Πηγές θορύβου — από πού έρχεται και πώς ορίζεται

1. Νιώσε — από τη μηχανή PSD στις φυσικές πηγές

Στο /randomness/psd πήραμε τη μηχανή που μετατρέπει «τυχαία διαδικασία» σε «κατανομή ισχύος ανά Hz»:

Είναι μια γενική γέφυρα — δουλεύει για κάθε WSS ΤΔ. Αλλά μέχρι τώρα δεν έχει «υλικό σώμα»: η $R_X(\tau )$ ήταν δοσμένη από έξω (Lorentzian, random-phase cosine, …) και η σελίδα κατασκεύαζε τη μηχανή γύρω της.

Από εδώ και πέρα, σε κάθε σελίδα της Noise group, θα ξεκινάμε από την αντίθετη πλευρά: μας δίνουν μια φυσική πηγή θορύβου (αντιστάτης σε θερμοκρασία $T$, photodiode με DC ρεύμα $I_0$, antenna chain, amplifier με συγκεκριμένο noise figure) και η δουλειά μας είναι να πούμε πόσο μεγάλη είναι η PSD της. Δεν παράγουμε καινούρια θεωρία — εφαρμόζουμε ξανά και ξανά την ίδια μηχανή PSD πάνω σε διαφορετικές πηγές.

Operational χάρτης: οι 5 σελίδες της Noise group εφαρμόζουν τη μηχανή PSD σε διαφορετικά setups:

Όλη η αλυσίδα ξεκινάει από τη μία γραμμή που θα παράγουμε στις §2–§5 παρακάτω.

2. Τι είναι ο θερμικός θόρυβος

Ο θερμικός θόρυβος (thermal noise), ή θόρυβος Johnson, είναι η ηλεκτρική διαταραχή που γεννιέται από τη θερμική διέγερση των ηλεκτρονίων μέσα σε έναν αγωγό — από εκεί και το όνομά του. Έχει σπουδαία σημασία στις τηλεπικοινωνίες γιατί εμφανίζεται σε κάθε ωμική αντίσταση των ηλεκτρονικών διατάξεων: δεν τον φτιάχνεις και δεν τον αποφεύγεις — υπάρχει όσο η διάταξη έχει θερμοκρασία πάνω από το απόλυτο μηδέν.

Δύο πράγματα τον χαρακτηρίζουν, και τα δύο θα τα χρειαστούμε παρακάτω:

1. Πού γεννιέται. Σε κάθε ωμικό στοιχείο (αντιστάτης, εσωτερική αντίσταση transistor, αντίσταση συνδέσμου, κεραία αν θεωρηθεί ως πομποπηγή θερμικού θορύβου) τα ηλεκτρόνια έχουν τυχαία θερμική κίνηση γύρω από τη μέση τους θέση. Αυτή η κίνηση παράγει μια τυχαία τάση στα άκρα του στοιχείου.
2. Τι κατανομή έχει. Ο αριθμός των ηλεκτρονίων σε έναν αγωγό είναι τεράστιος και οι τυχαίες κινήσεις τους είναι στατιστικά ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η συνολική τάση είναι λοιπόν άθροισμα πάρα πολλών ανεξάρτητων μικρών συμβολών — και το θεώρημα κεντρικού ορίου (central limit theorem, εν συντομία CLT) λέει ότι ένα τέτοιο άθροισμα ακολουθεί κατανομή Gauss, με μηδενική μέση τιμή, αφού η μέση θέση των ηλεκτρονίων δεν μετατοπίζεται.

Αυτό είναι το φυσικό σώμα της Gaussian κατανομής που μέχρι τώρα τη βλέπαμε αξιωματικά. Όταν λέμε «AWGN» (Additive White Gaussian Noise) σε μια εξεταστική, η μόνη υπόθεση που χρειάζεται μη-προφανή απόδειξη είναι το «λευκός». Το «Gaussian» έρχεται δωρεάν από το CLT.

