Modulation · AM·~22 min read·🟠 Medium exam

SSB (Single Sideband)

Χρειάζεσαι:Fourier transform Bandpass & I/Q canonical form DSB-SC

Στο DSB-SC πετάξαμε τον carrier component και κερδίσαμε όλη την ισχύ στις sidebands. Αλλά και τα δύο σχήματα (Conventional + DSB-SC) έχουν το ίδιο bandwidth = 2W — διπλάσιο του message.

Σε αυτό το κεφάλαιο πετάμε επιπλέον τη μία από τις δύο sidebands. Το αποτέλεσμα — SSB, Single Sideband — έχει bandwidth = W (μισό), διατηρεί 100% efficiency της DSB-SC, και επιτρέπει πολλαπλούς χρήστες σε στενότερο κανάλι. Το κόστος: ακόμα πιο πολύπλοκη παραγωγή και demodulation.

1. Από DSB-SC στο SSB

Το DSB-SC σήμα έχει και τις δύο sidebands στο φάσμα — πάνω και κάτω από κάθε $\pm f_{c}$ :

X_{D S B} (f) = \frac{1}{2} [M (f - f_{c}) + M (f + f_{c})]

Αλλά οι δύο sidebands είναι κατοπτρικά συμμετρικές γύρω από το $f_{c}$ (αφού το $m (t)$ είναι real, το $M (f)$ έχει conjugate symmetry). Δηλαδή κουβαλάνε την ίδια πληροφορία σε διαφορετική γεωμετρία. Αν κρατήσουμε μόνο τη μία, δεν χάνουμε πληροφορία — απλά πετάμε ένα redundant αντίγραφο.

Δύο εκδοχές του SSB:

USB (Upper Sideband): κρατάμε την πλευρά $∣ f ∣ > f_{c}$ (έξω από τον carrier).
LSB (Lower Sideband): κρατάμε την πλευρά $∣ f ∣ < f_{c}$ (μέσα στον carrier).

Είναι ισοδύναμες ως προς ποιότητα — απλά διαλέγουμε ποια χωρά καλύτερα στο διαθέσιμο κανάλι.

SSB φάσμα — διάλεξε ποια sideband κρατάς

Ξεκινάμε από DSB-SC (δύο sidebands στις ±f_c). Στη SSB κρατάμε μόνο μία από τις δύο. Η σβησμένη ζώνη δείχνει τι θυσιάζουμε. Το bandwidth μειώνεται από 2W σε W — μισό φάσμα.

Πρακτική σημασία: Για ίδια χρήσιμη ισχύ και ίδιο message, η SSB χρησιμοποιεί μισό φάσμα από DSB-SC (W αντί 2W). Και χωρίζει σε δύο εκδοχές — USB και LSB — που μπορεί να πάνε σε διαφορετικά κανάλια χωρίς να αλληλοκαλύπτονται. Γι' αυτό η SSB είναι το αγαπημένο σχήμα στις HF (shortwave) και τις ραδιοερασιτεχνικές επικοινωνίες όπου το φάσμα είναι πολύτιμο.

2. Δύο μέθοδοι παραγωγής

2a. Filter method

Η εννοιολογικά απλή προσέγγιση:

Φτιάξε DSB-SC: $x_{D S B} (t) = m (t) cos (2 π f_{c} t)$ .
Πέρασέ το από bandpass filter που αφήνει μόνο τη μία sideband.

Πρόβλημα: ο BPF πρέπει να είναι πολύ απότομος στο $f_{c}$ . Αν το message έχει συνιστώσες κοντά στο DC (όπως τα χαμηλά bass συχνότητες της φωνής), οι δύο sidebands είναι πολύ κοντά στο $f_{c}$ — και ο φίλτρος πρέπει να τις ξεχωρίσει χωρίς να κόβει χρήσιμο σήμα. Πρακτικά αυτό απαιτεί πολύ υψηλό filter order ή «κενή ζώνη» γύρω από το DC του message.

2b. Phase-shift (Hilbert) method

Πιο μαθηματικά κομψή. Από την I/Q canonical form με $x_{I} = A_{c} m /2$ , $x_{Q} = - A_{c} \overset{m}{^} /2$ :

x_{U S B} (t) = x_{I} cos (2 π f_{c} t) - x_{Q} sin (2 π f_{c} t) = \frac{A _{c}}{2} [m (t) cos (2 π f_{c} t) - \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t) (- 1)]

Καθαρίζοντας τα πρόσημα (με $A_{c} = 2$ για απλότητα):

x_{U S B} (t) = m (t) cos (2 π f_{c} t) - \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)

και

x_{L S B} (t) = m (t) cos (2 π f_{c} t) + \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)

Δύο γινόμενα και ένα άθροισμα. Το «−» δίνει USB, το «+» δίνει LSB. Καμία ανάγκη για απότομο φίλτρο — ο Hilbert transform κάνει τη δουλειά της επιλογής sideband.

Πώς γεννιέται το SSB — δύο μέθοδοι

Δύο κλασικές μέθοδοι παραγωγής SSB. Η filter method είναι εννοιολογικά απλή (DSB-SC + στενό BPF) αλλά απαιτεί απότομο φίλτρο. Η phase-shift method χρησιμοποιεί τον Hilbert transform και αποφεύγει το αυστηρό φίλτρο.

