Foundations · Reference·~20 min read

Μετασχηματισμοί σήματος

1. Νιώσε — γιατί χρειαζόμαστε αυτούς τους 5 μετασχηματισμούς

Όλα τα σήματα του μαθήματος ξεκινούν από κάποια «βασική» μορφή — ένα cosine, ένα τρίγωνο, μια κρουστική — και υφίστανται μικρές, καθαρές αλλαγές. Πέντε από αυτές τις αλλαγές είναι standard και επανέρχονται παντού σε εξετάσεις, διαλέξεις, και ορισμούς:

Το κουμπί έντασης στο ραδιόφωνό σου: ίδιο τραγούδι, αλλαγμένο πλάτος → amplitude scaling ( $A \cdot x (t)$ ).
Η καθυστερημένη προβολή μιας ταινίας: ίδια ταινία, αρχίζει αργότερα → time shift ( $x (t - t_{0})$ ).
Το VHS-rewind / αντίστροφη αναπαραγωγή: ίδιο σήμα, αλλά τρέχει από το τέλος προς την αρχή → time reversal ( $x (- t)$ ).
Το «×2 speed» του YouTube: ίδιο περιεχόμενο, αλλά τρέχει διπλάσια γρήγορα → time scaling ( $x (a t)$ ).
Το σύνθετο όρισμα $A \cdot x (a t + b)$ — η γενική μορφή που τα συνδυάζει όλα.

Όταν αυτά τα «κουμπιά» γίνουν φυσική γλώσσα, τα ξανασυναντάς:

Στη συνέλιξη: το $h (t - τ)$ είναι flip + slide του $h$ . Αν δεν διαβάζεις σωστά αυτή την έκφραση, η συνέλιξη μοιάζει με μαγεία αντί για μηχανική.
Στους Fourier: ο time shift γίνεται phase rotation, το time scaling αντιστρέφει το πλάτος του φάσματος (στενός παλμός → φαρδύ φάσμα).
Στη διαμόρφωση: ολόκληρη η AM είναι ένας «shift στη συχνότητα» που γεννιέται από έναν «πολλαπλασιασμό με cosine στον χρόνο».

Δεν χρειάζεται να τα μάθεις όλα τώρα — απλώς να τα διαβάζεις σωστά όταν τα δεις. Αυτή η σελίδα είναι το reference σου ώστε να μη χάνεις χρόνο σε σύγχυση τύπου «τι κάνει το $x (- 2 t + 1)$ ;»

2. Amplitude scaling — A · x(t)

Πολλαπλασιάζοντας όλο το σήμα με έναν σταθερό αριθμό $A$ αλλάζει μόνο ο κάθετος άξονας. Δεν αλλάζει η χρονική του συμπεριφορά.

$A > 1$ → ψηλαίνει
$0 < A < 1$ → χαμηλώνει
$A < 0$ → ανάκλαση γύρω από τον $x$ -άξονα (αλλαγή προσήμου ταυτόχρονα με αλλαγή πλάτους)

Ένα cosine παραμένει cosine ίδιας συχνότητας — απλώς πιο ψηλό ή πιο χαμηλό. Ο χρόνος δεν αγγίζεται καθόλου: τα peaks, τα zero crossings, η περίοδος μένουν εκεί που ήταν.

A · x(t) — amplitude scaling

A = 1.00

A > 1 ψηλαίνει, 0 < A < 1 χαμηλώνει, A < 0 αναποδογυρίζει γύρω από τον x-άξονα.

3. Time shift — x(t − t₀)

Αντικαθιστούμε t με t − t₀ στο όρισμα. Το σήμα ολισθαίνει κατά μήκος του χρόνου.

Σύμβαση που μπερδεύει τους πάντες

$t_{0} > 0$ σημαίνει ολίσθηση προς τα δεξιά (καθυστέρηση). $t_{0} < 0$ σημαίνει ολίσθηση προς τα αριστερά. Είναι αντιδιαισθητικό γιατί το πρόσημο μέσα στην παρένθεση είναι μείον, και ο νους θέλει να «ακυρώσει» τα δύο μείον σε ένα συν.

Το αξιόπιστο μνημονικό: «πότε γίνεται μηδέν αυτό που έχω μέσα στην παρένθεση;» — εκεί κάθεται η αρχική ενδιαφέρουσα στιγμή του σήματος τώρα. Στο $x (t - t_{0})$ , ο όρος γίνεται μηδέν όταν $t = t_{0}$ , άρα η αρχή του σήματος βρίσκεται στο $t_{0}$ . Αν $t_{0} = + 3$ , η αρχή πήγε στο $+ 3$ → δεξιά κατά 3.