3. Η διακύμανση της τάσης: ${\sigma }^2=4kTRW$

Ας γίνουμε ποσοτικοί. Έστω $N(t)$ η ΤΔ της τάσης που προκύπτει από την τυχαία κίνηση των ηλεκτρονίων. Σε κάθε χρονική στιγμή $t_i$ είναι μια Gaussian ΤΜ με μηδενική μέση τιμή, άρα η ΣΠΠ της έχει την κανονική μορφή:

$f_{N(t_i)}(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/(2{\sigma }^2)}\forall t_i.$

Όλη η πληροφορία μαζεύεται λοιπόν σε μία παράμετρο, τη διακύμανση — και η φυσική (Nyquist) δίνει γι' αυτήν:

${\sigma }^2\triangleq E[N^2(t)]=4kTRW{\text{Volts}}^2,$

με $k=1.38\times 10^{-23}$ J/K τη σταθερά Boltzmann, $T$ την απόλυτη θερμοκρασία σε Kelvin, $R$ την αντίσταση σε Ohm και $W$ το εύρος ζώνης συχνοτήτων σε Hertz.

Δεν χρειάζεται να αποδείξεις αυτόν τον τύπο. Είναι το θεώρημα του Nyquist: προκύπτει από τη στατιστική θερμοδυναμική (σε θερμική ισορροπία κάθε «mode» κουβαλά ενέργεια τάξης $kT$ — equipartition / fluctuation-dissipation) και η πλήρης απόδειξη ανήκει σε μάθημα φυσικής, εκτός ύλης του K21. Εδώ τον παίρνεις ως δεδομένο και τον εφαρμόζεις — όπως και τη σταθερά $k$, που είναι παγκόσμια (η γέφυρα θερμοκρασίας–ενέργειας). Σημασία για σένα δεν έχει το «από πού βγαίνει», αλλά το «από τι εξαρτάται» — και αυτό το χτίζουμε αμέσως πιο κάτω.

Πώς να το διαβάσεις:

• Η ΣΠΠ έχει την ίδια κανονική μορφή που είδαμε στο /randomness/random-variables §4 — η μηδενική μέση τιμή φαίνεται από το ότι η εκθετική είναι «$-x^2$», όχι «$-(x-\mu {)}^2$».
• Η διακύμανση εξαρτάται από τρία πράγματα: τη θερμοκρασία $T$ (όσο πιο ζεστή η αντίσταση, τόσο πιο έντονη η ηλεκτρονική κίνηση), την αντίσταση $R$ (πιο μεγάλο $R$ → μεγαλύτερη τάση για το ίδιο ρεύμα), και το εύρος ζώνης συχνοτήτων $W$ μέσα στο οποίο μετράμε.
• Ο παράγοντας 4 προκύπτει από την παραγωγή Nyquist του θορύβου με matched load — θα τον δούμε να φεύγει στη §5.

4. Receiver με εσωτερικές διατάξεις: η ενεργός θερμοκρασία $T_e$

Όταν η αντίσταση είναι μέρος ενός δέκτη, ο θερμικός θόρυβος που μετράμε δεν είναι μόνο από αυτή: οι εσωτερικές διατάξεις του δέκτη (transistors, amplifiers) παράγουν επιπρόσθετο θόρυβο που δρα αρνητικά στην ποιότητα του σήματος στην έξοδο. Για να τον συμπεριλάβουμε, η διακύμανση γράφεται πιο σωστά:

${\sigma }^2=E[N^2(t)]=4k(T_e+T_i)RW,$

όπου $T_i$ είναι η θερμοκρασία περιβάλλοντος και $T_e$ η ενεργός θερμοκρασία θορύβου — η θερμοκρασία που θα έπρεπε να έχει μια αντίσταση ώστε να παράγει από μόνη της όσο θόρυβο παράγουν όλες οι ηλεκτρονικές διατάξεις του δέκτη μαζί.

Διάβασε προσεκτικά τον ορισμό του $T_e$. Δεν είναι η πραγματική θερμοκρασία του chip· είναι η ισοδύναμη θερμοκρασία που θα έπρεπε να είχε ένας απλός αντιστάτης για να παράγει τόσο θόρυβο όσο όλο το ηλεκτρονικό μέρος του δέκτη μαζί. Είναι λογιστική παράμετρος — αλλά εξαιρετικά χρήσιμη, γιατί επιτρέπει να γράφεις όλα τα προβλήματα ως εάν είχες ένα ενιαίο «θερμό» αντιστάτη με θερμοκρασία $T_e+T_i$.

