Θόρυβος μέσα από φίλτρα

1. Νιώσε — η μηχανή που τρέχει όλη η Noise group

Στη /randomness/psd §7 είδαμε ότι η ΦΠΙ της εξόδου ΓΧΑ φίλτρου με WSS είσοδο είναι ${\mathcal{S}}_Y(f)=|H(f){|}^2{\mathcal{S}}_X(f)$. Αυτή η σελίδα ανοίγει το κουτί αυτό και το γεμίζει με τη μηχανή του θορύβου. Παράγουμε τη σχέση βήμα-βήμα από τη συνέλιξη στον χρόνο, και μετά την εφαρμόζουμε στο κανονικό worked example του μαθήματος, την Άσκηση 8: bandpass-filtered λευκός θόρυβος.

Operational χάρτης — πού πάει το αποτέλεσμα κάθε σελίδα στη Noise group:

Όλη η downstream Noise group (/noise/bandpass, /noise/snr) και όλες οι AM/FM-in-noise σελίδες κάθονται πάνω σε αυτή τη μία γραμμή.

2. Η παραγωγή της master equation

Η ισχύς θορύβου εξόδου δεν είναι ταυτότητα που πρέπει να μάθεις απέξω. Παράγεται σε τρία βήματα από τη συνέλιξη στον χρόνο.

2α. Η συνέλιξη ορίζει την έξοδο

Το πρώτο βήμα είναι κάτι που έχουμε ξαναδεί: η γραμμική συνέλιξη συνδέει στο πεδίο του χρόνου την έξοδο ενός συστήματος ΓΧΑ με την είσοδό του, και η συνέλιξη στον χρόνο γίνεται πολλαπλασιασμός στη συχνότητα. Αν η WSS ΤΔ $X(t)$ διέρχεται από σύστημα ΓΧΑ με κρουστική απόκριση $h(t)$, η WSS ΤΔ εξόδου $Y(t)$ δίνεται από:

Αυτό είναι ξανά η ίδια συνέλιξη που έχουμε δει σε όλο το /foundations/systems — η μόνη διαφορά είναι ότι η είσοδος δεν είναι deterministic σήμα, αλλά τυχαία διαδικασία. Η συνέλιξη επιδρά realization-by-realization: για κάθε επιμέρους πραγμάτωση $X(t,\omega )$, η αντίστοιχη πραγμάτωση εξόδου $Y(t,\omega )$ είναι η συνέλιξή της με τη $h(t)$.

2β. Η ΣΑΣ εξόδου ως διπλή ολοκλήρωση

Για να φτάσουμε στη ΦΠΙ εξόδου, χρειαζόμαστε πρώτα τη ΣΑΣ της. Ξεκινάμε από τον ορισμό και αντικαθιστούμε την $Y(t)$ και την $Y(t+\tau )$ με τη συνέλιξη που μόλις γράψαμε:

Με τις αναθέσεις $u=t-{\tau }_1$ και $v=t+\tau -{\tau }_2$ προκύπτει:

Πώς να διαβάσεις τη μετατροπή:

• Πρώτη γραμμή: ορισμός της ΣΑΣ — $R_Y(\tau )=E[Y(t)Y(t+\tau )]$.
• Δεύτερη γραμμή: αντικατάσταση της $Y(t)$ και της $Y(t+\tau )$ με τη συνέλιξη.
• Τρίτη γραμμή: ανταλλαγή της προσδοκίας με τα ολοκληρώματα (τα $h$ είναι αιτιοκρατικά — δεν επηρεάζονται από την $E[\cdot ]$).
• Αλλαγή μεταβλητής $u,v$: η εσωτερική προσδοκία γίνεται $E[X({\tau }_1)X({\tau }_2)]=R_X({\tau }_2-{\tau }_1)$ (από τη WSS). Με τις αναθέσεις, η ολοκληρωτέα γίνεται $R_X(\tau +u-v)$.
• Τελικό συμπέρασμα: το διπλό ολοκλήρωμα είναι διπλή συνέλιξη — η $R_X$ συνελισσόμενη με $h(\tau )$ και ξανά με $h(-\tau )$.