Δοκίμασέ το στο demo: σύρε το $t_{0}$ στο $+ 1.5$ και δες την κορυφή του τριγώνου να πέφτει από $t = 1$ στο $t = 1 + 1.5 = 2.5$ .

x(t − t₀) — time shift

t₀ = +0.00

t₀ > 0 → ολίσθηση δεξιά (καθυστέρηση). t₀ < 0 → αριστερά. Μνημονικό: το σήμα κάθεται εκεί όπου το όρισμα γίνεται 0.

4. Time reversal — x(−t)

Αντικαθιστούμε t με −t. Το σήμα καθρεφτίζεται γύρω από τον $y$ -άξονα.

Άρτια σήματα ( $cos$ ): δεν αλλάζουν — $cos (- t) = cos (t)$ .
Περιττά σήματα ( $sin$ ): αλλάζουν πρόσημο — $sin (- t) = - sin (t)$ .
Αιτιατά σήματα (μη-μηδενικά μόνο για $t > 0$ ) γίνονται «αντι-αιτιατά» (μη-μηδενικά μόνο για $t < 0$ ).

Αυτό το «τι κάνει η αντιστροφή» είναι ακριβώς το κριτήριο για άρτιο / περιττό σήμα — δες τη σχετική ενότητα στο /foundations/signals.

x(−t) — time reversal

flipped — x(−t)

Καθρεφτίζεται γύρω από τον y-άξονα. Άρτια σήματα (cosine) μένουν ίδια· περιττά (sine) αλλάζουν πρόσημο.

5. Time scaling — x(at)

Αντικαθιστούμε t με at, όπου $a$ ένας μη-μηδενικός σταθερός αριθμός.

$∣ a ∣ > 1$ → συμπίεση στον χρόνο (το σήμα τρέχει πιο γρήγορα).
$0 < ∣ a ∣ < 1$ → επέκταση στον χρόνο (πιο αργά).
$a < 0$ → επιπλέον flip (όπως στο §4).

Για cosines: $cos (2 π f t)$ έχει συχνότητα $f$ , και $cos (2 π f a t)$ έχει συχνότητα $∣ f a ∣$ . Συμπίεση στον χρόνο = αύξηση της συχνότητας. Αυτή η αντιστροφή είναι η ίδια ιδέα που θα ξανασυναντήσεις ως ιδιότητα του Fourier transform (scaling property): στενός παλμός στον χρόνο ⇔ φαρδύ φάσμα στη συχνότητα.

x(a · t) — time scaling

a = 1.00

|a| > 1 → συμπίεση στον χρόνο (αύξηση συχνότητας). |a| < 1 → επέκταση. a < 0 προσθέτει flip.

6. Συνδυασμοί — η σειρά παίζει ρόλο

Σύνθετα ορίσματα όπως $x (a t + b)$ ή $A \cdot x (- t + T)$ διαβάζονται με έναν απλό κανόνα.

Παράδειγμα 1. $x (2 t - 4) = x (2 (t - 2))$ . Πρώτα συμπίεση κατά 2 (το σήμα τρέχει διπλά γρηγορότερα), μετά shift δεξιά κατά 2.

Παράδειγμα-κλειδί που εμφανίζεται στη συνέλιξη. $h (t - τ) = h (- (τ - t))$ (όταν θεωρούμε $τ$ μεταβλητή και $t$ σταθερά). Πρώτα flip, μετά shift δεξιά κατά $t$ . Αυτό είναι το flip-and-slide της συνέλιξης — θα το δούμε ζωντανά στο §7 παρακάτω, και πλήρως στο /foundations/systems.

Worked example. Έστω $x (t)$ τρίγωνο πλάτους 1, βάση $[0, 2]$ , κορυφή στο 1. Σχεδίασε το $x (- t + 3)$ .

$x (- t + 3) = x (- (t - 3))$ .
Βήμα 1 — flip: βάση $[- 2, 0]$ , κορυφή στο $- 1$ .
Βήμα 2 — shift δεξιά κατά 3: βάση $[1, 3]$ , κορυφή στο $2$ .