Ορολογική πινακίδα — να την μάθεις απέξω:

5. Από τη διακύμανση στην PSD

Έχουμε τη διακύμανση της τάσης σε Volts². Για να φτάσουμε στην PSD σε Watts/Hz — τη μορφή που τροφοδοτεί τη μηχανή της §1 — κάνουμε τρία βήματα. Μάθε τα απέξω: εμφανίζονται σχεδόν ταυτόσημα σε εξεταστικές.

1. Διακύμανση τάσης (από τη §3): ${\sigma }^2=E[N^2(t)]=4kTRW$ σε Volts².
2. Matched-load power: όταν συνδέσεις τον αντιστάτη με ένα φορτίο ίσο με $R$ (μέγιστη μεταφορά ισχύος), το ρεύμα γίνεται $V/(2R)$ και η ισχύς στο φορτίο $V^2/(4R)$. Άρα η κανονικοποιημένη ισχύς θορύβου είναι ${\mathcal{P}}_N=E[N^2]/(4R)=\boxed{kTW}$ Watts. Ο παράγοντας 4 που είχαμε στη διακύμανση σβήνει εδώ — όχι μαγικά, αλλά λόγω του matched-load.
3. PSD από τη συνολική ισχύ: η ισχύς $P_N=kTW$ απλώνεται σε ζώνη $W$ Hz, άρα η ισχύς ανά Hz είναι $kT$ W/Hz μονής όψεως. Σε δίψας όψεως convention η ίδια ισχύς μοιράζεται στις θετικές και τις αρνητικές συχνότητες, οπότε:

${\mathcal{S}}_N(f)=\frac{kT}{2}\text{Watts/Hz},|f|\le 10^{12}\text{Hz}.$

Πού πάει ο cutoff $10^{12}$ Hz; Στη φυσική περιοχή του THz (κβαντική περιοχή Planck), ο τύπος Nyquist χάνει την ακρίβεια του και η σωστή φόρμουλα είναι $S_N(f)=hf/(e^{hf/kT}-1)$. Σε όλες τις τηλεπικοινωνιακές συχνότητες (kHz έως μερικές δεκάδες GHz) ισχύει $hf\ll kT$ και ο τύπος γίνεται $\approx kT$. Επομένως, πρακτικά, ο θερμικός θόρυβος είναι λευκός μέσα στη ζώνη που μας ενδιαφέρει.

6. Από τον θερμικό θόρυβο στο «λευκό» μοντέλο

Η ταυτότητα ${\mathcal{S}}_N(f)=kT/2$ είναι επίπεδη σε όλο το εύρος που μας ενδιαφέρει. Αυτό μας επιτρέπει να ορίσουμε μια καθαρά μαθηματική ΤΔ που θα γίνει το λεξιλόγιό μας στις επόμενες σελίδες: ο θόρυβος που παρουσιάζει επίπεδο φάσμα σε όλες τις συχνότητες ονομάζεται λευκός θόρυβος (white noise).

Η ΦΠΙ της ΤΔ λευκού θορύβου $N(t)$ είναι, εξ ορισμού, μια σταθερά:

${\mathcal{S}}_N(f)=\frac{N_0}{2},f\in (-\infty ,+\infty ),\text{οˊπου}{N}_0\triangleq kT.$

Για θερμοκρασία δωματίου $T=290$ K προκύπτει $N_0=10^{-21}$ Watts/Hz. Και επειδή ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier μιας σταθεράς είναι δέλτα, η ΣΑΣ του λευκού θορύβου είναι:

$R_N(\tau )={\mathcal{F}}^{-1}[{\mathcal{S}}_N(f)]=\frac{N_0}{2}\delta (\tau ).$

Τρεις παρατηρήσεις που θα χρειαστείς:

