Noise · 2·~18 min read·🟠 Medium exam — load-bearing

Λευκός θόρυβος

Χρειάζεσαι:Πηγές θορύβου Power spectral density

Ο λευκός θόρυβος είναι μια ιδανικότητα — δεν υπάρχει στην πραγματικότητα ως αυτό-ακριβώς, αλλά είναι ο πιο απλός μαθηματικά και είναι εξαιρετική προσέγγιση για τον θερμικό θόρυβο σε όλες τις πρακτικές ζώνες συχνοτήτων.

1. Ορισμός μέσω PSD

Λευκός θόρυβος είναι ένα WSS random process με επίπεδη PSD:

S_{N} (f) = \frac{N _{0}}{2}, - \infty < f < \infty ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

(δίπλευρη). Η μονόπλευρη εκδοχή είναι $S_{N}^{+} (f) = N_{0}$ για $f \geq 0$ .

Όνομα: «λευκός» γιατί έχει ίσες συμμετοχές σε όλες τις συχνότητες — όπως το λευκό φως που περιέχει όλα τα χρώματα ισόποσα.

2. Αυτοσυσχέτιση = δ(τ)

Από το Wiener-Khinchin και την FT ταυτότητα ότι ο FT μιας σταθεράς είναι δ:

R_{N} (τ) = F^{- 1} {\frac{N _{0}}{2}} = \frac{N _{0}}{2} δ (τ)

Δηλαδή:

R_{N} (τ) = \frac{N _{0}}{2} δ (τ)

Διαβάζεται: «ο λευκός θόρυβος δεν έχει καμία μνήμη» — οι τιμές του σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές (όσο μικρή κι αν είναι η διαφορά) είναι τέλεια ασυσχέτιστες.

3. Παράδοξο — άπειρη ισχύς

Η συνολική ισχύς:

P_{N} = R_{N} (0) = \frac{N _{0}}{2} \cdot δ (0) = \infty

Άπειρη ισχύς! Ή, ισοδύναμα,

\int_{- \infty}^{\infty} S_{N} (f) df = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N _{0}}{2} df = \infty

Άρα ο πραγματικά λευκός θόρυβος δεν μπορεί να υπάρχει. Είναι ένα μαθηματικό μοντέλο — όπως η δ(τ) είναι μαθηματικό μοντέλο για ιδανικό impulse.

Γιατί τον χρησιμοποιούμε ταν; Επειδή σε οποιαδήποτε πεπερασμένη ζώνη, ο θερμικός θόρυβος είναι πρακτικά επίπεδος — η PSD αρχίζει να φθίνει μόνο σε τόσο υψηλές συχνότητες (κβαντικά εφέ ~10¹³ Hz) που σε καμία RF/microwave εφαρμογή δεν παίζει ρόλο.

Λευκός Gaussian θόρυβος — δείγμα + εκτιμώμενη PSD

Πάνω: μία realization στον χρόνο — απλά Gaussian τυχαίοι αριθμοί, ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Κάτω: η εκτιμώμενη PSD (periodogram). Στη θεωρία είναι επίπεδη στα N₀/2. Αύξησε το N και θα δεις την εκτίμηση να σταθεροποιείται κοντά σε αυτή τη τιμή.

N = 512 samples (0.51s)

Παρατήρηση: στο πάνω panel βλέπεις realizations λευκού θορύβου — απλά Gaussian τυχαίοι αριθμοί. Στο κάτω panel βλέπεις την εκτιμώμενη PSD να ταλαντεύεται γύρω από το θεωρητικό $N_{0} /2$ . Όσο αυξάνεις το N (samples), η εκτίμηση γίνεται πιο σταθερή.

4. Bandlimited white noise — η πρακτική εκδοχή

Επειδή ο πραγματικά λευκός θόρυβος είναι μη-ρεαλιστικός, στην πράξη χρησιμοποιούμε bandlimited white noise:

S_{N} (f) = {N_{0} /2, 0, ∣ f ∣ \leq B ∣ f ∣ > B

(Λευκός μέσα σε bandwidth B, μηδέν έξω.)