2γ. Από τη ΣΑΣ εξόδου στην ΦΠΙ εξόδου

Το τελευταίο βήμα είναι ο μετασχηματισμός Fourier της $R_Y(\tau )$. Χρειαζόμαστε δύο γνωστές ιδιότητες: ότι ο $\mathcal{F}$ μιας συνέλιξης είναι γινόμενο, $\mathcal{F}[x(t)\ast y(t)]=X(f)Y(f)$, και ότι για πραγματικό $x(t)$ ισχύει $X^{\ast }(f)=X(-f)$. Εφαρμόζοντάς τες στην $R_Y(\tau )=R_X(\tau )\ast h(\tau )\ast h(-\tau )$ καταλήγουμε στη master equation και στην ισχύ εξόδου:

Συμπέρασμα — δύο γραμμές που αλλάζουν τα πάντα:

• $\mathcal{F}\{h(\tau )\}=H(f)$, και επειδή η $h(t)$ είναι πραγματική (φυσικό φίλτρο), $\mathcal{F}\{h(-\tau )\}=H^{\ast }(f)=H(-f)$. Άρα $\mathcal{F}\{h(\tau )\ast h(-\tau )\}=H(f)\cdot H^{\ast }(f)=|H(f){|}^2$.
• Η ΣΑΣ εξόδου $R_Y(\tau )=R_X(\tau )\ast h(\tau )\ast h(-\tau )$ έχει $\mathcal{F}$ ίσο με γινόμενο: ${\mathcal{S}}_X(f)\cdot |H(f){|}^2$.
• Η συνολική ισχύς εξόδου είναι $R_Y(0)$, αλλά από Parseval-style $R_Y(0)=\int {\mathcal{S}}_Y(f)df$.

🎯 Κλείνει υπόσχεση από /randomness/psd §7 — εκεί η master equation δόθηκε ως πρόταση. Η παραγωγή που μόλις κάναμε δείχνει ότι δεν είναι αξίωμα: είναι απόρροια από (α) τον ορισμό της συνέλιξης, (β) τη γραμμικότητα της προσδοκίας, (γ) Wiener-Khinchin, (δ) την ιδιότητα $\mathcal{F}\{f(-t)\}=F^{\ast }(f)$ για πραγματικά σήματα.

3. Εφαρμογή στο λευκό θόρυβο — η bandlimited παρανομή

Αν η είσοδος είναι λευκός θόρυβος (από /noise/white-noise §2) με ${\mathcal{S}}_X(f)=N_0/2$ σταθερά, τότε η master equation παίρνει την απλούστερη μορφή της:

Τι μετράει σε ολοκλήρωμα $\int |H{|}^{2}df$ για τα τέσσερα κανονικά φίλτρα της σελίδας:

Οι τρεις πρώτες σειρές είναι τα τρία presets του interactive που ακολουθεί (§4). Η τέταρτη (διαφοριστής) εμφανίζεται στο /fm/in-noise.

4. Δες — η master equation σε πραγματικό χρόνο

5. Ιδανικό LPF + λευκός — η baseline εφαρμογή

Με $|H(f){|}^2=1$ για $|f|\le B$ και 0 αλλιώς, η master equation δίνει:

Ισχύς εξόδου:

Αυτοσυσχέτιση εξόδου (αντίστροφος FT του rect):

🎯 Αυτή είναι ακριβώς η bandlimited recipe της /noise/white-noise §4. Εκεί η formula δόθηκε «εκ των άνω» μέσω της bandlimited παρανομής. Εδώ φαίνεται γιατί ισχύει: είναι το ειδικό όριο της master equation όταν το φίλτρο είναι ιδανικό LPF.