1. Η μετάβαση από το $kT/2$ στο $N_0/2$ είναι μια αλλαγή ονομασίας: ορίζοντας $N_0\triangleq kT$ βαφτίζουμε την ίδια ποσότητα. Από αυτή τη γραμμή και κάτω, όλη η θεωρία θορύβου γράφεται σε $N_0$-γλώσσα — γιατί τα downstream προβλήματα δεν χρειάζονται απαραίτητα να ξέρουν την τιμή του $T$.
2. Ο λευκός θόρυβος ορίζεται μέσω της PSD (επίπεδο φάσμα), όχι μέσω της κατανομής στο χρόνο. Είναι καθαρά spectral ιδιότητα.
3. Η ΣΑΣ είναι δέλτα — αυτό σημαίνει «τιμές σε δύο διαφορετικές στιγμές είναι ασυσχέτιστες». Αυτό είναι κρίσιμο: θα μας πει ότι η ισχύς σε ζώνη $W$ είναι γραμμική συνάρτηση του $W$.

7. Η σύνοψη του θερμικού θορύβου

Μαζεύοντας τα §2–§6, ο θερμικός θόρυβος περιγράφεται πλήρως από τέσσερις ιδιότητες. Αυτό είναι το κουτί που πρέπει να αναπαράγεις σε κάθε εξεταστική όπου σου ζητούν να τον περιγράψεις:

Αυτές οι 4 γραμμές είναι όλο το vocabulary που θα χρειαστείς για να γράψεις «AWGN» μέσα σε αναλύσεις SNR. Στο εξής, οποτεδήποτε εμφανίζεται λευκός Gaussian θόρυβος με $N_0/2$, μετάφραση: η ΤΔ είναι WSS + zero-mean + Gauss + flat PSD.

Πώς μοιάζει στην πράξη

Πώς να τη διαβάσεις:

• Πάνω panel — μία realization του θερμικού θορύβου στον χρόνο: ένα ολόκληρο σήμα $n(t)$, ένα από τα άπειρα δυνατά του ensemble. Ο υπολογιστής το σχεδιάζει ως N διακριτά samples — τις τιμές του $n(t)$ σε N χρονικές στιγμές (αυτό μετράει το slider «N samples»· δεν είναι το ίδιο με τη realization, που είναι ολόκληρο το σήμα). Οι τιμές είναι τυχαίοι αριθμοί από Gaussian με μηδενική μέση τιμή — γρήγοροι, ασυσχέτιστοι (καμία «μνήμη»). Αν αλλάξεις seed («Νέα δειγματοληψία»), παίρνεις άλλη realization — διαφορετική γραμμή, ίδιες ιδιότητες.
• Κάτω panel — η εκτιμώμενη PSD. Στη θεωρία είναι επίπεδη στα $N_0/2$ (η κόκκινη διακεκομμένη). Εδώ κρύβεται μια λεπτή αλλά σημαντική παγίδα: το periodogram μιας realization ($M=1$) είναι πάντα οδοντωτό «δάσος» και δεν ισιώνει όσο κι αν μεγαλώσεις το $N$ — κάθε συχνότητα κρατά ~100% τυχαίο σφάλμα, οπότε περισσότερα samples δίνουν περισσότερα «δέντρα», όχι πιο επίπεδη γραμμή. Αυτό που το ισιώνει είναι ο μέσος όρος πολλών realizations: σύρε το $M$ και τα δέντρα μαζεύονται στη θεωρητική γραμμή (η διασπορά της εκτίμησης πέφτει $\propto 1/M$).
• Όλη η §6–§7 σύνοψη φαίνεται εδώ ζωντανά: Gaussian στον χρόνο, και — μετά από μέσο όρο αρκετών realizations — επίπεδη PSD στη συχνότητα. Δεν χρειάζεται να υπολογίσεις τίποτα· αρκεί να αναγνωρίζεις τη συμπεριφορά.

8. Αριθμητική — πόσο μεγάλος είναι ο θόρυβος στην πράξη

Εδώ απλώς βάζουμε αριθμούς στον τύπο $N_0=kT$ — καμία νέα θεωρία — για να δούμε πόσο μικρός είναι ο θερμικός θόρυβος και πώς τον γράφουν οι μηχανικοί. Θα χρειαστούμε λίγη ορολογία μονάδων (dB, dBm, εύρος ζώνης)· αν σου φαίνεται μακρινή, την ξαναχτίζουμε από την αρχή πιο κάτω — μη σε τρομάζει.