Αρχικό

x(t)

βάση [0, 2], κορυφή στο 1

Βήμα 1: Flip

x(−t)

βάση [−2, 0], κορυφή στο −1

Βήμα 2: Shift δεξιά κατά 3

x(−(t − 3))

βάση [1, 3], κορυφή στο 2

x(−t + 3) = x(−(t − 3)). Πρώτα flip (πρόσημο μέσα στην παρένθεση), μετά shift κατά 3 δεξιά.

Παίξε με συνδυασμούς ζωντανά. Το παρακάτω viz σου δίνει σύρτες $A, a, b$ για το πλήρες $y (t) = A \cdot x (a t + b)$ , σχεδιάζει κάθε στάδιο του canonical pipeline (scale → shift κατά $- b / a$ → amplitude), και έχει toggle για το «naive: shift πρώτα» μονοπάτι ώστε να φανεί γιατί η σειρά υπάρχει. Δοκίμασε τα presets και πρόσεξε πώς το peak μετακινείται διαφορετικά στα intermediate βήματα ανάλογα με τη σειρά — το τελικό αποτέλεσμα είναι ίδιο, αλλά το « $1/ a$ vs $1 - b$ vs $(1 - b) / a$ » είναι ακριβώς εκεί που μπερδεύονται οι περισσότεροι.

Πιλότοι μετασχηματισμών — δες τη σειρά να δουλεύει

Στόχος: $y (t) = A \cdot x (a t + b)$ πάνω στο τρίγωνο $x (t)$ με κορυφή στο $t = 1$ και βάση $[0, 2]$ . Σύρε τα $A, a, b$ και δες κάθε βήμα.

Προεπιλογές:

A — amplitude1.00

a — time scale (+/− = flip)2.00

b — offset-4.0

αρχικό

x(t)

peak στο t = 1.00

βήμα 1 — scale/flip

x(a·t)

peak στο t = 1/a = 0.50

βήμα 2 — shift κατά −b/a (όχι −b!)

x(a·t + b) = x(a(t + b/a))

shift κατά −b/a = 2.00 → peak στο (1−b)/a = 2.50

βήμα 3 — amplitude

A · x(a·t + b)

ύψος 1.00, peak στο t = 2.50

Δείξε το «naive: shift πρώτα, scale μετά» μονοπάτι

Η παγίδα. Και τα δύο μονοπάτια καταλήγουν στο

A \cdot x (a t + b)

αν εφαρμόσεις σωστά κάθε βήμα. Αλλά στο naive μονοπάτι σε στιγμή πρέπει να σκεφτείς «shift κατά

b

ή κατά

- b

;» — και η σύγχυση κάνει το λάθος. Στο canonical μονοπάτι (έβγαλε τον

a

έξω) η σειρά είναι πάντα ίδια: scale πρώτα, shift κατά $- b / a$ μετά. Παρατήρησε πώς το peak του intermediate διαφέρει —

1/ a

στο canonical βήμα 1,

1 - b

στο naive βήμα 1' — εκεί αρχίζει το λάθος.

Συμπύκνωσε — διάβασε σωστά κάθε x(at + b)

Λέξεις-κλειδιά

βγάλε τον $a$ έξω
scale πρώτα, shift μετά
shift κατά $- b / a$ (όχι $- b$ !)
flip αν $a < 0$
amplitude scaling τελευταίο

Βήματα

Ξαναγράψε τη μορφή: $A \cdot x (a t + b) = A \cdot x (a (t + b / a))$ .
**Time scaling κατά $a$ :** η κορυφή/χαρακτηριστικό σημείο του $x (t)$ από $t = 1$ πάει στο $t = 1/ a$ . Αν $a < 0$ , αυτό το βήμα περιλαμβάνει και flip.
**Shift κατά $- b / a$ :** η κορυφή από $1/ a$ πάει στο $(1 - b) / a$ . Πρόσεξε: shift κατά $- b / a$ , **όχι** κατά $- b$ .
**Amplitude scaling κατά $A$ :** πολλαπλασιάζει μόνο τις τιμές, ο χρόνος δεν αγγίζεται.

Η συχνότερη παγίδα

Η συχνότερη παγίδα: shift κατά $- b$ αντί για $- b / a$ . Αν παραλείψεις την παραγοντοποίηση και προσπαθήσεις να «διαβάσεις» απευθείας το

x (a t + b)

ως «scale κατά

a

και shift κατά

- b

», παίρνεις λάθος intermediate και πιθανότατα και λάθος τελικό αποτέλεσμα όταν τα συνδυάζεις με άλλους μετασχηματισμούς. Πάντα παραγοντοποίησε πρώτα — δες την «παγίδα» καρτέλα στο CombinedTransformationsViz για πλήρες παράδειγμα.

