Conventional AM (DSB-AM-TC)

Από την AM overview ξέρουμε τι είναι η Conventional AM σε γενικές γραμμές: «το message βάζει διακυμάνσεις στο πλάτος του carrier, και πληρώνουμε έναν σταθερό όρο $A_c$ για να μπορεί ένας απλός envelope detector να ανακτά το μήνυμα». Σε αυτό το κεφάλαιο πάμε στη βαθιά εκδοχή — αυτό είναι το 15% κεφάλαιο της εξεταστικής, και κάθε σχεδόν εξεταστική του χρόνου έχει τουλάχιστον ένα θέμα που πέφτει εδώ.

Στο τέλος θα ξέρεις:

1. Την εξίσωση $x(t)=[A_c+m(t)]\cos (2\pi f_{c}t)$ και τη γεωμετρική της σημασία.
2. Το modulation index $\mu$, γιατί ορίζεται έτσι, και τι σημαίνει «μ ≤ 1».
3. Τι ακριβώς είναι υπερδιαμόρφωση — και να δεις, όχι μόνο να ακούσεις, τι σπάει.
4. Το φάσμα του AM — carrier impulses + δύο πλευρικές, με συνολικό bandwidth = 2W.
5. Πώς υπολογίζεις carrier power, sideband power, total power, efficiency η — και να νιώσεις το 33.3% τοίχο.
6. Πώς λύνεται το κανονικό εξεταστικό πρόβλημα τύπου «δίνεται $A_c,A_m$, βρες $\mu$ και ισχύεις» — σε λιγότερο από 5 λεπτά.

1. Η εξίσωση Conventional AM

με $A_c>0$ μια σταθερά και $m(t)$ το message signal — το baseband σήμα που θέλουμε να μεταδώσουμε. Το $W$ που θα δούμε παρακάτω είναι το bandwidth του message: η υψηλότερη συχνότητα που περιέχει το $m(t)$, δηλαδή το $M(f)$ ζει ολόκληρο μέσα στο $[-W,+W]$ (π.χ. για φωνή $W\approx 4$ kHz, για μουσική hi-fi έως ~20 kHz). Αναπτύσσοντας:

Δύο όροι, δύο διαφορετικές δουλειές:

• $A_c\cos (2\pi f_{c}t)$ — το carrier component: ένα καθαρό cosine στο $f_c$ που δεν μεταφέρει πληροφορία. Είναι «φάρος» — απλά υπάρχει.
• $m(t)\cos (2\pi f_{c}t)$ — η DSB-SC συνιστώσα (επόμενο κεφάλαιο): ο πολλαπλασιασμός του message με τον carrier μετατοπίζει το $M(f)$ στις $\pm f_c$. Αυτός ο όρος κουβαλάει όλη την πληροφορία.

Άρα Conventional AM = DSB-SC + carrier. Ο extra carrier κοστίζει ισχύ — όπως θα δούμε στη §5, τουλάχιστον το 67% της εκπεμπόμενης ισχύος πάει σ' αυτόν. Σε αντάλλαγμα αγοράζουμε έναν παμφθηνό δέκτη (δίοδος + RC, χωρίς local oscillator). Όλη η AM ραδιοτηλεόραση χτίστηκε πάνω σ' αυτό το trade — η ισχύς γίνεται στον πομπό, η απλότητα γίνεται στον δέκτη.

2. Modulation index μ — ο «χορτασμός» της διαμόρφωσης

Ορισμός:

Με λόγια: ο λόγος του «πιο αρνητικού σημείου» του message προς το carrier amplitude. Για single-tone message $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)$ απλοποιείται σε:

(γιατί $\min m(t)=-A_m$). Συχνά γράφεται και ως ποσοστό: $\mu =0.6\equiv 60\%$ διαμόρφωση. Άλλη ονομασία που χρησιμοποιείται είναι «ποσοστό διαμόρφωσης».

Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση του AM σήματος γράφεται και στην «κανονικοποιημένη» μορφή που εμφανίζεται στις ασκήσεις (Άσκηση 4.4, askisis deck slide 2):

— ισοδύναμη με τη μορφή $[A_c+m(t)]\cos$ θέτοντας $A_m=\mu A_c$. Αν δεις στην εκφώνηση τη μορφή $A_c[1+\mu \cdot (\text{tone})]\cos$, ταυτοποιείς το $\mu$ απευθείας — δεν χρειάζεται καν να βγάλεις το $A_m$.

