Λευκός θόρυβος

1. Νιώσε — από φυσική πηγή σε καθαρή μαθηματική αφαίρεση

Στο /noise/sources §6 είδαμε ότι ο θερμικός θόρυβος έχει επίπεδη PSD ${\mathcal{S}}_N(f)=kT/2$, που τη βαφτίσαμε $N_0/2$ με $N_0\triangleq kT$. Αυτή η σελίδα παίρνει εκείνη τη γραμμή και τη μεταχειρίζεται ως ορισμό μιας καθαρά μαθηματικής ΤΔ — απομονωμένης από τη φυσική προέλευση.

Γιατί το κάνουμε αυτό; Επειδή σε όλες τις downstream εφαρμογές (AM-στον-θόρυβο, FM-στον-θόρυβο, SNR, bandpass δέκτες) δεν χρειάζεται να ξέρεις την τιμή του $T$ ή του $R$ της αντίστασης. Όλη η ανάλυση γράφεται σε $N_0$-γλώσσα: «έχω λευκό Gaussian θόρυβο με PSD $N_0/2$, ποια είναι η έξοδος του δέκτη;». Ο φυσικός μηχανισμός γίνεται μια ταμπέλα.

Operational σύνδεση με τις γειτονικές σελίδες:

2. Ο ορισμός του λευκού θορύβου

Λευκός θόρυβος (white noise) είναι ο θόρυβος που παρουσιάζει επίπεδο φάσμα σε όλες τις συχνότητες. Τον ορίζουμε μέσω της ΦΠΙ του, που είναι μια σταθερά:

${\mathcal{S}}_N(f)=\frac{N_0}{2},f\in (-\infty ,+\infty ),\text{οˊπου}{N}_0\triangleq kT.$

Για θερμοκρασία δωματίου $T=290$ K προκύπτει $N_0=10^{-21}$ Watts/Hz. Και επειδή ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier μιας σταθεράς είναι δέλτα, η ΣΑΣ του λευκού θορύβου είναι:

$R_N(\tau )={\mathcal{F}}^{-1}[{\mathcal{S}}_N(f)]=\frac{N_0}{2}\delta (\tau ).$

Πώς να διαβάσεις τις δύο γραμμές:

• Η πρώτη γραμμή (PSD) είναι ο ορισμός. Λευκή = επίπεδη PSD. Δεν λέει τίποτα για την κατανομή στο χρόνο — μόνο για το σχήμα του φάσματος.
• Η δεύτερη γραμμή (ΣΑΣ) είναι απόρροια μέσω Wiener-Khinchin: $R_N(\tau )={\mathcal{F}}^{-1}\{{\mathcal{S}}_N(f)\}$. Επειδή ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier μιας σταθεράς $N_0/2$ είναι μια δέλτα $(N_0/2)\delta (\tau )$, η ΣΑΣ είναι παλμός στο $\tau =0$ και μηδέν οπουδήποτε αλλού.
• Οι δύο γραμμές μαζί είναι Wiener-Khinchin pair: $S\leftrightarrow R$. Δεν είναι δύο ανεξάρτητες δηλώσεις — η μία παράγει την άλλη.

3. Παράδοξο — η ολική ισχύς είναι άπειρη

Πάρε την ΣΑΣ στο $\tau =0$:

Από /randomness/psd §4 ξέρουμε ότι $R_X(0)$ είναι η συνολική ισχύς της WSS ΤΔ. Άρα ο λευκός θόρυβος έχει άπειρη ολική ισχύ. Αντίστοιχα στη συχνότητα:

Δύο δρόμοι, ίδιο συμπέρασμα: ο πραγματικά λευκός θόρυβος δεν είναι φυσικά υλοποιήσιμος.

Γιατί τότε χρησιμοποιούμε αυτό το μοντέλο αν δεν υπάρχει στη φύση; Επειδή σε οποιαδήποτε πεπερασμένη ζώνη συχνοτήτων ο θερμικός θόρυβος είναι πρακτικά επίπεδος. Όπως είδαμε στο /noise/sources §5, η PSD αρχίζει να φθίνει μόνο σε κβαντικές συχνότητες ($\sim 10^{12}$ Hz, Planck cutoff) που είναι πέρα από κάθε RF/microwave εφαρμογή. Άρα μέσα στη ζώνη ενδιαφέροντος ο πραγματικός θόρυβος είναι όντως λευκός — και η άπειρη ολική ισχύς δεν αποτελεί πρόβλημα, γιατί ο δέκτης δεν θα τη δει ποτέ.