1. Filter method

Πλεονέκτημα: εννοιολογικά απλό. Μειονέκτημα: ο BPF πρέπει να είναι πολύ απότομος γύρω από το f_c για να κόβει την μία sideband χωρίς να επηρεάζει την άλλη. Δύσκολο όταν το message έχει στοιχεία κοντά στο DC (π.χ. φωνή με χαμηλές συχνότητες).

2. Phase-shift (Hilbert) method

Εξίσωση: x_SSB(t) = m(t) cos(ω_c t) ∓ m̂(t) sin(ω_c t). Το «−» δίνει USB, το «+» δίνει LSB. Πλεονέκτημα: δεν χρειάζεται απότομο BPF. Μειονέκτημα: χρειάζεται ακριβής Hilbert για όλο το message bandwidth — που είναι πρακτικά δύσκολο σε αναλογικό κύκλωμα.

Η phase-shift method γίνεται «καθαρή» όταν δεις τη μαθηματική απόδειξη: m(t) cos(ω_c t) ∓ m̂(t) sin(ω_c t). Από [bridge §3](/modulation/bridge#3-pre-envelope-x_pt-μονόπλευρο-φάσμα), το φάσμα του pre-envelope x_p = m + jm̂ έχει μονόπλευρο φάσμα — άρα όταν το πολλαπλασιάσουμε με e^(j ω_c t) και πάρουμε το real part, παίρνουμε ένα bandpass σήμα με μόνο USB. Το αρνητικό πρόσημο δίνει LSB.

🎯 Κλείνει υπόσχεση — γιατί χτίσαμε τον Hilbert στο bridge chapter

Στο /modulation/bridge §2 είδαμε τον Hilbert transform — phase-shifter όλων των συχνοτήτων κατά $π /2$ — και υποσχεθήκαμε ότι «θα τον χρειαστούμε στη SSB». Να γιατί. Ο Hilbert του message $\overset{m}{^} (t)$ μάς επιτρέπει να κατασκευάσουμε ένα bandpass σήμα με μόνο μία sideband, χωρίς να χρειαζόμαστε αδύνατα απότομα φίλτρα. Είναι το «καθαρό» μαθηματικό εργαλείο για SSB.

Παρόλο που η SSB έχει εξεταστική σημασία (5%), ο Hilbert ως ξεχωριστή ερώτηση δεν εμφανίζεται — απλά τον χρησιμοποιείς. Στις εξετάσεις θα πρέπει να ξέρεις τη διπλή φόρμουλα x_SSB = m cos ∓ m̂ sin, να ξεχωρίζεις το πρόσημο για USB vs LSB, και να μπορείς να σχεδιάζεις σπεκτρα.

2c. Απόδειξη ότι το `m cos − m̂ sin` δίνει μόνο USB

Παίρνοντας FT (γραμμικότητα + frequency shift):

F {m (t) cos (2 π f_{c} t)} = \frac{1}{2} [M (f - f_{c}) + M (f + f_{c})]

F {\overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)} = \frac{1}{2 j} [\hat{M} (f - f_{c}) - \hat{M} (f + f_{c})] = \frac{- j sgn ( f - f _{c} )}{2 j} M (f - f_{c}) - \frac{- j sgn ( f + f _{c} )}{2 j} M (f + f_{c})

Χρησιμοποιώντας $\hat{M} (f) = - j sgn (f) M (f)$ από τον Hilbert ορισμό. Καθαρίζοντας:

F {\overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)} = - \frac{1}{2} sgn (f - f_{c}) M (f - f_{c}) + \frac{1}{2} sgn (f + f_{c}) M (f + f_{c})

Αφαιρώντας:

X_{U S B} (f) = \frac{1}{2} [1 + sgn (f - f_{c})] M (f - f_{c}) + \frac{1}{2} [1 - sgn (f + f_{c})] M (f + f_{c})

Στο $+ f_{c}$ side: ο όρος $1 + sgn (f - f_{c})$ είναι 2 για $f > f_{c}$ , 0 για $f < f_{c}$ → κρατάει μόνο USB (πάνω από $f_{c}$ ).
Στο $- f_{c}$ side: ο όρος $1 - sgn (f + f_{c})$ είναι 2 για $f < - f_{c}$ , 0 για $f > - f_{c}$ → κρατάει μόνο τη μη-mirror πλευρά (κάτω από $- f_{c}$ ).

Δηλαδή το USB κρατάει μόνο τα έξω-από-τον-carrier κομμάτια του φάσματος. ∎

3. Coherent demodulation της SSB

Πολλαπλασιάζουμε με τοπικό cosine και LPF — ίδια διαδικασία με DSB-SC:

y (t) = x_{S S B} (t) \cdot 2 cos (2 π f_{c} t)

Για USB:

y (t) = 2 [m (t) cos (2 π f_{c} t) - \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)] \cdot cos (2 π f_{c} t)

= 2 m (t) cos^{2} (2 π f_{c} t) - 2 \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t) cos (2 π f_{c} t)

= m (t) [1 + cos (4 π f_{c} t)] - \overset{m}{^} (t) sin (4 π f_{c} t)

Μετά από LPF (cutoff $W$ ):

m_{recovered} (t) = m (t)

Τα $cos (4 π f_{c} t)$ και $sin (4 π f_{c} t)$ κομμάτια κόβονται — μένει το $m (t)$ καθαρό.