Η σταθερά Boltzmann είναι μικροσκοπική, οπότε σε θερμοκρασία δωματίου ($T_0=290$ K):

Το «Watts/Hz» σημαίνει ισχύς θορύβου σε κάθε 1 Hz εύρους ζώνης — πόση ισχύς θορύβου «κάθεται» σε κάθε ένα hertz της περιοχής συχνοτήτων.

Μικρή υπενθύμιση για το εύρος ζώνης $B$ (bandwidth), γιατί θα το χρειαστούμε αμέσως: είναι το πλάτος της περιοχής συχνοτήτων που αφήνει να περάσει ο δέκτης ή το κανάλι, μετρημένο σε Hz. Ένα κανάλι που περνά συχνότητες από $f_1$ ως $f_2$ έχει $B=f_2-f_1$. Η συνολική ισχύς θορύβου μέσα σε αυτή τη ζώνη είναι $P_N=N_0\cdot B$: κάθε Hz βάζει $N_0$ Watts, και τα προσθέτεις σε όλο το πλάτος $B$. (Είναι το ίδιο μέγεθος με το $W$ της §3 — $B=W$.)

dB και dBm — από την αρχή

Οι ισχύες στις τηλεπικοινωνίες απλώνονται σε τεράστιο εύρος: από $\sim 10^{-21}$ Watt θορύβου ως δεκάδες Watt εκπομπής. Για να μη γράφουμε εκθέτες παντού, τις βάζουμε σε λογαριθμική κλίμακα, τα decibel (dB). Τρία πράγματα φτάνουν:

1. Το dB μετράει έναν λόγο ισχύων (πόσες φορές πιο δυνατό). Αν συγκρίνεις μια ισχύ $P$ με μια αναφορά $P_{\text{ref}}$, ο λόγος τους σε dB είναι $10{\log }_{10}(P/P_{\text{ref}})$. Δεκαπλάσια ισχύς δίνει $+10$ dB, εκατονταπλάσια $+20$ dB, η μισή ισχύς $\approx -3$ dB (ο κανόνας «$\times 2\Rightarrow +3$ dB» είναι ο πιο χρήσιμος).

2. Γιατί στα φίλτρα ήταν $20\log$ χωρίς ορατή διαίρεση, κι εδώ $10\log$ με λόγο $P/P_{\text{ref}}$; Δύο φαινομενικές διαφορές, ίδιο πράγμα από κάτω.

Η «χαμένη» διαίρεση. Στα φίλτρα (§6α) το $|H(f)|$ είναι ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το σήμα — δηλαδή πλάτος εξόδου ÷ πλάτος εισόδου. Είναι λοιπόν ήδη ένας λόγος, γι' αυτό δεν έβλεπες κάποιο «$/P_{\text{ref}}$»: η αναφορά (η είσοδος) είναι ήδη χωμένη μέσα στο $|H|$. Εδώ απλώς γράφουμε τον λόγο ρητά, $P/P_{\text{ref}}$.

Το $20$ αντί για $10$. Στα φίλτρα το $|H|$ είναι πλάτος, ενώ η ισχύς βγαίνει στο τετράγωνο, $|H{|}^2$ — εκεί ακριβώς λέγαμε «$60$ dB attenuation → $|H|<0.001$ → ισχύς $|H{|}^2<10^{-6}$». Το dB όμως στην καρδιά του μετράει ισχύ, και $10{\log }_{10}(|H{|}^2)=20{\log }_{10}(|H|)$. Άρα το «$20\log |H|$» είναι απλώς ο σύντομος τρόπος να γράψεις «$10\log$ της ισχύος $|H{|}^2$» — ίδια κλίμακα dB.

Κανόνας τσέπης: αν στον λογάριθμο μπαίνει ισχύς, $10\log$· αν μπαίνει πλάτος (κάτι που υψώνεται στο τετράγωνο για να δώσει ισχύ), $20\log$.

3. Το dBm είναι απόλυτη ισχύς σε dB, με σημείο μηδέν το 1 mW. Το «m» σημαίνει «σε σχέση με 1 milliwatt»: $P[\text{dBm}]=10{\log }_{10}(P/1\text{mW})$.