6. RC LPF + λευκός — η Lorentzian και ο π/2 «φόρος»

Ώρα για ένα πραγματικό φίλτρο, όχι ιδανικό. Από το RC κατωπερατό πρώτης τάξης που χτίσαμε στο /foundations/filters ξέρουμε τη συνάρτηση μεταφοράς και το μέτρο της:

Με τη 3-dB cutoff $f_c=1/(2\pi RC)$ (το half-power σημείο, όπου $|H{|}^2=\frac{1}{2}$), το μέτρο γράφεται:

Output PSD (Lorentzian):

Την ίδια Lorentzian την παρήγαγε ήδη η /randomness/psd (εκεί με σύμβολο $f_0$ για το cutoff)· εδώ την ολοκληρώνουμε — ισχύ, equivalent noise bandwidth, και ΣΑΣ.

6α. Ισχύς εξόδου — η arctan αλγεβρική απαγωγή

Αλλαγή μεταβλητής $u=f/f_c$, $df=f_{c}du$:

(όπου το ${\int }_{-\infty }^{\infty }du/(1+u^2)=\pi$ — από /reference/integrals τυπολόγιο integral 7 και 8 σχετικά, ή απευθείας μέσω arctan.)

6β. Σύγκριση με ιδανικό LPF στο ίδιο cutoff

Για να δούμε αν ο RC «φιλτράρει καλά», τον βάζουμε δίπλα σε έναν ιδανικό LPF ρυθμισμένο στην ίδια συχνότητα. Ένα σημείο που μπερδεύει: η λέξη «cutoff» δεν σημαίνει το ίδιο πράγμα για τα δύο φίλτρα. Για τον ιδανικό LPF (§5) είναι η κάθετη άκρη $B$ — περνάει τα πάντα ως το $B$, μετά τίποτα. Για το RC είναι το −3 dB σημείο $f_c$ — εκεί που η ισχύς έχει ήδη πέσει στο μισό, όχι το μηδέν. Τα ρυθμίζουμε στην ίδια αριθμητική τιμή: βάζουμε δηλαδή την άκρη του ιδανικού $B=f_c$. Από τη §5 ένας ιδανικός LPF cutoff $B$ δίνει ισχύ $N_{0}B$, οπότε με $B=f_c$ γίνεται $N_0{f}_c$. Τώρα η σύγκριση είναι δίκαιη:

Διαβάζεται: το RC φίλτρο περνάει 57 % περισσότερο θόρυβο από το ιδανικό. Γιατί; Επειδή ο RC δεν κόβει στιγμιαία στο $f_c$ — η «ουρά» του $|H{|}^2$ φθίνει σαν $1/f^2$ αργά πάνω από το $f_c$, αφήνοντας υψηλές συχνότητες να περάσουν με κάποιο gain.

6γ. Αυτοσυσχέτιση εξόδου — εκθετική φθορά

Ο αντίστροφος FT του Lorentzian $1/(1+(f/f_c{)}^2)$ είναι εκθετική:

Σύγκριση με ιδανικό LPF:

• Ιδανικός LPF: ΣΑΣ = sinc — ταλαντώνεται γύρω από 0, πρώτο μηδέν στο $\tau =1/(2B)$, μηδέν correlation στο Nyquist rate.
• RC LPF: ΣΑΣ = εκθετική — μονοτονικά φθίνει, ποτέ δεν φτάνει ακριβώς το μηδέν. Άρα ο RC θόρυβος έχει απείρως μακρά μνήμη (αν και ασθενώς) — δείγματα οποιαδήποτε πεπερασμένη απόσταση είναι κάπως συσχετισμένα.

7. Equivalent Noise Bandwidth $B_N$ — μία ζώνη για κάθε φίλτρο

Από τη §6 είδαμε κάτι ενοχλητικό: δύο φίλτρα ρυθμισμένα στην ίδια συχνότητα $f_c$ δίνουν διαφορετική ισχύ θορύβου (ο RC περνάει 57 % παραπάνω από ιδανικό LPF με την άκρη στο ίδιο $f_c$ — §6β). Το cutoff από μόνο του δεν λέει «πόσο θόρυβο περνάει» ένα φίλτρο — χρειαζόμαστε έναν κοινό χάρακα: μία μόνο ζώνη ανά φίλτρο που να συνοψίζει ακριβώς αυτό.

