει η χρονική του συμπεριφορά.

$A > 1$ → ψηλαίνει
$0 < A < 1$ → χαμηλώνει
$A < 0$ → ανάκλαση γύρω από τον $x$ -άξονα (αλλαγή προσήμου ταυτόχρονα με αλλαγή πλάτους)

Ένα cosine παραμένει cosine ίδιας συχνότητας — απλώς πιο ψηλό ή πιο χαμηλό.

A · x(t) — amplitude scaling

A = 1.00

A > 1 ψηλαίνει, 0 < A < 1 χαμηλώνει, A < 0 αναποδογυρίζει γύρω από τον x-άξονα.

Time shift — x(t − t₀)

Αντικαθιστούμε t με t − t₀ στο όρισμα. Το σήμα ολισθαίνει κατά μήκος του χρόνου.

x(t − t₀) — time shift

t₀ = +0.00

t₀ > 0 → ολίσθηση δεξιά (καθυστέρηση). t₀ < 0 → αριστερά. Μνημονικό: το σήμα κάθεται εκεί όπου το όρισμα γίνεται 0.

Time reversal — x(−t)

Αντικαθιστούμε t με −t. Το σήμα καθρεφτίζεται γύρω από τον $y$ -άξονα.

Άρτια σήματα ( $cos$ ): δεν αλλάζουν.
Περιττά σήματα ( $sin$ ): αλλάζουν πρόσημο.
Αιτιατά σήματα γίνονται «αντι-αιτιατά»: μη-μηδενικά μόνο για $t < 0$ .

x(−t) — time reversal

flipped — x(−t)

Καθρεφτίζεται γύρω από τον y-άξονα. Άρτια σήματα (cosine) μένουν ίδια· περιττά (sine) αλλάζουν πρόσημο.

Time scaling — x(at)

Αντικαθιστούμε t με at, όπου $a$ ένας μη-μηδενικός σταθερός αριθμός.

$∣ a ∣ > 1$ → συμπίεση στον χρόνο (το σήμα τρέχει πιο γρήγορα).
$0 < ∣ a ∣ < 1$ → επέκταση στον χρόνο (πιο αργά).
$a < 0$ → επιπλέον flip.

Για cosines: $cos (2 π f t)$ έχει συχνότητα $f$ , και $cos (2 π f a t)$ έχει συχνότητα $∣ f a ∣$ . Συμπίεση στον χρόνο = αύξηση της συχνότητας.

x(a · t) — time scaling

a = 1.00

|a| > 1 → συμπίεση στον χρόνο (αύξηση συχνότητας). |a| < 1 → επέκταση. a < 0 προσθέτει flip.

Συνδυασμοί — η σειρά παίζει ρόλο

Σύνθετα ορίσματα όπως $x (a t + b)$ ή $A \cdot x (- t + T)$ διαβάζονται με έναν απλό κανόνα.

Παράδειγμα 1. $x (2 t - 4) = x (2 (t - 2))$ . Πρώτα συμπίεση κατά 2, μετά shift δεξιά κατά 2.

Παράδειγμα-κλειδί που εμφανίζεται στη συνέλιξη. $h (t - τ) = h (- (τ - t))$ (όταν θεωρούμε $τ$ μεταβλητή και $t$ σταθερά). Πρώτα flip, μετά shift δεξιά κατά $t$ . Αυτό είναι το flip-and-slide της συνέλιξης — δες /foundations/systems.

Worked example. Έστω $x (t)$ τρίγωνο πλάτους 1, βάση $[0, 2]$ , κορυφή στο 1. Σχεδίασε το $x (- t + 3)$ .

$x (- t + 3) = x (- (t - 3))$ .
Βήμα 1 — flip: βάση $[- 2, 0]$ , κορυφή στο $- 1$ .
Βήμα 2 — shift δεξιά κατά 3: βάση $[1, 3]$ , κορυφή στο $2$ .

Αρχικό

x(t)

βάση [0, 2], κορυφή στο 1

Βήμα 1: Flip

x(−t)

βάση [−2, 0], κορυφή στο −1

Βήμα 2: Shift δεξιά κατά 3

x(−(t − 3))

βάση [1, 3], κορυφή στο 2

x(−t + 3) = x(−(t − 3)). Πρώτα flip (πρόσημο μέσα στην παρένθεση), μετά shift κατά 3 δεξιά.

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις για να εμπεδώσεις τη σειρά scaling → shift και τα signs που μπερδεύουν.

Σχετικές σελίδες

Πρώτη εμφάνιση και πλήρης κουβέντα: /foundations/signals §4.5.
Ο πιο σημαντικός λόγος που νοιαζόμαστε: η συνέλιξη χρειάζεται flip-and-slide — δες /foundations/systems.
Time-scaling / frequency relationship εμφανίζεται ξανά σαν ιδιότητα του Fourier transform.

Φόρτωση σχολίων…