Noise · 3·~24 min read·🟠 Medium exam — recurring calc

Θόρυβος μέσα από φίλτρα

Όλη η ανάλυση θορύβου σε δέκτες ανάγεται σε αυτό το ένα θεώρημα:

S_{Y} (f) = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f) ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

Σε αυτό το κεφάλαιο εφαρμόζουμε το θεώρημα σε:

Λευκό θόρυβο μέσα από ιδανικό LPF (rect filter).
Λευκό θόρυβο μέσα από RC LPF (πρώτης τάξης).
Λευκό θόρυβο μέσα από BPF (κανονικό model για RF receiver front-end).
Ορίζουμε Equivalent Noise Bandwidth $B_{N}$ .

1. Το θεώρημα — γρήγορη επανάληψη

Έστω WSS random process $X (t)$ με PSD $S_{X} (f)$ μπαίνει σε LTI φίλτρο με frequency response $H (f)$ . Η έξοδος $Y (t)$ είναι WSS με:

S_{Y} (f) = ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f), R_{Y} (τ) = h (τ) * h (- τ) * R_{X} (τ)

(η δεύτερη μορφή είναι time-domain ισοδύναμη.)

Output power:

P_{Y} = R_{Y} (0) = \int_{- \infty}^{\infty} ∣ H (f) ∣^{2} S_{X} (f) df

Για λευκό θόρυβο εισόδου $S_{X} = N_{0} /2$ :

P_{Y} = \frac{N _{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} ∣ H (f) ∣^{2} df

Δηλαδή το output noise power εξαρτάται μόνο από την ολοκλήρωμα του squared magnitude του φίλτρου.

S_Y(f) = |H(f)|² S_X(f) — άσπρος θόρυβος μέσα από φίλτρο

|H|² = 1 για |f| ≤ B

B = 0.40

Output power P_Y = ∫ |H(f)|² S_X(f) df

0.400

Πάτα τα διάφορα presets και δες πώς το output PSD «μιμείται το σχήμα του $∣ H (f) ∣^{2}$ », αφού πολλαπλασιάζεται με ένα σταθερό $N_{0} /2$ .

2. Παράδειγμα — Ιδανικό LPF

Έστω ιδανικό LPF με cutoff $B$ :

∣ H (f) ∣^{2} = {1, 0, ∣ f ∣ \leq B ∣ f ∣ > B

Output PSD:

S_{Y} (f) = \frac{N _{0}}{2} για ∣ f ∣ \leq B, αλλι \overset{ω}{ˊ} ς 0

Output power:

P_{Y} = \int_{- B}^{B} \frac{N _{0}}{2} df = N_{0} B

Διαβάζεται: ένα LPF με cutoff $B$ «κρατάει» θόρυβο ισχύος $N_{0} B$ και πετάει τον υπόλοιπο.

Output autocorrelation:

R_{Y} (τ) = N_{0} B sinc (2 B τ)

(όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο — αυτό είναι ακριβώς bandlimited white noise.)

3. Παράδειγμα — RC LPF (πρώτης τάξης)

Ένα πραγματικό φίλτρο, όχι ιδανικό. Η frequency response είναι:

H (f) = \frac{1}{1 + j 2 π f R C}

∣ H (f) ∣^{2} = \frac{1}{1 + ( 2 π f R C ) ^{2}}

Με $f_{c} = 1/ (2 π R C)$ (3dB cutoff):

∣ H (f) ∣^{2} = \frac{1}{1 + ( f / f _{c} ) ^{2}}

Output PSD:

S_{Y} (f) = \frac{N _{0} /2}{1 + ( f / f _{c} ) ^{2}}

(Lorentzian.)

