Conventional AM (DSB-AM-TC)

Από την AM overview ξέρουμε τι είναι η Conventional AM σε γενικές γραμμές: «το message βάζει διακυμάνσεις στο πλάτος του carrier». Σε αυτό το κεφάλαιο πάμε σε βάθος. Στο τέλος θα ξέρεις:

1. Την εξίσωση $x(t)=[A_c+m(t)]\cos (2\pi f_{c}t)$ και τη γεωμετρική της σημασία.
2. Το modulation index $\mu$, πώς ορίζεται, και γιατί πρέπει να μένει ≤ 1.
3. Τι ακριβώς είναι υπερδιαμόρφωση (overmodulation) και τι σπάει όταν συμβεί.
4. Το φάσμα του AM σήματος — carrier impulse + δύο πλευρικές, με συνολικό bandwidth = 2W.
5. Πώς να υπολογίσεις carrier power, sideband power, total power, efficiency για single-tone modulation.
6. Πώς λύνεται το κανονικό εξεταστικό πρόβλημα τύπου «δίνεται $A_c,A_m$, βρες $\mu$ και ισχύεις».

1. Η εξίσωση Conventional AM

με $A_c>0$ μια σταθερά και $m(t)$ το message signal (baseband, με bandwidth $W$). Αναπτύσσοντας:

Δύο όροι:

• $A_c\cos (2\pi f_{c}t)$ — το carrier component: ένα καθαρό cosine στη συχνότητα $f_c$. Αυτός ο όρος δεν μεταφέρει πληροφορία — απλά «βρίσκεται εκεί».
• $m(t)\cos (2\pi f_{c}t)$ — το DSB-SC κομμάτι: ο πολλαπλασιασμός του message με το carrier (το οποίο είναι το αντικείμενο του /am/dsb-sc κεφαλαίου). Αυτός ο όρος κουβαλάει την πληροφορία, μετατοπισμένη στις $\pm f_c$.

Η Conventional AM είναι λοιπόν DSB-SC + carrier. Το extra carrier κοστίζει ισχύ αλλά αγοράζει εύκολη demodulation με envelope detector.

2. Modulation index μ

Ορισμός:

Με λόγια: ο λόγος του «πιο αρνητικού σημείου» του message προς το carrier amplitude. Για single-tone message $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)$ απλοποιείται σε:

(γιατί $\min m(t)=-A_m$).

2a. Γιατί ορίζεται έτσι

Η ποσότητα $A_c+m(t)$ είναι το envelope του AM σήματος. Όταν $\mu <1$, ισχύει $A_c+m(t)>0$ για κάθε $t$, και το envelope μένει θετικό. Όταν $\mu =1$, το envelope ακριβώς αγγίζει το μηδέν στις «κοιλάδες» του message. Όταν $\mu >1$, το envelope πάει αρνητικό σε κάποια διαστήματα — αυτό είναι overmodulation.

2b. Σε ποσοστό

Συχνά γράφεται και ως ποσοστό: $\mu =0.6\equiv 60\%$ modulation. Στις ραδιοφωνικές προδιαγραφές, οι σταθμοί συνήθως δουλεύουν σε $\mu \approx 80\text{–}90\%$ — αρκετά υψηλά για καλή ποιότητα ήχου, αλλά με margin για να μη χτυπήσουν στο 100% σε peaks.

3. Υπερδιαμόρφωση (overmodulation)

Όταν $\mu >1$:

• Σε κάποια χρονικά διαστήματα, $A_c+m(t)<0$.
• Το envelope του πραγματικού σήματος (που ένας envelope detector βλέπει) είναι $|A_c+m(t)|$ — δηλαδή η απόλυτη τιμή.
• Όπου το $A_c+m(t)$ θα έπρεπε να είναι αρνητικό, ο envelope detector το «αναποδογυρίζει» στο θετικό.