Η ιδέα είναι να αντικαταστήσουμε το πραγματικό φίλτρο με ένα ισοδύναμο brick-wall (ιδανικό) LPF που αφήνει την ίδια ισχύ θορύβου. Για λευκή είσοδο η ισχύς εξόδου είναι απλώς $\frac{N_0}{2}\times$ (εμβαδόν κάτω από το $|H(f){|}^2$) — οπότε «ίδια ισχύς» σημαίνει «ίδιο εμβαδόν». Ορίζουμε λοιπόν το $B_N$ ως το πλάτος ενός ορθογωνίου με ύψος $|H(0){|}^2$ (το peak gain του φίλτρου) και το ίδιο εμβαδόν με την καμπύλη $|H(f){|}^2$:

Διάβασε τον ορισμό ανάποδα και φαίνεται το ορθογώνιο: $|H(0){|}^2\cdot B_N={\int }_0^{\infty }|H(f){|}^{2}df$, δηλαδή ύψος × πλάτος = εμβαδόν. Η διαίρεση με το $|H(0){|}^2$ κάνει το $B_N$ καθαρή συχνότητα (ένα πλάτος σε Hz), ανεξάρτητη από το πόσο gain έχει το φίλτρο — γι' αυτό συγκρίνεται μηχανικά από το ένα φίλτρο στο άλλο.

Γιατί η ισχύς βγαίνει ${\mathcal{P}}_Y=N_0{B}_N$. Ξεκίνα από την ισχύ εξόδου για λευκή είσοδο (§3) και κάνε ένα μόνο τέχνασμα — σπάσε το ολοκλήρωμα σε θετικές + αρνητικές συχνότητες:

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι το $|H(f){|}^2$ είναι άρτιο (η $h(t)$ είναι πραγματική), άρα το δίπλευρο ολοκλήρωμα είναι διπλάσιο του μονόπλευρου. Αλλά το ${\int }_0^{\infty }|H{|}^{2}df$ είναι ακριβώς ο ορισμός μας — ίσο με $|H(0){|}^2{B}_N$. Αντικαθιστώντας:

Για φίλτρο με peak gain 1 ($|H(0){|}^2=1$ — η συνήθης κανονικοποίηση, και ό,τι έχει ο πίνακας παρακάτω) μένει η καθαρή μορφή:

Έλεγχος με τον RC της §6: εκεί βρήκαμε ${\int }_{-\infty }^{\infty }|H{|}^{2}df=\pi f_c$, άρα μονόπλευρα ${\int }_0^{\infty }|H{|}^{2}df=\pi f_c/2$. Με $|H(0){|}^2=1$ δίνει $B_N=(\pi /2)f_c$, και ${\mathcal{P}}_Y=N_0(\pi /2)f_c=\pi N_0{f}_c/2$ — ακριβώς το αποτέλεσμα της §6α. Ο ορισμός και η απευθείας ολοκλήρωση συμφωνούν.

Πρακτικά: αν ξέρεις το $B_N$ ενός φίλτρου, γράφεις την ισχύ θορύβου σε μία γραμμή — χωρίς να ξαναϋπολογίσεις κανένα ολοκλήρωμα.

Παραδείγματα:

Συμπέρασμα τάξης μεγέθους: όσο πιο απότομα πέφτει το φίλτρο μετά το cutoff του, τόσο πιο κοντά στο 1 πάει ο λόγος $B_N/f_c$. Ο RC (1-πόλος, $\sim 6$ dB/octave) είναι ο «χειρότερος» — 57 % πάνω. Το Butterworth 4 πόλων είναι σχεδόν ιδανικό (3 % πάνω).