Output power:

P_{Y} = \frac{N _{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{df}{1 + ( f / f _{c} ) ^{2}}

Με $u = f / f_{c}$ , $df = f_{c} d u$ :

= \frac{N _{0} f _{c}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d u}{1 + u ^{2}} = \frac{N _{0} f _{c}}{2} \cdot π = \frac{π N _{0} f _{c}}{2}

Άρα:

P_{Y}^{(R C)} = \frac{π N _{0} f _{c}}{2}

Σύγκριση με ιδανικό LPF στο ίδιο $B = f_{c}$ :

Φίλτρο	Output power
Ιδανικό LPF	$N_{0} \cdot f_{c}$
RC LPF	$(π /2) \cdot N_{0} f_{c} \approx 1.57 \cdot N_{0} f_{c}$

Το RC φίλτρο περνάει 57% περισσότερο θόρυβο από το ιδανικό! Γιατί; Επειδή ο RC δεν κόβει στιγμιαία στο $f_{c}$ — η αργή φθορά του $∣ H ∣^{2}$ αφήνει συχνότητες πάνω από $f_{c}$ να περάσουν με κάποιο gain.

4. Equivalent noise bandwidth $B_{N}$

Για να συγκρίνουμε φίλτρα διαφορετικού σχήματος ως προς θόρυβο, ορίζουμε το equivalent noise bandwidth $B_{N}$ ως το bandwidth του ισοδύναμου ιδανικού LPF που θα παρήγαγε τον ίδιο output θόρυβο:

B_{N} = \frac{1}{∣ H ( 0 ) ∣ ^{2}} \int_{0}^{\infty} ∣ H (f) ∣^{2} df

Πρακτικό: αν ξέρεις $B_{N}$ ενός φίλτρου, μπορείς να γράψεις

P_{Y} = N_{0} B_{N}

σαν να ήταν ιδανικό LPF.

Παραδείγματα:

Φίλτρο	$B_{N}$
Ιδανικό LPF cutoff $B$	$B$
RC LPF με $f_{c}$	$(π /2) f_{c} \approx 1.57 f_{c}$
2-pole Butterworth, $f_{c}$	$1.11 f_{c}$
Gaussian, $σ_{f}$	$π /2 σ_{f}$

Όσο πιο απότομα πέφτει το φίλτρο μετά το cutoff του, τόσο πιο κοντά στο ιδανικό είναι το $B_{N}$ .

5. Bandpass noise

Για ζωνοπερατό φίλτρο γύρω από $f_{c}$ με bandwidth $B$ (από $f_{c} - B /2$ έως $f_{c} + B /2$ ):

P_{Y} = \frac{N _{0}}{2} \cdot 2 \cdot B = N_{0} B

(παράγοντας 2 για να συμπεριληφθούν τα δύο κομμάτια στις $\pm f_{c}$ .)

Output autocorrelation (από Wiener-Khinchin):

R_{Y} (τ) = N_{0} B \cdot sinc (B τ) \cdot cos (2 π f_{c} τ)

Διαβάζεται: το envelope είναι sinc (όπως LPF), και ο carrier-cosine πάνω του είναι το «βαρύ κέντρο» γύρω από το οποίο επικεντρώνεται το φάσμα.

Αυτή η εξίσωση εμφανίστηκε στο Autocorrelation viz — δες το preset «Bandpass θόρυβος» για να την επιβεβαιώσεις.

Παραγωγή της R_Y(τ) βήμα προς βήμα

Από session 10 (Άσκηση 8) — μια πλήρης παραγωγή που εμφανίζεται στις εξετάσεις. Έχουμε $S_{Y} (f) = N_{0} /2$ για $f_{c} - W /2 \leq ∣ f ∣ \leq f_{c} + W /2$ και 0 αλλιώς.