Συνέπεια: το ανακτημένο message δεν είναι πλέον $m(t)$ — είναι μια παραμορφωμένη εκδοχή. Το σχήμα της κυματομορφής αλλάζει στις κορυφές. Αυτή η παραμόρφωση ακούγεται ως «κρακ» και «βρόχοι» στον ήχο.

3a. Πώς αναγνωρίζεται οπτικά

Στο time-domain plot, η υπερδιαμόρφωση φαίνεται ως:

• Σημεία όπου το envelope «περνάει» τον άξονα x και πέφτει στο αρνητικό μέρος.
• Σπασίματα στη φάση του carrier (το cosine «αναποδογυρίζει» κατά $\pi$ σε εκείνες τις στιγμές).

Στο πάνω viz, σύρε το $\mu$ πάνω από 1 και δες τις κόκκινες σκιασμένες ζώνες όπου το envelope πέφτει κάτω από το 0.

4. Φάσμα του AM σήματος

Παίρνοντας FT του $x(t)=[A_c+m(t)]\cos (2\pi f_{c}t)$, με τη βοήθεια του modulation theorem και της 4d (FT of constant = δ):

Δύο συνιστώσες:

• Carrier impulses στις $\pm f_c$, ύψους $\frac{A_c}{2}$ η καθεμία. Δεν εξαρτώνται από το $m(t)$ — είναι πάντα εκεί.
• Sidebands: αντίγραφα του $M(f)$ μετατοπισμένα στις $\pm f_c$, ύψους $\frac{1}{2}$ από το original. Αυτά κουβαλάνε όλη την πληροφορία.

Για single-tone message $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)$, το $M(f)=\frac{A_m}{2}[\delta (f-f_m)+\delta (f+f_m)]$ και το AM φάσμα γίνεται 6 impulses:

(όπου χρησιμοποιήσαμε $A_m=\mu A_c$.) Τρία ζεύγη στις θέσεις $\pm f_c$, $\pm (f_c\pm f_m)$.

4a. Bandwidth = 2W

Για γενικό message με bandwidth $W$, το $M(f)$ ζει στο $[-W,+W]$. Μετά τη μετατόπιση στις $\pm f_c$, οι sidebands εκτείνονται από $f_c-W$ έως $f_c+W$ (και αντίστοιχα στις αρνητικές). Άρα:

— διπλάσιο του message bandwidth. Αυτή είναι μια από τις σημαντικές «αδυναμίες» της AM: αν το message έχει 10 kHz, το AM σήμα καταλαμβάνει 20 kHz φάσματος. Στη DSB-SC το ίδιο. Στη SSB μειώνεται στο $W$ (μισό).

5. Ισχύς και efficiency

Για single-tone modulation $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)=\mu A_c\cos (2\pi f_{m}t)$:

5a. Carrier power

Από το $A_c\cos (2\pi f_{c}t)$ — απλό cosine πλάτους $A_c$:

5b. Sideband power (κάθε μία)

Κάθε sideband είναι $\frac{\mu A_c}{2}\cos (2\pi (f_c\pm f_m)t)$ — cosine πλάτους $\frac{\mu A_c}{2}$:

(Αυτή είναι η ισχύς κάθε sideband. Έχουμε δύο — upper και lower.)

5c. Total power

5d. Efficiency η

«Χρήσιμη» ισχύς = αυτή που κουβαλάει πληροφορία = ισχύς των sidebands. Άρα:

Για $\mu =1$ (μέγιστη χρήσιμη modulation):

Δύο τρίτα της ισχύος σπαταλιούνται πάντα στον carrier, ακόμα και στην καλύτερη περίπτωση. Αυτή είναι η μεγάλη αδυναμία της Conventional AM — και ο λόγος που υπάρχει το DSB-SC (που πετάει τον carrier και έχει $\eta =100\%$).

5e. Σύνοψη formulas (στο τυπολόγιο)

6. Worked example — το κανονικό εξεταστικό πρόβλημα

Εξάσκηση

Πέντε ερωτήσεις τύπου εξετάσεων — όλες πιθανές στις τελικές.

7. Recap