Πρώτα οι μονάδες — είναι απλώς υποδιαιρέσεις του Watt, με κάθε σκαλί προς τα κάτω να είναι $÷1000$: mW = milliwatt = $10^{-3}$ W (χιλιοστό του Watt), μW = microwatt = $10^{-6}$ W (εκατομμυριοστό· το «μ» είναι το πρόθεμα «micro»), nW = nanowatt = $10^{-9}$ W (δισεκατομμυριοστό). Δηλαδή 1 mW = 1000 μW, και 1 μW = 1000 nW.

Πώς βγαίνουν τα νούμερα: είναι ο ίδιος τύπος $P[\text{dBm}]=10{\log }_{10}(P/1\text{mW})$, απλώς λυμένος ως προς $P$. Γράφοντας $x$ για την τιμή σε dBm:

• $x=10{\log }_{10}(P/1\text{mW})$  →  διαιρούμε με 10  →  $x/10={\log }_{10}(P/1\text{mW})$.
• Αναιρούμε τον λογάριθμο: ο ${\log }_{10}(y)$ ρωτάει «το 10 σε ποια δύναμη δίνει $y$;», άρα αν υψώσουμε το 10 σε αυτή τη δύναμη παίρνουμε πίσω το $y$ (δηλαδή $10^{{\log }_{10}y}=y$). Υψώνοντας λοιπόν το 10 στη δύναμη κάθε πλευράς: $10^{x/10}=P/1\text{mW}$.
• Πολλαπλασιάζουμε με 1 mW: $P=1\text{mW}\times 10^{x/10}$.

Με δυο λόγια, κάθε $-10$ dB διαιρεί την ισχύ με 10:

• $0$ dBm $\to 1\text{mW}\times 10^0=1$ mW (το σημείο αναφοράς).
• $-30$ dBm $\to 1\text{mW}\times 10^{-3}=1$ μW (τρία σκαλιά $-10$ dB $\Rightarrow ÷1000$, και 1 mW$/1000=1$ μW).
• $-60$ dBm $\to 1\text{mW}\times 10^{-6}=1$ nW (άλλα τρία σκαλιά, άλλο ένα $÷1000$).

Στην κλίμακα dBm, πιο αρνητικό σημαίνει πιο μικρή ισχύς — για οτιδήποτε, σήμα ή θόρυβο. Ο θερμικός θόρυβος είναι τόσο μικρός που σε dBm βγαίνει πάντα βαθιά αρνητικός, και αυτό από μόνο του είναι καλό: λιγότερος θόρυβος σημαίνει χαμηλότερο «πάτωμα θορύβου», άρα πιο αδύναμα σήματα μπορούν ακόμα να ξεχωρίσουν. Ο λόγος που μας απασχολεί ένας τόσο μικρός θόρυβος είναι ότι και τα σήματα που φτάνουν στον δέκτη είναι εξίσου μικροσκοπικά — μετά από χιλιόμετρα διαδρομής ίσως $-90$ dBm ή και χαμηλότερα, όχι πολύ πάνω από το πάτωμα. Αυτό που κρίνει τη λήψη δεν είναι το απόλυτο μέγεθος του θορύβου, αλλά η απόσταση του σήματος από τον θόρυβο (το SNR που ορίζουμε στη §9).

Τέλος, η σημειογραφία με αγκύλες: όταν γράφουμε $N_0[\text{dBm/Hz}]$ εννοούμε «το $N_0$ εκφρασμένο σε dBm/Hz», όπως θα λέγαμε «5 [kg]» — η αγκύλη λέει απλώς σε ποια μονάδα μετράμε. Έτσι $P_N[\text{dBm}]$ = η ισχύς θορύβου μετρημένη σε dBm.