2a. Γιατί ορίζεται έτσι;

Η ποσότητα $A_c+m(t)$ είναι το envelope του AM σήματος — αυτό που «βλέπει» ο envelope detector. Τρεις περιπτώσεις:

• $\mu <1$ — «Υποδιαμόρφωση» (slide 16, παράδειγμα με $A_c=2$, $A_m=1$): $A_c+m(t)>0$ πάντοτε. Το envelope μένει αυστηρά θετικό. Ο envelope detector ανακτά ακριβώς το $m(t)$ (μετά από DC-block).
• $\mu =1$ — «Τέλεια Διαμόρφωση» (ορολογία slide 18, παράδειγμα $A_c=2$, $A_m=2$): το envelope ακριβώς αγγίζει το μηδέν στις «κοιλάδες» του message. Στη θεωρία ακόμα δουλεύει· στην πράξη αφήνουμε margin (πχ $\mu \approx 0.8\text{–}0.9$) για να μη χτυπήσουμε στο 100% σε peaks.
• $\mu >1$ — «Υπερδιαμόρφωση» (slide 20, παράδειγμα $A_c=2$, $A_m=4$ ⇒ $\mu =2$): το envelope πάει αρνητικό σε διαστήματα — και ο envelope detector βγάζει $|A_c+m(t)|$, όχι $A_c+m(t)$. Η ανάκτηση καταστρέφεται.

Στις ραδιοφωνικές προδιαγραφές, οι σταθμοί δουλεύουν συνήθως σε $\mu \approx 80\text{–}90\%$ — αρκετά υψηλά για καλή ποιότητα ήχου (το $\eta$ ανεβαίνει με το ${\mu }^2$, όπως θα δούμε), αλλά με margin για να μη χτυπήσουν στο 100% σε peaks.

3. Υπερδιαμόρφωση (overmodulation) — τι σπάει και γιατί

Η Conventional AM στηρίζεται στον φτηνό envelope detector (δίοδος + RC, χωρίς local oscillator) — και αυτός είναι που σπάει όταν $\mu >1$, όχι το ίδιο το AM σήμα. (Παρακάτω ξαναπιάνουμε ρητά αυτή τη διάκριση όπως τη διατυπώνουν οι διαφάνειες.) Ιδού η μηχανική της αναδίπλωσης:

• Σε κάποια χρονικά διαστήματα, $A_c+m(t)<0$.
• Το envelope του πραγματικού σήματος είναι $|A_c+m(t)|$ — η απόλυτη τιμή.
• Όπου το $A_c+m(t)$ θα έπρεπε να ήταν αρνητικό, ο envelope detector το «αναποδογυρίζει» στο θετικό.

Συνέπεια: το ανακτημένο message δεν είναι πλέον $m(t)$ — είναι μια διπλωμένη εκδοχή. Το σχήμα της κυματομορφής αλλάζει στις κοιλάδες σε αιχμές, και ο envelope detector βγάζει ένα σήμα γεμάτο αρμονικές που το LPF μετά δεν μπορεί να φιλτράρει (είναι μέσα στο baseband). Αυτή η παραμόρφωση ακούγεται ως «κρακ» και αλλοίωση στον ήχο. Φτηνά AM ραδιόφωνα όταν ο σταθμός «το παρακάνει» — αυτό ακούς.

3a. Δες ακριβώς τι βγάζει ο detector

Η αναδίπλωση δεν είναι μύθος — είναι γεωμετρική συνέπεια του $|\cdot |$. Πάρε το $\mu$ από το $0.5$ προς το $1.5$ και κράτησε το βλέμμα σου στο μεσαίο pane (signed vs absolute) και το κάτω pane (ανακτημένο vs αληθινό message):

Τι παρατηρείς:

1. Όσο $\mu \le 1$, η μπλε καμπύλη του $|A_c+m(t)|$ ταυτίζεται με την violet καμπύλη του $A_c+m(t)$ — δεν αναδιπλώνεται γιατί η violet δεν περνά κάτω από το 0.
2. Στο $\mu >1$, η μπλε καμπύλη «πηδάει» — οπουδήποτε η violet βυθίζεται κάτω από το 0, η μπλε διπλώνει πάνω.
3. Στο κάτω pane, το ανακτημένο $\hat{m}(t)$ (μπλε) γίνεται μια διαφορετική κυματομορφή από το αληθινό $m(t)$ (πορτοκαλί): οι κοιλάδες έχουν αντικατασταθεί από αιχμές. Η κόκκινη γέμιση δείχνει την ενέργεια της παραμόρφωσης.