7. Προεπισκόπηση — γιατί όλα τα παραπάνω «τσιμπάνε» στη συνέλιξη

Ο πιο σημαντικός λόγος που έχουμε αυτή τη σελίδα: όταν θα δεις τη συνέλιξη

y (t) = (x * h) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ,

ο όρος $h (t - τ)$ είναι ακριβώς ένας συνδυασμός μετασχηματισμών από το §6 — με τη μεταβλητή ολοκλήρωσης να είναι το $τ$ (όχι το $t$ ). Διαβάζοντάς το με τον κανόνα: συντελεστής του $τ$ είναι $- 1$ , οπότε

h (t - τ) = h (- (τ - t)) \Rightarrow flip + shift δεξι \overset{α}{ˊ} κατ \overset{α}{ˊ} t .

Δηλαδή για κάθε τιμή του $t$ , παίρνεις το $h (τ)$ , το αναποδογυρίζεις, το μετακινείς δεξιά κατά $t$ , το πολλαπλασιάζεις με το $x (τ)$ , και ολοκληρώνεις τη γινομενική περιοχή. Το αποτέλεσμα είναι η τιμή του $y (t)$ στη συγκεκριμένη στιγμή. Όταν αλλάζεις το $t$ , το $h (t - τ)$ ολισθαίνει δεξιά — και η περιοχή του γινομένου αλλάζει συνεχώς. Αυτή είναι όλη η συνέλιξη.

Δες το ζωντανά στο παρακάτω viz (το flagship convolution playground). Παρατήρησε ότι η μεσαία γραμμή ( $h (t - τ)$ ) είναι flip και slide — ακριβώς οι δύο μετασχηματισμοί που μόλις διάβασες στο §6.

Flip-and-slide · y(t) = ∫ x(τ) · h(t − τ) dτ

Το παράδειγμα της διάλεξης.

x(τ)Είσοδος, στατική

h(t − τ)Η h αναποδογυρισμένη και ολισθαίνουσα κατά t

x(τ) · h(t − τ)Το γινόμενο · η σκιά είναι το τρέχον y(t)

y(t)Συσσωρεύεται καθώς προχωράει το t

t = 0.70

Αν αυτό σου φάνηκε φυσικό, καλώς ήρθες στη συνέλιξη. Αν όχι, ξαναδιάβασε το «Παράδειγμα-κλειδί» στο §6 και ξαναπαίξε με το slider. Η πλήρης μεταχείριση της συνέλιξης είναι στο /foundations/systems.

8. Ανακάλεσε — δοκίμασε από μνήμης

Βάλε τα βήματα στη σωστή σειρά

Σου δίνεται

y (t) = A \cdot x (a t + b)

. Βάλε τα 4 βήματα στη σωστή σειρά για να αποφύγεις τα signs που μπερδεύουν.

Σύρε τις γραμμές για αναδιάταξη — ή χρησιμοποίησε τα βελάκια .

1.
Ξαναγράψε τη μορφή ως A·x(a(t + b/a)) — βγάλε τον συντελεστή a έξω από την παρένθεση.
2.
Εφάρμοσε shift κατά −b/a (όχι κατά −b!) — η κορυφή πάει από t=1/a στο t=(1−b)/a.
3.
Εφάρμοσε scaling στο time-axis κατά a (αν a<0, αυτό περιλαμβάνει και flip): από x(t) σε x(at).
4.
Εφάρμοσε amplitude scaling κατά A — πολλαπλασιάζεις τις τιμές, ο time-axis δεν αλλάζει.

Συμπλήρωσε τα κενά

Παραγοντοποίησε το όρισμα του

x (3 t - 9)

. Συμπλήρωσε τα κενά για να το γράψεις στη μορφή του «κανόνα §6»:

x (3 t - 9) = x (

\cdot (t

))

Ανακάλεσε από μνήμη

Χωρίς να δεις το σχήμα: το

x (t - 5)

— προς ποια κατεύθυνση μετακινείται το σήμα σε σχέση με το

x (t)

, και κατά πόσο; Πες επίσης γιατί (το μνημονικό).