8. Άσκηση 8 — bandpass-filtered λευκός θόρυβος

Αυτή είναι η σπουδαία εφαρμογή της σελίδας. Πλήρης βήμα-βήμα παραγωγή του $R_Y(\tau )$ για bandpass-filtered λευκό θόρυβο — το μοτίβο που εμφανίζεται σε proodos26-6, sept25-th3-11, jun25-th1-10 και ξανά στις AM/FM-in-noise σελίδες.

8α. Η εκφώνηση

Λευκός θόρυβος $N(t)$ με ΦΠΙ ${\mathcal{S}}_N(f)=N_0/2$ για κάθε $f\in (-\infty ,+\infty )$ τροφοδοτεί ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο $h(t)$ με απόκριση συχνότητας:

Αν $Y(t)$ είναι η έξοδος του φίλτρου, ζητούνται τα ${\mathcal{S}}_Y(f)$, $R_Y(\tau )$ και ${\mathcal{P}}_Y$.

Setup χάρτης πριν τη λύση:

• Είσοδος: λευκό, ${\mathcal{S}}_N=N_0/2$ σταθερό.
• Φίλτρο: ιδανικός BPF, κεντραρισμένος στο $\pm f_c$, με εύρος ζώνης $W$ ανά πλευρά — όχι συνολικό εύρος $W$. (Αυτό είναι ένα σύνηθες σημείο σύγχυσης — το $W$ εδώ είναι το ένα-πλευρό εύρος, όχι το διπλο-πλευρό.)
• Ζητούμενα: ΦΠΙ εξόδου ${\mathcal{S}}_Y$, ΣΑΣ εξόδου $R_Y$, ισχύς ${\mathcal{P}}_Y$.

8β. Εφαρμογή της master eq + ορισμός $I_1,I_2$

Από την master equation §2γ:

(αλλιώς ${\mathcal{S}}_Y=0$, εκτός της ζώνης διέλευσης.)

Η ΣΑΣ είναι αντίστροφος FT:

Επειδή η ${\mathcal{S}}_Y$ είναι μη-μηδενική μόνο σε δύο διαστήματα (γύρω από $+f_c$ και γύρω από $-f_c$), σπάμε το ολοκλήρωμα σε δύο κομμάτια:

8γ. Η αλγεβρική απαγωγή του $I_1$

Μέσα σε αυτό το διάστημα, ${\mathcal{S}}_Y(f)=N_0/2$, σταθερά. Το ολοκλήρωμα γίνεται απευθείας:

Αξιολόγηση στα όρια:

Αναγωγή σε κοινό παράγοντα $e^{j2\pi f_c\tau }$:

Αναγνώριση Euler $(e^{jx}-e^{-jx})/(2j)=\sin (x)$:

Αναγωγή σε κανονικοποιημένο sinc $(\sin (\pi x))/(\pi x)$:

(όπου εδώ χρησιμοποιείται η κανονικοποιημένη sinc: $\mathrm{sinc}(x)=\sin (\pi x)/(\pi x)$.)

8δ. Το $I_2$ με συμμετρία + σύνθεση $R_Y$

Επειδή το διάστημα ολοκλήρωσης του $I_2$ είναι το κατοπτρικό του $I_1$ (γύρω από $-f_c$ αντί $+f_c$), και η ${\mathcal{S}}_Y$ είναι πραγματική και άρτια (αφού η $h(t)$ είναι πραγματική, ${\mathcal{S}}_Y(-f)={\mathcal{S}}_Y(f)$), παίρνουμε με τη ίδια αλγεβρική απαγωγή:

Άθροισμα:

Ισχύς εξόδου:

8ε. Οι δύο παρατηρήσεις

Η λύση αφήνει δύο παρατηρήσεις που θα χρειαστούμε ξανά και ξανά στις downstream σελίδες:

1. Η έξοδος $Y(t)$ είναι WSS ΤΔ Gauss με μηδενική μέση τιμή και διακύμανση ${\sigma }_Y^2=R_Y(0)=N_{0}W$.
2. Η ισχύς του θερμικού θορύβου αυξάνεται με το εύρος ζώνης του φίλτρου (στην οριακή περίπτωση χαμηλοπερατού φίλτρου, $f_c=0$).