3β. Phase reversal — η οπτική υπογραφή στο carrier

Στο πάνω pane (το εκπεμπόμενο $x(t)$) πρόσεξε τα κόκκινα ↺ markers: εκεί που το $A_c+m(t)$ διασταυρώνει το μηδέν, ο carrier κάνει $\pi$ flip — αλλάζει πρόσημο στιγμιαία. Στον oscilloscope αυτό εμφανίζεται ως «το cosine πάει ξαφνικά ανάποδα». Αυτό είναι το σήμα ότι έχεις περάσει το όριο.

4. Φάσμα του AM σήματος

Παίρνοντας FT του $x(t)=[A_c+m(t)]\cos (2\pi f_{c}t)$, με τη βοήθεια του modulation theorem και της 4d (FT της σταθεράς $A_c$ = $A_c\delta (f)$, που μετά το $\cos$ γίνεται $\frac{A_c}{2}[\delta (f-f_c)+\delta (f+f_c)]$):

Δύο συνιστώσες:

• Carrier impulses στις $\pm f_c$, ύψους $\frac{A_c}{2}$ η καθεμία. Δεν εξαρτώνται από το $m(t)$ — είναι πάντα εκεί, ακόμα και αν $m\equiv 0$.
• Sidebands: αντίγραφα του $M(f)$ μετατοπισμένα στις $\pm f_c$, ύψους $\frac{1}{2}$ από το original. Αυτά κουβαλάνε όλη την πληροφορία. Η σύμβαση των διαφανειών (slide 26): Άνω Πλευρική Ζώνη (Upper Sideband) είναι το κομμάτι με $|f|>f_c$ (μακριά από το μηδέν, στα άκρα), Κάτω Πλευρική (Lower Sideband) το κομμάτι με $|f|<f_c$ (κοντά στο μηδέν, μεταξύ $-f_c$ και $+f_c$).

Για single-tone message $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)$, το $M(f)=\frac{A_m}{2}[\delta (f-f_m)+\delta (f+f_m)]$ και το AM φάσμα γίνεται 6 impulses (3 ζεύγη):

(όπου χρησιμοποιήσαμε $A_m=\mu A_c$.) Τρία ζεύγη στις θέσεις $\pm f_c$, $\pm (f_c\pm f_m)$.

4a. Γιατί χρειαζόμαστε f_c >> W — αλληλεπικάλυψη πλευρικών (slide 23)

Η εξίσωση $X(f)=\frac{A_c}{2}[\delta (f\mp f_c)]+\frac{1}{2}[M(f-f_c)+M(f+f_c)]$ έχει δύο μετατοπισμένα αντίγραφα του $M(f)$ — ένα γύρω από το $+f_c$, ένα γύρω από το $-f_c$. Σιωπηρά υποθέσαμε ότι δεν αλληλεπικαλύπτονται. Πότε σπάει αυτή η υπόθεση;

Εδώ $W$ είναι το bandwidth του message (η υψηλότερη συχνότητα του $m(t)$): αφού το $M(f)$ ζει στο $[-W,+W]$, το μετατοπισμένο αντίγραφο γύρω από το $+f_c$ εκτείνεται στο διάστημα $[f_c-W,f_c+W]$, και το αντίγραφο γύρω από το $-f_c$ στο $[-f_c-W,-f_c+W]$. Για να μην ακουμπήσουν, πρέπει:

Στην πράξη δεν αρκεί απλά $f_c>W$ — θέλουμε άνετο margin για να μη μπερδεύονται τα φιλτράρισμα και η ανάκτηση από θερμικό θόρυβο, ατέλειες, κλπ. Το slide 23 το διατυπώνει ως:

Σύρε το $f_c$ και δες ακριβώς αυτό να συμβαίνει — πάνω από το $W$ τα δύο αντίγραφα είναι χωριστά, κάτω από το $W$ μπαίνουν το ένα μέσα στο άλλο:

Αυτός είναι ο φασματικός λόγος που η AM ραδιοτηλεόραση χρησιμοποιεί φέροντα στα MHz: το ηχητικό message έχει $W\le 20$ kHz, ο carrier στα 1 MHz σημαίνει $f_c/W\ge 50$ — άνετο margin για το envelope detector να μην μπερδέψει τις δύο πλευρές. Αν επιχειρούσες να μεταδώσεις φωνή AM με $f_c=5$ kHz (στο audio band), τα δύο μετατοπισμένα αντίγραφα του $M(f)$ θα αναμειγνύονταν και η ανάκτηση θα ήταν αδύνατη.