9. Αναγνώρισε — πώς θα ξεχωρίσεις τα transformation-problems στην εξέταση

Πώς θα το αναγνωρίσεις

Αν δεις στην εκφώνηση

«σχεδιάστε y(t) = x(at+b) / x(-t+T)»
«βρες τις φασματικές συνιστώσες του δ(t-T₁)»
«βρες το h(t-τ) στη συνέλιξη»
«αν τ μεγαλώσει σε ... sec, τι αλλάζει στο φάσμα»
«πώς αλλάζει το AM σήμα αν αλλάξει η φάση του carrier»
«σχεδίασε το AM σήμα cos(ωt) · m(t)»
«σχεδίασε το σήμα και το φάσμα του»

Όλα τα παραπάνω σινιάλα δηλώνουν ότι κάπου στο πρόβλημα πρέπει να «διαβάσεις» ένα τροποποιημένο όρισμα — είτε σε σχήμα, είτε σε τύπο, είτε σε σύγκριση. Όταν εμφανιστεί:

Πρώτα διάγνωσε ποιοι μετασχηματισμοί υπάρχουν. Αν είναι ένα: εφάρμοσέ τον απευθείας. Αν είναι δύο ή τρεις (το σύνηθες σε εξέταση), βγάλε τον συντελεστή του ανεξάρτητη μεταβλητή έξω από την παρένθεση πρώτα (κανόνας §6).
Ξεχώρισε χρόνο από συχνότητα. Στο sketching χρονικού σήματος → δουλεύεις απευθείας με τους μετασχηματισμούς αυτής της σελίδας. Στο sketching φάσματος → ο time shift γίνεται phase factor ( $e^{- j 2 π f t_{0}}$ ), το time scaling αντιστρέφεται ( $x (a t) \leftrightarrow (1/∣ a ∣) X (f / a)$ ) — δηλαδή οι ίδιοι μετασχηματισμοί παίρνουν διαφορετική μορφή στο frequency domain.
Για το $δ (t - T_{1})$ : ο time shift της κρουστικής δεν αλλάζει το πλάτος του φάσματος (παραμένει $∣ G (f) ∣ = 1$ ), αλλά εμφανίζεται ως γραμμική φάση $- 2 π f T_{1}$ . Αυτό είναι η ιδιότητα time-shift του Fourier.
Στη συνέλιξη: όταν δεις $h (t - τ)$ , σκέψου «flip + slide» (§7). Η ολοκλήρωση είναι ως προς $τ$ , οπότε το $t$ είναι παράμετρος που σύρει το $h$ δεξιά.
Στο AM: ο πολλαπλασιασμός $m (t) cos (2 π f_{c} t)$ δίνει shift του φάσματος $M (f)$ στα $\pm f_{c}$ — εκεί φαίνεται το modulation theorem ως time-domain πολλαπλασιασμός = frequency-domain convolution = shift.

Πού εμφανίζεται στα παλιά θέματα

10. Πού θα χρειαστείς τα παραπάνω αργότερα

/foundations/systems — η ολόκληρη συνέλιξη ζει πάνω στο « $h (t - τ)$ = flip + slide». Αν διαβάζεις σωστά αυτή την έκφραση, η συνέλιξη γίνεται μηχανική διαδικασία αντί για μαγεία.
/foundations/fourier-transform — οι ιδιότητες time-shift (γραμμική φάση), scaling (αντιστροφή πλάτους), και time reversal (συζυγική συμμετρία) χτίζονται πάνω στα μετασχηματισμό-βασικά αυτής της σελίδας.
/am/conventional και η όλη οικογένεια AM — το modulation theorem είναι «πολλαπλασιασμός με cosine = shift στο φάσμα». Όταν θες να σχεδιάσεις χρονικά ή να εξηγήσεις «γιατί τα sidebands εμφανίζονται στα $\pm f_{c}$ », οι μετασχηματισμοί αυτής της σελίδας είναι το γλωσσικό σύστημα.
/fm/idea και FM — οι instantaneous-frequency εκφράσεις χρησιμοποιούν τα ίδια vocabulary skills για να διαβαστούν.
Σε κάθε exam problem που ζητάει «σχεδιάστε το σήμα» ή «πώς αλλάζει το φάσμα αν...» — η ανάγνωση του τύπου περνάει από αυτή τη σελίδα.