4. Bandlimited recipe — η πρακτική εκδοχή

Από τη §3 ξέρουμε ότι «λευκός» γίνεται διαχειρίσιμος μόνο μέσα σε πεπερασμένη ζώνη. Αυτό κωδικοποιείται στο bandlimited white noise μοντέλο: λευκός θόρυβος αφού περάσει από ιδανικό LPF εύρους $B$, ή ισοδύναμα η ΤΔ με

Δύο παρατηρήσιμα ποσά βγαίνουν με ένα ολοκλήρωμα και έναν αντίστροφο FT.

4α. Ισχύς

Διάβασέ το: η ολική ισχύς εξόδου ενός LPF εύρους $B$ που φιλτράρει λευκό θόρυβο με PSD $N_0/2$ είναι γραμμική στο $B$. Διπλασίασε τη ζώνη → διπλασίασε την ισχύ. Δεν εξαρτάται από το $f_c$ ή τη θέση της ζώνης· μόνο από το μέγεθος της.

4β. Αυτοσυσχέτιση

Η ΣΑΣ είναι ο αντίστροφος FT της παραπάνω rect PSD:

Όπου $\mathrm{sinc}(x)=\sin (\pi x)/(\pi x)$ (κανονικοποιημένη). Σταθερά:

• Στο $\tau =0$: $R_N(0)=N_{0}B$ — η ολική ισχύς. ✓ ταυτίζεται με τη §4α.
• Σχήμα: φθίνουσα sinc — main lobe με κορυφή στο $\tau =0$ και μηδενικά στα $\tau =k/(2B)$ για $k=\pm 1,\pm 2,\dots$.
• Μνήμη: για μικρό $\tau$ ο θόρυβος έχει συσχέτιση· για $\tau \gg 1/(2B)$ τείνει στο 0 (αλλά όχι ταυτόσημα — όπως κάθε sinc).

4γ. Nyquist-rate decorrelation — η μη-προφανή συνέπεια

Πάρε $\tau =1/(2B)$. Το πρώτο μηδέν της sinc είναι ακριβώς εκεί:

Πρακτική σημασία: αν δειγματοληπτήσεις bandlimited θόρυβο στο Nyquist rate $f_s=2B$ (δηλαδή με spacing $T_s=1/(2B)$), τα διαδοχικά δείγματα είναι ασυσχέτιστα. Αν επιπλέον είναι Gaussian, τότε ασυσχέτιστα ⇒ ανεξάρτητα. Άρα μπορείς να επεξεργαστείς το διακριτό σήμα σαν ακολουθία ανεξάρτητων Gaussian τυχαίων μεταβλητών — κάτι κρίσιμο για τους discrete-time δέκτες.

4δ. Πότε «τόσο λευκός όσο χρειάζεται»

Πρακτικός κανόνας: αν η ζώνη του θορύβου είναι πολύ μεγαλύτερη από το bandwidth του φίλτρου ενδιαφέροντος, η bandlimited προσέγγιση γίνεται ακριβής.

Παράδειγμα. Ο θερμικός θόρυβος έχει επίπεδη PSD μέχρι το THz ($\sim 10^{12}$ Hz). Σε έναν FM δέκτη με bandwidth 200 kHz ($2\times 10^5$ Hz), η ζώνη του δέκτη είναι $5\times 10^6$ φορές μικρότερη από το spectrum του θερμικού θορύβου. Μέσα σε αυτή τη ζώνη η PSD του θερμικού είναι $N_0/2$ — κυριολεκτικά επίπεδη μέχρι την 6η-7η σημαντική θέση. Η bandlimited προσέγγιση δεν είναι «προσέγγιση», είναι ακριβής για όλους τους πρακτικούς σκοπούς.