Στη διάλεξη η ίδια συνθήκη εμφανίζεται και ως $f_m\ll f_c$ όταν το message είναι single-tone (slide 24 — αφού για single-tone το «bandwidth» είναι η ίδια η συχνότητα του tone). Η ίδια ιδέα από διαφορετική οπτική: ο carrier πρέπει να ταλαντώνεται πολύ πιο γρήγορα από το πιο γρήγορο κομμάτι του message.

4b. Bandwidth = 2W

Για γενικό message με bandwidth $W$, το $M(f)$ ζει στο $[-W,+W]$. Μετά τη μετατόπιση στις $\pm f_c$, οι sidebands εκτείνονται από $f_c-W$ έως $f_c+W$ (και αντίστοιχα στις αρνητικές). Άρα:

— διπλάσιο του message bandwidth. Αυτή είναι μια από τις σημαντικές «αδυναμίες» της AM: αν το message έχει $W=10$ kHz, το AM σήμα καταλαμβάνει $20$ kHz φάσματος. Στη DSB-SC το ίδιο (κρατάει και οι δύο πλευρικές). Στη SSB μειώνεται στο $W$ (μισό, αφού κρατά μόνο τη μία πλευρά).

5. Ισχύς, αποδοτικότητα και η ταυτότητα της AM

Τώρα μετράμε πού πάει η ισχύς. Το κλειδί είναι να ξαναδούμε το σήμα σπασμένο στα κομμάτια του, γιατί σε καθένα μετράμε ισχύ ξεχωριστά. Για single-tone message $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)=\mu A_c\cos (2\pi f_{m}t)$:

Το δεύτερο κομμάτι είναι γινόμενο δύο cosine· με την product-to-sum $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$ (την ίδια ταυτότητα που έδωσε τις sidebands στην §4) σπάει σε δύο sidebands, στο $f_c-f_m$ και στο $f_c+f_m$, καθεμία πλάτους $\frac{\mu A_c}{2}$:

Άρα το AM σήμα είναι τρία cosine σε διαφορετικές συχνότητες: ο carrier στο $f_c$ και οι δύο sidebands στις $f_c\mp f_m$. Όταν αθροίζεις cosine διαφορετικών συχνοτήτων, οι ισχύς τους απλώς προστίθενται — ο χρονικός μέσος κάθε σταυρωτού γινομένου μηδενίζεται. Οπότε αρκεί να βρούμε την ισχύ του καθενός, με το μόνο γεγονός που χρειαζόμαστε: η μέση ισχύς ενός cosine πλάτους $A$ είναι $A^2/2$.

5a. Carrier power

Ο carrier $A_c\cos (2\pi f_{c}t)$ έχει πλάτος $A_c$:

5b. Sideband power (κάθε μία)

Κάθε sideband έχει πλάτος $\frac{\mu A_c}{2}$ (όπως μόλις δείξαμε):

(Αυτή είναι η ισχύς κάθε sideband ξεχωριστά. Έχουμε δύο — upper και lower — οπότε η συνολική «χρήσιμη» ισχύς είναι $2P_{sb}={\mu }^2{A}_c^2/4$.)

5c. Total power

Προσθέτουμε τον carrier και τις δύο sidebands (επιτρέπεται να τα αθροίσουμε, αφού ζουν σε διαφορετικές συχνότητες):

5cγ. Γενική (non-tone) μορφή — η ταυτότητα μέσω της περιβάλλουσας

Όλα τα παραπάνω (§5a–5c) υποθέτουν ότι το message είναι ένας καθαρός τόνος. Υπάρχει όμως και μια γενική μορφή που δουλεύει για οποιοδήποτε $m(t)$, χωρίς υπόθεση για το σχήμα του — και βγαίνει κατευθείαν από την περιβάλλουσα $V(t)=A_c+m(t)$, σε δύο βήματα.