11. Συμπύκνωσε όλους τους μετασχηματισμούς

Συμπύκνωσε όλο το κεφάλαιο

Λέξεις-κλειδιά

amplitude scaling — A · x(t)
time shift — x(t − t₀), δεξιά αν t₀>0
time reversal — x(−t), καθρέφτης γύρω από y-άξονα
time scaling — x(at), συμπίεση/επέκταση + flip αν a<0
συνδυασμός — βγάλε τον a έξω, scale πρώτα, shift κατά −b/a μετά
flip + slide → συνέλιξη
time shift ⇔ phase factor στη συχνότητα
time scaling ⇔ inverse scaling στη συχνότητα

Βήματα

Διάβασε το τροποποιημένο όρισμα: είναι ένας από τους 4 βασικούς ( $A, t - t_{0}, - t, a t$ ) ή σύνθεση τους;
Αν είναι σύνθεση, **παραγοντοποίησε** πρώτα: $A \cdot x (a t + b) = A \cdot x (a (t + b / a))$ .
Εφάρμοσε στη σειρά: **scaling/flip** (κατά $a$ ) → **shift** (κατά $- b / a$ ) → **amplitude** (κατά $A$ ).
Έλεγξε με το «πότε γίνεται μηδέν το όρισμα» μνημονικό: η αρχική κορυφή του $x (t)$ έχει βρεθεί όπου το νέο όρισμα ξαναπαίρνει την ίδια τιμή.
Όταν συναντάς $h (t - τ)$ σε συνέλιξη: flip + shift δεξιά κατά $t$ . Όταν στη συχνότητα: $e^{- j 2 π f t_{0}}$ για time shift, $1/∣ a ∣ \cdot X (f / a)$ για time scaling.

Η συχνότερη παγίδα

Η συχνότερη παγίδα — πρόσημο σε time shift και shift με $- b$ αντί για $- b / a$ . Και τα δύο πέφτουν αν παραγοντοποιήσεις τον

a

έξω από την παρένθεση πριν διαβάσεις οτιδήποτε. Αν χτυπήσεις και πάλι το λάθος μετά την παραγοντοποίηση, πιθανότατα έχεις μπερδέψει τη σύμβαση «δεξιά / αριστερά» — γύρνα στο μνημονικό §3 και ξανατρέξε ένα demo.

Τι μάθαμε

Πέντε «κουμπιά» μετασχηματισμού: amplitude scaling ( $A \cdot x (t)$ ), time shift ( $x (t - t_{0})$ → δεξιά αν $t_{0} > 0$ ), time reversal ( $x (- t)$ → καθρέφτης), time scaling ( $x (a t)$ → συμπίεση αν $∣ a ∣ > 1$ , με flip αν $a < 0$ ), και ο συνδυασμός $A \cdot x (a t + b)$ .
Για συνδυασμό: παραγοντοποίησε $a$ έξω → $A \cdot x (a (t + b / a))$ → scale πρώτα, shift κατά $- b / a$ μετά, amplitude τελευταίο.
Το συχνότερο σφάλμα είναι shift κατά $- b$ αντί για $- b / a$ . Η παραγοντοποίηση το διορθώνει μηχανικά.
Το «flip + slide» που γεννιέται από $h (t - τ)$ είναι ακριβώς ό,τι κάνει η συνέλιξη — αυτή η σελίδα είναι η προετοιμασία για να μη μοιάζει η συνέλιξη με μαγεία.
Στη συχνότητα, οι ίδιοι μετασχηματισμοί μεταφέρονται μέσω των ιδιοτήτων του Fourier transform: time shift ↔ phase factor, time scaling ↔ αντίστροφη κλίμακα συχνότητας.

Εξάσκηση

0 / 6 λυμένα

Έξι ερωτήσεις. Οι τέσσερις πρώτες δοκιμάζουν μια συγκεκριμένη παγίδα (κατεύθυνση shift, συχνότητα από time scaling, σειρά μετασχηματισμών, parity & flip). Η πέμπτη είναι το «πώς συνδέεται με τη συνέλιξη». Η έκτη είναι ένα real exam problem για το $δ (t - T_{1})$ — απευθείας εφαρμογή του time shift στη συχνότητα.

Σχετικές σελίδες

Πρώτη εμφάνιση και πλήρης κουβέντα: /foundations/signals §4.5.
Ο πιο σημαντικός λόγος που νοιαζόμαστε: η συνέλιξη χρειάζεται flip-and-slide — δες /foundations/systems.
Time-scaling / frequency relationship εμφανίζεται ξανά σαν ιδιότητα του Fourier transform.
Σε όλη τη διαμόρφωση (AM, DSB, SSB, FM) — οι μετασχηματισμοί αυτής της σελίδας είναι το γλωσσικό σύστημα για να διαβάζεις τα bandpass σήματα.

Τελείωσες αυτή τη σελίδα;

Φόρτωση σχολίων…