Πώς να διαβάσεις τις δύο παρατηρήσεις:

• Παρατήρηση 1 — WSS Gaussian με ${\sigma }^2=N_{0}W$. Το «WSS» έρχεται από τη master equation (η έξοδος ΓΧΑ συστήματος με WSS είσοδο είναι WSS). Το «Gaussian» έρχεται από το ότι η είσοδος είναι AWGN (από /noise/white-noise §7) — και κάθε γραμμικός μετασχηματισμός Gaussian είναι Gaussian, γνωστή ιδιότητα από /randomness/random-variables. Το «μηδενική μέση τιμή» έρχεται από το ότι ο λευκός θόρυβος έχει 0-mean και η γραμμικότητα της προσδοκίας: $E[Y]=E[X\ast h]=E[X]\ast h=0\ast h=0$. Το «${\sigma }_Y^2=R_Y(0)=N_{0}W$» έρχεται απευθείας από τη παρτιτούρα μας — η διασπορά μιας μηδενικής-μέσης τιμής WSS ΤΔ ισούται με την ισχύ της.
• Παρατήρηση 2 — η ισχύς αυξάνεται με το εύρος ζώνης. ${\mathcal{P}}_Y=N_{0}W$ είναι γραμμικό στο $W$. Διπλάσιο $W$ → διπλάσια ισχύς → +3 dB. Σε χαμηλοπερατό φίλτρο το $f_c=0$ είναι ειδική περίπτωση — βλ. §9α παρακάτω.

8στ. Στοίχιση με τα formula-sheet entries

• lti-output-psd (${\mathcal{S}}_Y(f)=|H(f){|}^2{\mathcal{S}}_X(f)$) — εδώ έγινε η παραγωγή (§2) και η πρώτη πλήρης εφαρμογή (Άσκηση 8).

• bandpass-noise-r ($R_Y(\tau )=N_{0}W\cos (2\pi f_c\tau )\mathrm{sinc}(W\tau )$) — εδώ έγινε η αλγεβρική απαγωγή (§8γ–8δ). ⚠️ Δεν δίνεται στο τυπολόγιο.

9. Η οπτική σύγκριση «στενό vs ευρύ $W$»

Πέρα από τα νούμερα, αξίζει να δούμε τι κάνει το εύρος ζώνης $W$ στην ίδια την κυματομορφή της εξόδου. Αντιπαράθεσε δύο ζωνοπερατά φίλτρα κεντραρισμένα στο ίδιο $f_c$ και κοίτα μια πραγμάτωση $y_i(t)$ της εξόδου του καθενός:

• Μικρό εύρος ζώνης $W$: στενή pass-band. Η πραγμάτωση εξόδου είναι αργή — ταλαντώνεται γύρω από το $f_c$ με ένα envelope που μεταβάλλεται νωθρά και με μικρό πλάτος.
• Μεγάλο εύρος ζώνης $W$: ευρεία pass-band. Η πραγμάτωση εξόδου είναι γρήγορη — πλούσια σε γρήγορες μεταβολές και με μεγαλύτερο πλάτος.

Δύο ποσοτικά διαβάσματα αυτής της εικόνας:

• Ισχύς $\propto W$ — από την Παρατήρηση 2 (§8ε) και την §8δ: ${\mathcal{P}}_Y=N_{0}W$. Διπλάσιο $W$ → διπλάσια ισχύς → πιο «έντονο» amplitude στην πραγμάτωση.
• Ταχύτητα ταλαντώσεων $\propto W$ — από τη ΣΑΣ της §8δ: $R_Y(\tau )=N_{0}W\cos (2\pi f_c\tau )\mathrm{sinc}(W\tau )$. Το envelope $\mathrm{sinc}(W\tau )$ έχει πρώτη ρίζα στο $\tau =1/W$ — δηλαδή ο θόρυβος έχει μνήμη μήκους $\sim 1/W$. Μικρό $W$ → μακρά μνήμη → αργές ταλαντώσεις. Μεγάλο $W$ → κοντή μνήμη → γρήγορες ταλαντώσεις.