5. Εύρος ζώνης φίλτρου = ισχύς + ταχύτητα της εξόδου

Κλείνουμε τη Λευκή ενότητα με μια συγκριτική εικόνα: βάζουμε δύο bandpass φίλτρα στον ίδιο λευκό θόρυβο εισόδου και κοιτάμε τις δύο εξόδους.

• Στενό φίλτρο (passband ≈ 5 Hz): η έξοδος $y_i(t)$ είναι αργή και χαμηλή — αργές ταλαντώσεις και μικρή διακύμανση.
• Ευρύ φίλτρο (passband ≈ 40 Hz): η έξοδος είναι γρήγορη και υψηλή — πιο πυκνά τοπικά μέγιστα/ελάχιστα και μεγαλύτερη διακύμανση.

Η σύγκριση οδηγεί στην κεντρική παρατήρηση της ενότητας: η ισχύς του θορύβου αυξάνεται με το εύρος ζώνης του φίλτρου (για χαμηλοπερατό φίλτρο, $f_c=0$).

Διπλή ταυτότητα στην ίδια εικόνα — μη σταματάς στη μία:

1. Ισχύς εξόδου $\propto W$ — από τη §4α, $P_Y=N_{0}W$. Διπλασιάζεις τη ζώνη → διπλασιάζεις τη διακύμανση εξόδου. Στο visual αυτό φαίνεται ως μεγαλύτερο πλάτος της κάτω καμπύλης.
2. «Ταχύτητα» εξόδου $\propto W$ — από τη §4β, η ΣΑΣ φθίνει σε scale $1/(2B)$. Διπλασιάζεις τη ζώνη → η μνήμη μειώνεται κατά 2 → η έξοδος ταλαντώνεται διπλάσια γρήγορα. Στο visual αυτό φαίνεται ως πιο πυκνά zero crossings στην κάτω καμπύλη.

Δηλαδή: ένα φίλτρο με δύο διαφορετικές ρυθμίσεις του $W$ δίνει δύο διαφορετικά «στατιστικά αντικείμενα» — μέσα και τα δύο WSS Gaussian, αλλά διαφορετικής ισχύος και διαφορετικής μνήμης. Όλη η μηχανή της Noise group ζει σε αυτή τη διπλή ταυτότητα.

Δες την έξοδο στον χρόνο — ζωντανά

Σύρε το εύρος ζώνης $W$ (ή πάτα τα presets «Στενό»/«Ευρύ») και κοίτα την κάτω καμπύλη, μία realization της εξόδου: μεγαλώνοντας το $W$ γίνεται ταυτόχρονα μεγαλύτερη (ισχύς $\propto W$) και γρηγορότερη (zero-crossings $\propto W$) — η διπλή ταυτότητα, ζωντανά.

Και στη συχνότητα — η μηχανή $S_Y=|H{|}^2{S}_X$ πίσω από την εικόνα

Πώς να διαβάσεις:

• Επιλογή Ιδανικό LPF — το setup με $f_c=0$. Σύρε τη ζώνη $B$ από 0.05 σε 0.95. Παρατήρησε και τα δύο αυτόματα:
  • Το output PSD (πορτοκαλί καμπύλη) είναι rect πλάτους $2B$ με ύψος $N_0/2$.
  • Το «Output power $P_Y$» στο κουτί κάτω δεξιά αυξάνει γραμμικά με το $B$ — αυτό είναι το $P_Y=N_{0}B$.
• Επιλογή Ιδανικό BPF — εδώ ο $f_c$ είναι μη-μηδενικός (κέντρο της ζώνης) με ΔΒ=0.15 (πλάτος ζώνης). Παρατήρησε ότι η ισχύς δεν εξαρτάται από το $f_c$, μόνο από τη ζώνη. Είναι το setup με μη-μηδενικό $f_c$ που η Άσκηση 8 (στο /noise/through-filters) λύνει αναλυτικά.
• Επιλογή RC LPF (1-pole) — ένας μη-ιδανικός LPF δεν έχει σαφή «ζώνη»· χρειάζεται ολοκλήρωση για να βρεις την ισχύ. Το αποτέλεσμα είναι μια φόρμουλα στενά συνδεδεμένη με $f_c$ — αν δεις τέτοιο πρόβλημα σε εξέταση, το γενικό σχήμα της λύσης είναι πάντα $P_Y=\int |H(f){|}^2\cdot N_0/2df$.