Με αυτά, μετατρέπουμε το $N_0=4\times 10^{-21}$ Watts/Hz σε dBm/Hz με τον πιο απλό τρόπο: διάβασέ το ως «$4\times 10^{-21}$ W, ανά Hz», μετέτρεψε το W-μέρος σε dBm ακριβώς όπως στο σημείο 3 (είναι ισχύς: $10\log$ με αναφορά 1 mW), και ξανακόλλησε το «/Hz»:

Γιατί επιτρέπεται να «βγάλεις» έτσι το /Hz; Γιατί το «dBm/Hz» μετριέται ως προς 1 mW ανά Hz, που έχει τον ίδιο αριθμό αναφοράς ($10^{-3}$) με το σκέτο 1 mW — απλώς κουβαλάει κι αυτό το «/Hz». Έτσι το «/Hz» υπάρχει και πάνω και κάτω, απλοποιείται, και ισοδύναμα το κρατάς σαν ετικέτα στο τέλος· ποτέ δεν μπαίνει μέσα στον λογάριθμο (εκεί είναι πάντα W διά W, καθαρός αριθμός). Σε φυσικούς όρους, αυτό το $-174$ dBm είναι ακριβώς η ισχύς θορύβου σε 1 Hz — αφού ισχύς $=\int \text{PSD}=N_0\cdot B$ με $B=1$ Hz.

(Όλα με αριθμομηχανή — που επιτρέπεται στην εξέταση. Το μόνο που χρειάζεται «στο μυαλό» είναι ${\log }_{10}4\approx 0.6$, οπότε $10(0.6-18)=-174$.)

Αυτό το $-174$ dBm/Hz είναι θεμελιώδες όριο — με μία προσοχή: είναι ισχύς ανά Hz, ενώ ένα σήμα έχει συνολική ισχύ (σε dBm, όχι dBm/Hz). Το πάτωμα που «βλέπει» ένα σήμα είναι ο θόρυβος μέσα στο δικό του εύρος ζώνης: σε 1 Hz είναι $-174$ dBm, σε φαρδύτερη ζώνη ψηλότερα (ο κανόνας $-174+10\log B$ ακριβώς πιο κάτω). Κανένας δέκτης δεν ξεχωρίζει σήμα που πέφτει κάτω από αυτό το πάτωμα — χάνεται μέσα στον θόρυβο. (Στα dBm «πιο αδύναμο» σημαίνει πιο αρνητικό, δηλαδή μικρότερη τιμή: ένα σήμα στα $-180$ dBm είναι πιο αδύναμο από ένα πάτωμα στα $-174$ dBm.) Το λέμε noise floor (πάτωμα θορύβου): το χαμηλότερο σημείο όπου μπορεί να «πατήσει» ένα χρήσιμο σήμα.

9. Noise figure $F$ και η αλυσίδα δέκτη

Η ενεργός θερμοκρασία $T_e$ της §4 είναι μια παράμετρος του δέκτη, αλλά η βιομηχανία προτιμά μια εναλλακτική περιγραφή που έχει το πλεονέκτημα ότι είναι dimensionless ratio: το noise figure $F$.

Πριν το ορίσουμε, μια λέξη-κλειδί που θα τη συναντάς συνέχεια από εδώ και πέρα: SNR (Signal-to-Noise Ratio, λόγος σήματος προς θόρυβο). Είναι ακριβώς ό,τι λέει το όνομά του — πόσες φορές πιο δυνατό είναι το χρήσιμο σήμα από τον θόρυβο:

όπου $P_s$ η ισχύς του σήματος και $P_n$ η ισχύς του θορύβου (ακριβώς το $P_n=kTB$ που μόλις μάθαμε να υπολογίζουμε). Μεγάλο SNR = καθαρό σήμα, ο θόρυβος αμελητέος μπροστά του· μικρό SNR = το σήμα πνίγεται μέσα στον θόρυβο. Επειδή είναι λόγος ισχύων, συχνά το γράφουμε και σε dB ($10{\log }_{10}$ του λόγου — §8). Τον πλήρη χειρισμό του (SNR στην έξοδο του δέκτη, πόσο το βελτιώνει η διαμόρφωση κ.λπ.) τον κάνουμε στο /noise/snr· εδώ φτάνει η διαίσθηση «σήμα προς θόρυβος».