Το interactive της §4 παραπάνω κάνει ακριβώς αυτή τη σύγκριση ποσοτικά: διάλεξε «Ιδανικό BPF» και μετακίνησε το slider — η ισχύς εξόδου μένει σταθερή για σταθερό $\Delta B$ και αυξάνεται γραμμικά καθώς ανοίγει το $W$. Για τη χρονική δομή, η ΣΑΣ φαίνεται στο interactive της §12 παρακάτω.

9α. Ειδική περίπτωση — χαμηλοπερατό φίλτρο

Η Παρατήρηση 2 της §8ε λέει ότι «η ισχύς του θερμικού θορύβου αυξάνεται με το εύρος ζώνης του φίλτρου», με την οριακή περίπτωση του χαμηλοπερατού φίλτρου ($f_c=0$). Αυτή είναι γενική αρχή για bandwidth-power coupling — όχι αλγεβρικό substitution στη formula της §8.

Γιατί δεν μπορούμε απλώς να βάλουμε $f_c=0$ στη §8 formula: η παραγωγή §8γ προϋποθέτει ότι τα δύο passbands (γύρω από $+f_c$ και $-f_c$) είναι ξένα μεταξύ τους — δηλαδή $f_c\ge W/2$. Όταν $f_c\to 0$, οι δύο πλευρές επικαλύπτονται και το φίλτρο καταρρέει σε έναν LPF cutoff $W/2$, όχι σε φίλτρο εύρους $2W$.

Σωστή ανάγνωση του LPF ορίου:

• Για έναν LPF με $|H{|}^2=1$ για $|f|\le B$, η §5 είναι ο σωστός τύπος: ${\mathcal{P}}_Y=N_{0}B$, $R_Y(\tau )=N_{0}B\mathrm{sinc}(2B\tau )$.
• Η Άσκηση 8 με $f_c\ge W/2$ δίνει ένα διαφορετικό φίλτρο (BPF με δύο διακριτά passbands, συνολικό φάσμα $2W$) και έχει τη δική της formula: ${\mathcal{P}}_Y=N_{0}W$, $R_Y(\tau )=N_{0}W\cos (2\pi f_c\tau )\mathrm{sinc}(W\tau )$.

Πώς συνδέονται οι δύο: ίδιο συνολικό φάσμα → ίδια ισχύς θορύβου, ανεξάρτητα από το αν η ενέργεια κάθεται σε ένα κομμάτι γύρω από το 0 ή σε δύο γύρω από $\pm f_c$. Αν συγκρίνεις ένα LPF συνολικού εύρους $2B$ με ένα BPF συνολικού εύρους $2W$, και $2B=2W$, τότε και οι δύο έχουν ${\mathcal{P}}_Y=N_{0}B=N_{0}W$. Αυτή είναι η ποσοτική έκφραση της Παρατήρησης 2 (§8ε): η μεταφορά συχνότητας δεν αλλάζει ισχύ — μόνο το συνολικό εύρος μετράει.

10. Cascade φίλτρων — πολλαπλασιαστική σύνθεση

Δύο ΓΧΑ φίλτρα σε σειρά: $X\to H_1\to H_2\to Y$. Συνολική transfer function:

Output PSD από master equation:

Διαβάζεται: οι squared magnitudes πολλαπλασιάζονται. Δεν είναι convolution! Αυτό είναι διαφορετικό από το time-domain cascade των κρουστικών αποκρίσεων (που είναι $h_{total}=h_1\ast h_2$).