Inverse FT διασπασμένη σε δύο ολοκληρώματα (θετικές + αρνητικές συχνότητες):

R_{Y} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} S_{Y} (f) e^{j 2 π f τ} df = I_{1} + I_{2}

όπου $I_{1}$ είναι το θετικό κομμάτι:

I_{1} = \int_{f_{c} - W /2}^{f_{c} + W /2} \frac{N _{0}}{2} e^{j 2 π f τ} df = \frac{N _{0}}{2} [\frac{e ^{j 2 π f τ}}{j 2 π τ}]_{f_{c} - W /2}^{f_{c} + W /2}

= \frac{N _{0}}{2 \cdot π τ} e^{j 2 π f_{c} τ} \frac{e ^{j π W τ} - e ^{- j π W τ}}{2 j} = e^{j 2 π f_{c} τ} \frac{N _{0}}{2 π τ} sin (π W τ)

= e^{j 2 π f_{c} τ} \frac{N _{0} W}{2} sinc (W τ)

Αντίστοιχα ( $I_{2}$ ) για το αρνητικό κομμάτι:

I_{2} = e^{- j 2 π f_{c} τ} \frac{N _{0} W}{2} sinc (W τ)

Άθροισμα:

R_{Y} (τ) = I_{1} + I_{2} = \frac{N _{0} W}{2} sinc (W τ) [e^{j 2 π f_{c} τ} + e^{- j 2 π f_{c} τ}] = N_{0} W sinc (W τ) cos (2 π f_{c} τ)

✓ Συμφωνεί με τον τύπο πιο πάνω. Ισχύς: $P_{Y} = R_{Y} (0) = N_{0} W \cdot 1 \cdot 1 = N_{0} W$ .

6. Worked example — Πρόοδος B 2025-09 Θ3

7. Παράδειγμα από AM/FM context

Στο AM in noise χρησιμοποιήσαμε:

P_{n} = N_{0} B

Αυτό είναι ακριβώς $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ με ιδανικό BPF bandwidth $B$ (Carson) γύρω από τον carrier. Τώρα έχεις τη μηχανή να το παράγεις.

Στο FM in noise χρησιμοποιήσαμε ότι ο discriminator δίνει triangular noise PSD:

S_{n}^{o u t} (f) = \frac{N _{0} f ^{2}}{A _{c}^{2}}

Αυτό προκύπτει από το ότι ο discriminator είναι ισοδύναμος με differentiator (transfer function $j 2 π f$ , $∣ H ∣^{2} = (2 π f)^{2}$ ) εφαρμοσμένος σε bandpass-filtered θόρυβο. Τέλεια συνέπεια του $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ .

8. Σύνοψη formulas

Ποσότητα	Τύπος
Output PSD	$S_{Y} (f) = ∥ H (f) ∥^{2} S_{X} (f)$
Output power (general)	$P_{Y} = \int ∥ H ∥^{2} S_{X} df$
White noise + LPF (ideal)	$P_{Y} = N_{0} B$
White noise + RC LPF	$P_{Y} = π N_{0} f_{c} /2$
White noise + BPF	$P_{Y} = N_{0} B$
Equivalent noise bandwidth	$B_{N} = \int_{0}^{\infty} ∥ H ∥^{2} df /∥ H (0) ∥^{2}$
RC $B_{N}$	$B_{N}^{R C} = (π /2) f_{c}$

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις πάνω στο $∣ H ∣^{2}$ θεώρημα και τους υπολογισμούς ισχύος θορύβου.

Τι μάθαμε

Το κεντρικό θεώρημα $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ είναι το βασικό εργαλείο για όλες τις θορυβικές αναλύσεις.
Λευκός + ιδανικό LPF: $P_{Y} = N_{0} B$ . Λευκός + RC LPF: $P_{Y} = π N_{0} f_{c} /2$ .
Equivalent noise bandwidth $B_{N}$ μετατρέπει οποιοδήποτε φίλτρο σε ισοδύναμο ιδανικό LPF για θορυβικούς υπολογισμούς.
Cascade φίλτρων: $∣ H_{t o t a l} ∣^{2} = \prod ∣ H_{i} ∣^{2}$ .
Επόμενο κεφάλαιο: SNR formalism — πώς το αξιοποιούμε όλο αυτό για να αξιολογήσουμε δέκτες.

Επόμενο

SNR

Φόρτωση σχολίων…