Βήμα 1 — η ισχύς του AM είναι το μισό της ισχύος της περιβάλλουσας. Το σήμα είναι $x(t)=V(t)\cos (2\pi f_{c}t)$, και η ισχύς του βγαίνει $P_x=\frac{1}{2}{P}_V$. Είναι το ίδιο ${\cos }^2$-τρικ που εμφανίζεται σε όλο το κεφάλαιο: υψώνοντας στο τετράγωνο,

Η ισχύς είναι ο χρονικός μέσος του $x^2(t)$, δηλαδή $P_x=\overline{x^2(t)}$. Ο πρώτος όρος δίνει $\frac{1}{2}\overline{V^2}=\frac{1}{2}{P}_V$. Ο δεύτερος κουβαλάει τον παράγοντα $\cos (4\pi f_{c}t)$, που στον χρονικό μέσο μηδενίζεται: ένα cosine περνάει εξίσου από θετικά και αρνητικά, και το εμβαδόν του σε κάθε πλήρη κύκλο είναι μηδέν. (Το $V^2(t)$ μεταβάλλεται πολύ πιο αργά από τον carrier, αφού $f_c\gg W$, οπότε μέσα σε κάθε τέτοιο κύκλο είναι ουσιαστικά σταθερό και δεν χαλάει αυτή την αναίρεση.) Απομένει $P_x=\frac{1}{2}{P}_V$.

Το ίδιο βγαίνει κι από τη συχνότητα, με δύο γνωστά εργαλεία. Πρώτα, ο πολλαπλασιασμός με $\cos$ (modulation theorem) δίνει στο AM σήμα φάσμα

όπου $\mathcal{V}(f)$ είναι το φάσμα της περιβάλλουσας: το baseband φάσμα της $V$ αντιγράφεται στις $\pm f_c$ με μισό πλάτος (αυτό είναι ακριβώς το φάσμα carrier + sidebands της §4, αφού $\mathcal{V}(f)=A_c\delta (f)+M(f)$). Έπειτα, η ισχύς ισούται με το εμβαδόν κάτω από τη φασματική πυκνότητα — την «ισχύ ανά Hz» — που είδαμε ως ιδέα Parseval στον μετασχηματισμό Fourier. Επειδή η ισχύς πάει με το τετράγωνο του πλάτους, κάθε μισό-πλάτος αντίγραφο κουβαλάει το ένα τέταρτο της ισχύος της περιβάλλουσας· τα δύο αντίγραφα (στις $+f_c$ και $-f_c$) δίνουν $2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, δηλαδή ξανά $P_x=\frac{1}{2}{P}_V$.

Βήμα 2 — η ισχύς της περιβάλλουσας. Εδώ χρειάζεται μία λογική υπόθεση για το message: ότι έχει μηδενική μέση τιμή (zero-mean), δηλαδή ο χρονικός του μέσος είναι $\overline{m(t)}=0$ — το σήμα ταλαντώνεται γύρω από το μηδέν, χωρίς σταθερή (DC) συνιστώσα. Αυτό ισχύει για ουσιαστικά κάθε πραγματικό σήμα πληροφορίας (ήχος, φωνή): μια σταθερή συνιστώσα δεν θα κουβαλούσε πληροφορία, θα σπαταλούσε μόνο ισχύ. Υψώνοντας την περιβάλλουσα στο τετράγωνο,

και παίρνοντας χρονικό μέσο, ο μεσαίος όρος σβήνει: $\overline{2A_{c}m(t)}=2A_c\overline{m(t)}=0$, ακριβώς επειδή το $m$ είναι zero-mean. Απομένει

Συνδυάζοντας τα δύο βήματα: $P_{AM}=\frac{1}{2}{P}_V=\frac{1}{2}(A_c^2+P_m)$, δηλαδή

Sanity check στο single-tone. Για $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)$, $P_m=A_m^2/2={\mu }^2{A}_c^2/2$. Τότε $P_{AM}=A_c^2/2+{\mu }^2{A}_c^2/4=(A_c^2/2)(1+{\mu }^2/2)$ — ταυτίζεται με το §5c. ✓

Γενική efficiency. Η «χρήσιμη» ισχύς είναι το κομμάτι του message ($P_m/2$)· ο carrier ($A_c^2/2$) είναι το άχρηστο βάθρο. Άρα $\eta =\frac{P_m/2}{A_c^2/2+P_m/2}$, που απλοποιείται (πολλαπλασιάζοντας πάνω-κάτω επί $2$):

Πρόσεξε: ο παρανομαστής είναι $P_V=A_c^2+P_m$ (η ισχύς της περιβάλλουσας, όχι του AM σήματος), και ο αριθμητής η ισχύς μόνο του message — όχι του $2A_{c}m$ σταυρωτού (που έδωσε μηδέν στη μέση).