6. Παγίδα κορυφαία — «λευκός» ≠ «Gaussian»

Αυτή είναι η παγίδα με τη μεγαλύτερη exam-frequency στην Noise group. Εμφανίστηκε τρεις φορές σε past-exam Σ/Λ ερωτήσεις από διαφορετικές περιόδους.

Από πού γεννιέται η σύγχυση: ο λευκός θόρυβος ορίζεται (§2) μέσω της PSD και μόνο. Η σύνοψη του θερμικού θορύβου, όμως, περιλαμβάνει και «Ακολουθεί κατανομή Gauss» και «Πρόκειται για λευκή ΤΔ». Είναι δύο διαφορετικές ιδιότητες που και οι δύο αληθεύουν για τον θερμικό, αλλά καμία δεν συνεπάγεται την άλλη. Όταν σου ζητούν Σ/Λ «λευκός ⇔ Gaussian», η απάντηση είναι ΛΑΘΟΣ, με αντιπαράδειγμα uniform-amplitude white noise.

Τρία past-exam IDs με αυτή την ακριβή παγίδα (δες ExamRadar §12):

Όλες ΛΑΘΟΣ. Η PSD δεν είναι κατανομή· είναι σχήμα ισχύος ανά Hz.

7. AWGN — η joint ταμπέλα

AWGN = Additive White Gaussian Noise. Είναι η ονομασία για την ΤΔ που ικανοποιεί και τις τέσσερις ιδιότητες της σύνοψης του θερμικού θορύβου:

Γιατί είναι το standard μοντέλο στις τηλεπικοινωνίες:

1. Φυσικά ακριβές. Ο θερμικός θόρυβος ικανοποιεί αυτές τις τέσσερις ιδιότητες ακριβώς. Στις περισσότερες RF εφαρμογές ο θερμικός κυριαρχεί, άρα AWGN = θερμικός.
2. Worst-case για Gaussian κανάλι. Από information theory: για δεδομένη ισχύ θορύβου, η Gaussian κατανομή ελαχιστοποιεί τη χωρητικότητα ενός γραμμικού καναλιού. Άρα αν ο δέκτης σου δουλεύει σε AWGN, δουλεύει και σε άλλες κατανομές ίδιας ισχύος.
3. Αναλυτικά διαχειρίσιμο. Linear systems διατηρούν την Gaussianity. Άρα όλη η μηχανή «είσοδος → LTI → έξοδος» δουλεύει αναλυτικά: η έξοδος είναι ξανά Gaussian, μόνο με διαφορετική μέση τιμή/διακύμανση.
4. CLT υπερασπίζει. Ακόμα κι αν οι πηγές δεν είναι Gaussian, μετά από γραμμικό φιλτράρισμα (που αθροίζει πολλές contributions) τείνει προς Gauss.

Σε εξεταστική: όταν η εκφώνηση λέει «λευκός Gaussian θόρυβος με PSD $N_0/2$» (ή απλά «AWGN»), η ΤΔ ικανοποιεί τις 4 ιδιότητες παραπάνω. Όλη η ανάλυση γράφεται με τη μηχανή Wiener-Khinchin που χτίστηκε στο /randomness/psd και με τη LTI μηχανή ${\mathcal{S}}_Y=|H{|}^2{\mathcal{S}}_X$ της /noise/through-filters.