Ισχύς

P_{N} = \int_{- B}^{B} \frac{N _{0}}{2} df = N_{0} B

Πεπερασμένη! ✓

Αυτοσυσχέτιση

Είναι FT του rect:

R_{N} (τ) = N_{0} B sinc (2 B τ)

Παρατηρήσεις:

Στο $τ = 0$ : $R_{N} (0) = N_{0} B$ — η ισχύς. ✓
Πέφτει σε sinc-shape, με zero crossings στα $τ = k / (2 B)$ .
Όσο μεγαλύτερο το B, τόσο στενότερο το main lobe — γρηγορότερη λήθη.
Στο όριο $B \to \infty$ : το sinc γίνεται δ-spike (ή ισοδύναμα: η ισχύς γίνεται άπειρη). Αυτό είναι το «άπειρο bandwidth» όριο που οδηγεί στον αληθινό λευκό θόρυβο.

Πότε «τόσο λευκός όσο χρειάζεται»

Ένας πρακτικός κανόνας: αν το $B$ του θορύβου είναι πολύ μεγαλύτερο από το bandwidth του σήματος που μας ενδιαφέρει, μπορούμε να τον αντιμετωπίσουμε ως «λευκό» στους υπολογισμούς.

Παράδειγμα: ο θερμικός θόρυβος είναι λευκός μέχρι ~10¹³ Hz. Σε ένα FM δέκτη με bandwidth 200 kHz, η ζώνη του δέκτη είναι 5 × 10⁷ φορές μικρότερη από το spectrum του θορύβου — άρα μέσα σε αυτή τη ζώνη ο θόρυβος είναι απολύτως επίπεδος. Η bandlimited προσέγγιση είναι ακριβής.

5. White noise + amplitude είναι Gaussian

Στις περισσότερες εφαρμογές που μας ενδιαφέρουν (θερμικός, shot σε υψηλά ρεύματα), ο θόρυβος είναι Gaussian και λευκός ταυτόχρονα. Συντομογραφία στη βιβλιογραφία: AWGN — Additive White Gaussian Noise.

Ιδιότητες AWGN που χρησιμοποιούμε ξανά και ξανά:

$μ_{N} = 0$ (συνήθως δίνεται)
$S_{N} (f) = N_{0} /2$
$R_{N} (τ) = (N_{0} /2) δ (τ)$
Σε bandwidth $B$ , ο θόρυβος είναι Gaussian με $σ^{2} = N_{0} B$
Ergodic — μπορούμε να μετρήσουμε στατιστικές από μία καταγραφή

6. Εξεταστική παγίδα — αν το ζητήσει

7. Σύνοψη formulas

Ποσότητα	Τύπος
Λευκός θόρυβος, PSD	$S_{N} (f) = N_{0} /2$ (δίπλευρη)
Λευκός θόρυβος, αυτοσυσχέτιση	$R_{N} (τ) = (N_{0} /2) δ (τ)$
Συνολική ισχύς (αληθινά λευκός)	$\infty$ — μη φυσικό
Bandlimited white, PSD	$N_{0} /2$ για \|f\| ≤ B
Bandlimited white, R(τ)	$N_{0} B sinc (2 B τ)$
Bandlimited white, ισχύς	$P = N_{0} B$
AWGN (Gaussian + white)	πιο κοινό μοντέλο για θερμικό θόρυβο

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις πάνω στις παγίδες του «λευκού».

Τι μάθαμε

Ο λευκός θόρυβος ορίζεται από επίπεδη PSD $N_{0} /2$ — όλες οι συχνότητες ίσες.
R(τ) = (N₀/2)δ(τ) — καμία μνήμη.
Άπειρη ισχύς — δεν είναι φυσικά εφικτός, αλλά είναι πρακτικά ακριβής προσέγγιση μέσα σε οποιαδήποτε πεπερασμένη ζώνη ενδιαφέροντος.
Bandlimited white noise: λευκός μέσα σε ζώνη B → ισχύς $N_{0} B$ , R = $N_{0} B sinc (2 B τ)$ .
AWGN = Additive White Gaussian Noise — το πιο κοινό μοντέλο για θερμικό θόρυβο σε δέκτες.
Παγίδα: «λευκός» δεν σημαίνει «Gaussian». Είναι διαφορετικά concepts.
Επόμενο κεφάλαιο: τι κάνει αυτός ο θόρυβος μέσα από φίλτρα — εκεί η μηχανή $S_{Y} = ∣ H ∣^{2} S_{X}$ καρπίζει.

Επόμενο

Θόρυβος μέσα από φίλτρα

Φόρτωση σχολίων…