Τυπικές τιμές βιομηχανίας (αυτή είναι η πινακίδα που πρέπει να αναγνωρίζεις):

Συνολική θερμοκρασία θορύβου εισόδου δέκτη. Τρεις θερμοκρασίες μπερδεύονται εύκολα — να τις ξεχωρίσεις:

• $T_e$ = ο θόρυβος που προσθέτει ο ίδιος ο δέκτης (τα ηλεκτρονικά του), σε μορφή θερμοκρασίας. Ιδιότητα του δέκτη, με $T_e=(F-1)T_0$.
• $T_{\text{antenna}}$ = ο θόρυβος που μπαίνει από έξω μέσω της κεραίας, από ό,τι «βλέπει» αυτή: τη ζεστή γη/περιβάλλον ($\approx T_0=290$ K σε επίγειες ζεύξεις) ή τον κρύο ουρανό (μερικά K σε satellite uplinks). Ιδιότητα του περιβάλλοντος, όχι του δέκτη.
• $T_{\text{total}}$ = το άθροισμα: «θόρυβος που μπαίνει» + «θόρυβος που προσθέτει ο δέκτης». Αυτό μπαίνει στη φόρμουλα $P_n=k{T}_{\text{total}}B$.

Μια χρήσιμη απλοποίηση. Αν η κεραία είναι σε room temperature ($T_{\text{antenna}}=T_0$), τότε $T_{\text{total}}=T_0+(F-1)T_0=F{T}_0$ — καθαρά! Αλλά ισχύει μόνο τότε: το noise figure $F$ είναι ορισμένο με υπόθεση πηγή στους $T_0=290$ K. Για κρύα κεραία (satellite, $T_{\text{antenna}}\approx$ μερικά K) το $T_{\text{total}}=T_{\text{antenna}}+(F-1)T_0$ είναι πολύ μικρότερο από $F{T}_0$ — η κεραία βάζει ελάχιστο θόρυβο. Γι' αυτό ακριβώς, για low-noise/satellite δουλειά, προτιμάμε το $T_e$ από το $F$: το $F$ κρύβει μέσα του τους 290 K.

Όλη αυτή η εικόνα — τι «βλέπει» η κεραία, τι προσθέτει ο δέκτης, και πώς αθροίζονται σε $T_{\text{total}}$ — φαίνεται ζωντανά παρακάτω. Άλλαξε σενάριο (επίγεια ζεύξη ↔ satellite) και σύρε το noise figure $F$, και δες το $T_{\text{total}}$ και το πάτωμα θορύβου να αλλάζουν:

10. Worked example — noise floor σε FM δέκτη

11. Σύνοψη — η μηχανή θερμικού θορύβου σε ένα πίνακα

12. Εξάσκηση

Έξι ερωτήσεις πάνω στις φόρμουλες $kTW$, $T_e$, $F$ και στις παγίδες της σύνοψης.

13. Ανακάλεσε — drills

14. Αναγνώρισε — πώς θα δεις τις πηγές θορύβου σε εξέταση

15. Πού θα χρειαστείς αυτή τη σελίδα παρακάτω

• /noise/white-noise — η formal αφαίρεση του «$S_N=N_0/2$ flat» που ορίσαμε εδώ. Εκεί η ΤΔ απομονώνεται από τη θερμοκρασία — λέγεται «λευκή» και ανήκει σε γενικότερη οικογένεια ΤΔ.
• /noise/through-filters — όλη η σελίδα είναι εφαρμογή της μηχανής $S_Y=|H{|}^2\cdot N_0/2$. Η Άσκηση 8 του session-10 ζει εκεί.
• /noise/bandpass — bandpass θόρυβος → I/Q components, με $N_0/2$ από εδώ ως αρχικό υλικό.
• /noise/snr — SNR ορίζεται ως $P_s/P_n$ όπου $P_n=kTB=N_{0}B$ έρχεται από εδώ.
• /am/modulator-demodulator §6 (AM σε θόρυβο) — input noise PSD $N_0/2$, threshold-effect ανάλυση.
• /fm/in-noise — input $N_0/2$, output triangular PSD $N_0{f}^2/A_c^2$, FM gain $3{\beta }^2(\beta +1)$.
• /practice/sose-to-eksamino — όλα τα past-exam noise problems ξεκινούν από εδώ.

16. Συμπύκνωσε — όλη η σελίδα