8. Πώς μοιάζει ζωντανά — Gaussian στο χρόνο + flat PSD

Πώς να διαβάσεις — τρεις παρατηρήσεις:

1. Πάνω panel — Gaussian στον χρόνο. Μία realization του AWGN. Παρατήρησε ότι σχεδόν όλα τα δείγματα είναι μέσα στις $\pm 2\sigma$ διακεκομμένες γραμμές (~95% από την κανονική κατανομή — δες /randomness/random-variables §4). Αν αλλάξεις seed («Νέα δειγματοληψία»), παίρνεις άλλη realization, με τις ίδιες στατιστικές.
2. Κάτω panel — η εκτιμώμενη PSD. Στη θεωρία είναι επίπεδη στα $N_0/2$ (κόκκινη γραμμή). Όμως μία realization δίνει ένα πολύ θορυβώδες periodogram — οδοντωτό «δάσος».
3. Οι δύο sliders — πρόσεξε τη διαφορά τους. Το $N$ (μήκος realization) αλλάζει μόνο την ανάλυση σε συχνότητα: περισσότερα samples → περισσότερα «δέντρα», όχι πιο επίπεδη γραμμή. Αυτό που ισιώνει την εκτίμηση είναι ο μέσος όρος πολλών realizations — σύρε το $M$ και τα δέντρα μαζεύονται στη θεωρητική γραμμή (η διασπορά πέφτει $\propto 1/M$). Ένα periodogram είναι ασυνεπής estimator: χρειάζεται averaging, όχι απλώς περισσότερα samples.

9. Αριθμητική — από $N_0$ σε ισχύ θορύβου σε δέκτη

Στο /noise/sources §8 είδαμε ότι $N_0=k{T}_0\approx 4\times 10^{-21}$ W/Hz σε room temperature, που μεταφράζεται σε $-174$ dBm/Hz noise floor.

Σε ζώνη $B$ Hz (χωρίς noise figure):

Σε dBm:

Παραδείγματα bandlimited θορύβου σε διάφορα κανάλια (room temperature, $F=0$ dB):

Διπλασίασε τη ζώνη → +3 dB στον θόρυβο. $10\times$ τη ζώνη → +10 dB. Αυτό είναι το «bandwidth tax» — γι' αυτό στενά κανάλια έχουν καλύτερο SNR για ίδιο εκπεμπόμενο σήμα.

10. Σύνοψη — οι τύποι που χρειάζεται να βλέπεις απέξω

11. Εξάσκηση — past-exam patterns

Πέντε ερωτήσεις στις βασικές παγίδες και τις βασικές υπολογιστικές ρουτίνες του λευκού.

12. Ανακάλεσε — drills στα κρίσιμα

13. Αναγνώρισε — πώς θα δεις τον λευκό θόρυβο σε εξέταση

14. Πού θα χρειαστείς αυτή τη σελίδα παρακάτω

• /noise/through-filters — όλη η σελίδα είναι εφαρμογή του ${\mathcal{S}}_Y=|H{|}^2\cdot N_0/2$. Η Άσκηση 8 (bandpass-filtered λευκός) λύνεται εκεί. Η §4 bandlimited recipe είναι το ειδικό όριο για ιδανικό LPF.
• /noise/bandpass — bandpass θόρυβος γύρω από $f_c$ → I/Q decomposition. Η §4β ΣΑΣ $N_{0}B\mathrm{sinc}(2B\tau )$ γενικεύεται σε $N_{0}W\cos (2\pi f_c\tau )\mathrm{sinc}(W\tau )$ για bandpass setup.
• /noise/snr — SNR ορίζεται ως $P_s/P_n$, όπου ο παρανομαστής $P_n=N_{0}B$ έρχεται από εδώ. Όλη η μηχανή «μετρώ θόρυβο σε δέκτη» εκκινεί από αυτή τη formula.
• /am/modulator-demodulator §6 — AM σε θόρυβο. Input noise: λευκός Gaussian με PSD $N_0/2$. Output: μετά από bandpass filter και envelope detector / synchronous demod, η ισχύς θορύβου εξόδου είναι $N_{0}W$ (όπου $W$ η ζώνη του AM σήματος) ή κάτι παρόμοιο.
• /fm/in-noise — FM δέκτης με input AWGN ($N_0/2$). Output PSD γίνεται τριγωνική, $\propto N_0{f}^2/A_c^2$. Όλη η ανάλυση εκκινεί από αυτή τη σελίδα.
• /practice/sose-to-eksamino — όλα τα past-exam noise problems χρησιμοποιούν τη γραμμή «AWGN με $N_0/2$» και μετά εφαρμόζουν τις formulas από εδώ.

15. Συμπύκνωσε — όλη η σελίδα