5d. Efficiency η — το «πόσο πάει σε χρήσιμη πληροφορία»

«Χρήσιμη» ισχύς = αυτή που κουβαλάει πληροφορία = ισχύς των sidebands. Στο single-tone η γενική η εξειδικεύεται. Δύο ισοδύναμες μορφές που θα δεις και τις δύο σε λύσεις:

(Είναι αλγεβρικά η ίδια — πολλαπλασιάζεις αριθμητή και παρονομαστή με 2.)

Για $\mu =1$ (μέγιστη χρήσιμη modulation πριν την υπερδιαμόρφωση):

Δύο τρίτα της ισχύος σπαταλιούνται πάντα στον carrier, ακόμα και στην καλύτερη επιτρεπτή λειτουργία. Αυτή είναι η μεγάλη αδυναμία της Conventional AM — και η αφορμή για το επόμενο κεφάλαιο της οικογένειας (DSB-SC, που πετάει τον carrier και έχει $\eta =100\%$).

5ε. Δες τον τοίχο

Ο τύπος $\eta (\mu )=({\mu }^2/2)/(1+{\mu }^2/2)$ είναι αύξουσα συνάρτηση: αυξάνεις το $\mu$, αυξάνει η αποδοτικότητα. Αλλά φραγμένη από το $1/3$ στο $\mu =1$. Σύρε το $\mu$ πάνω στην καμπύλη και νιώσε γιατί η AM δεν φτάνει ποτέ στο 50%:

Γεωμετρικά: ο carrier δεν μειώνεται όσο ανεβαίνει το $\mu$ — μένει σταθερά στο $A_c^2/2$. Μόνο τα sidebands μεγαλώνουν, και $\propto {\mu }^2$. Στο $\mu =1$, η συνολική ισχύς sidebands ($2P_{sb}=A_c^2/4$) είναι το μισό της ισχύος του carrier — εκεί κολλάει η $\eta$ στο $1/3$.

5ζ. Η ταυτότητα σε Watts στην κεραία

Το $\eta =33.3\%$ ακούγεται αφηρημένο. Πιο συγκεκριμένα: για να μεταδώσει ένας AM-πομπός 1 W μηνύματος, πρέπει να εκπέμψει 3 W. Ένας DSB-SC πομπός θα έπρεπε να εκπέμψει μόνο 1 W. Ένας SSB μόνο 0.5 W (κρατάει μόνο μία πλευρά — μισή η ενέργεια του DSB-SC). Δες τους τρεις δίσκους — οι περιοχές τους είναι κυριολεκτικά ισχύς:

Η κόκκινη διακεκομμένη που μαρκάρει το «AM size» πάνω στους DSB-SC/SSB δίσκους είναι η ποσότητα ισχύος που σπαταλάει η AM σε σχέση με τα δύο άλλα. Αυτή είναι η πραγματική τιμή που πληρώνεις για τη χρήση envelope detector — μετράται σε Watts κεραίας, και είναι η αιτία που τα AM ραδιόφωνα ιστορικά απαιτούσαν πομπούς εκατοντάδων kW για κάλυψη μιας πόλης.

5η. Σύνοψη τύπων (single-tone)

Γενική μορφή (για κάθε zero-mean $m(t)$, single ή multi-tone):

Όταν στην εκφώνηση δίνεται message με πολλαπλούς τόνους (όπως στην Άσκηση 4.1 παρακάτω: $m=a\sin +b\cos$), η γενική μορφή είναι η μόνη που δουλεύει — η single-tone ${\mu }^2/(2+{\mu }^2)$ έχει πρόβλημα γιατί δεν υπάρχει ένας μοναδικός $\mu$.

6. Worked example — το κανονικό εξεταστικό πρόβλημα

Εξάσκηση

Πέντε ερωτήσεις τύπου εξετάσεων — όλες πιθανές στις τελικές. Πριν δεις τη λύση κάθε μίας, κάνε μια προσπάθεια από μνήμη στο RecallDrill παρακάτω — αν δεν ζωγραφίζεις σωστά το φάσμα, οι ασκήσεις θα σου γράψουν τα ίδια λάθη.

7. Recap