11. Διαφοριστής + θόρυβος — FM teaser

Ένα ιδιαίτερο φίλτρο: ο ιδανικός διαφοριστής με transfer function $H(f)=j2\pi f$. Άρα:

Αν η είσοδος είναι λευκός θόρυβος με ${\mathcal{S}}_X=N_0/2$, η έξοδος έχει PSD:

Αυτή είναι τριγωνική (τετραγωνικά αυξανόμενη) PSD — αυξάνεται με $f^2$ καθώς απομακρυνόμαστε από το 0.

🎯 Αυτή ακριβώς η formula εμφανίζεται στο /fm/in-noise — ο FM discriminator είναι ισοδύναμος με διαφοριστή (μετρά τη στιγμιαία συχνότητα = παράγωγος της φάσης), εφαρμοσμένος στον bandpass θόρυβο που βγαίνει από τον BPF του δέκτη. Το αποτέλεσμα είναι ότι η ισχύς θορύβου εξόδου είναι όχι σταθερή ανά Hz, αλλά τριγωνικά κατανεμημένη στη ζώνη message — εξηγεί τη γνωστή πρακτική του «de-emphasis filter» στους FM δέκτες (μειώνει τις υψηλές συχνότητες πριν τη demodulation).

12. Σύνοψη των master-equation manipulations

Όλοι οι τύποι παράγονται από τη μία και μόνη master equation ${\mathcal{S}}_Y=|H{|}^2{\mathcal{S}}_X$.

13. Εξάσκηση

Πέντε ερωτήσεις πάνω στη master equation και τους υπολογισμούς ισχύος θορύβου — από βασικά applications μέχρι το multi-filter cascade.

14. Ανακάλεσε — drills στην Άσκηση 8

15. Αναγνώρισε — πώς θα δεις το $|H{|}^2{S}_X$ pattern σε εξέταση

16. Πού θα χρειαστείς αυτή τη σελίδα παρακάτω

• /noise/bandpass — όλη η σελίδα αναπτύσσει την Άσκηση 8: η ΣΑΣ $N_{0}W\cos (2\pi f_c\tau )\mathrm{sinc}(W\tau )$ θα παραγοντοποιηθεί σε I/Q decomposition, δείχνοντας ότι ο bandpass θόρυβος γράφεται $N(t)=N_I(t)\cos (2\pi f_{c}t)-N_Q(t)\sin (2\pi f_{c}t)$ με $N_I,N_Q$ ανεξάρτητα baseband Gauss processes εύρους $W$.
• /noise/snr — η ισχύς θορύβου εξόδου του δέκτη γράφεται $P_n=N_{0}B$ όπου $B$ είναι το $B_N$ του pre-detection filter. Το πραγματικό αποτέλεσμα της κάθε ανάλυσης SNR (SNR_in, SNR_out, NF) βασίζεται στην master equation που παράγεται εδώ.
• /am/modulator-demodulator §6 — η σχέση $P_n=N_{0}W$ για AM-in-noise προκύπτει από εφαρμογή της Άσκησης 8 με $W$ το bandwidth του AM σήματος. Η SNR_out του coherent demodulator (cos-multiply + LPF) είναι direct εφαρμογή της master equation στα δύο στάδια του δέκτη.
• /fm/in-noise — ο discriminator είναι ισοδύναμος με διαφοριστή $H=j2\pi f$ (§11), εφαρμοσμένος σε bandpass-filtered θόρυβο (Άσκηση 8 output). Το αποτέλεσμα είναι τριγωνική noise PSD ${\mathcal{S}}_n^{out}(f)=(2\pi f{)}^2\cdot N_0/2\cdot |H_{BPF}{|}^2/A_c^2$ — με $A_c$ από το FM σήμα. Όλη η FM noise analysis εκκινεί από εδώ.
• /practice/sose-to-eksamino — όλα τα noise past-exam problems χρησιμοποιούν τη γραμμή «${\mathcal{S}}_Y=|H{|}^2{\mathcal{S}}_X$» ως πρώτο βήμα. Αυτή η σελίδα είναι η αναφορά.

17. Συμπύκνωσε — όλη η σελίδα