Phase sensitivity: όπως στο DSB-SC, αν η τοπική φάση είναι $φ$ , παίρνουμε $m (t) cos φ - \overset{m}{^} (t) sin φ$ μετά LPF. Σε $φ = 0$ : τέλεια ανάκτηση. Σε $φ = 90°$ : το $\overset{m}{^} (t)$ που δεν είναι το $m (t)$ — παραμόρφωση (όχι quadrature null όπως DSB-SC, αλλά το «λάθος» message). Για ομιλία αυτό ακούγεται σαν διπλό μετασχηματισμό φωνής.

4. Bandwidth και ισχύς

	DSB-SC	SSB
Bandwidth	$2 W$	$W$ (μισό!)
Power efficiency	100%	100%
Φάσμα φάσμα συμμετρικό;	ναι (USB ίδιο με LSB)	όχι (μόνο USB ή LSB)
Σύνθεση δέκτη	coherent	coherent + ευαίσθητη στη φάση

Η ισχύς εξαρτάται από το συγκεκριμένο message. Για single-tone $m (t) = A_{m} cos (2 π f_{m} t)$ → $\overset{m}{^} (t) = A_{m} sin (2 π f_{m} t)$ , και:

x_{U S B} (t) = A_{m} cos (2 π f_{m} t) cos (2 π f_{c} t) - A_{m} sin (2 π f_{m} t) sin (2 π f_{c} t) = A_{m} cos (2 π (f_{c} + f_{m}) t)

Ένα και μοναδικό cosine στη συχνότητα $f_{c} + f_{m}$ . Ισχύς: $A_{m}^{2} /2$ . Σύγκριση με DSB-SC ( $A_{m}^{2} /4$ ): διπλάσια ισχύς ανά συχνότητα, αλλά την ίδια συνολική (αφού η DSB-SC είχε δύο sidebands $A_{m}^{2} /8$ κάθε μία).

5. Πραγματικές εφαρμογές

Shortwave radio (HF, 3–30 MHz): SSB είναι το επικρατές σχήμα. Σε αυτές τις συχνότητες το φάσμα είναι πολύτιμο (όλος ο πλανήτης μοιράζεται τα ίδια bands μέσω ionospheric propagation), και η μισή BW του SSB επιτρέπει διπλάσιο πλήθος καναλιών στο ίδιο φάσμα.
Ραδιοερασιτεχνικά (amateur radio) HF: SSB δομεί τις περισσότερες long-distance επικοινωνίες. Συνήθως USB πάνω από 10 MHz, LSB κάτω.
Στρατιωτικές HF επικοινωνίες: SSB για ίδιους λόγους — φάσμα efficiency.
Marine/aeronautical HF: SSB για επικοινωνίες πέρα από τον ορίζοντα.

Η SSB σπάνια εμφανίζεται σε εμπορικό broadcast (FM/AM ραδιόφωνο) γιατί η demodulation είναι πολύπλοκη — δεν μπορείς να φτιάξεις φθηνό SSB δέκτη με απλά κυκλώματα. Για broadcast επικρατούν Conventional AM (απλός envelope detector) και FM.

6. Worked example

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις πάνω στις δύο μεθόδους παραγωγής, στο Hilbert, και στις παγίδες της SSB.

Τι μάθαμε

SSB = DSB-SC με μία από τις δύο sidebands αφαιρεμένη. Δύο εκδοχές: USB (πάνω από $f_{c}$ ), LSB (κάτω από $f_{c}$ ).
Bandwidth = W — μισό του AM/DSB. Power efficiency = 100% (διατηρεί τα πλεονεκτήματα του DSB-SC).
I/Q form: $x_{I} = A_{c} m /2$ , $x_{Q} = - A_{c} \overset{m}{^} /2$ — η μόνη AM παραλλαγή με $x_{Q} \neq = 0$ . Γι' αυτό χρειάζεται Hilbert.
Δύο μέθοδοι παραγωγής: filter (DSB-SC + απότομος BPF) ή phase-shift (Hilbert: $m cos \mp \overset{m}{^} sin$ ).
Φόρμουλες προς απομνημόνευση:
- $x_{U S B} (t) = m (t) cos (2 π f_{c} t) - \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)$
- $x_{L S B} (t) = m (t) cos (2 π f_{c} t) + \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)$
- Single-tone: USB → $A_{m} cos (2 π (f_{c} + f_{m}) t)$ , LSB → $A_{m} cos (2 π (f_{c} - f_{m}) t)$ .
Coherent demodulation όπως στο DSB-SC. Phase error παράγει mix του $m$ και $\overset{m}{^}$ — όχι quadrature null αλλά παραμόρφωση.
Επόμενο: VSB, ένας συμβιβασμός μεταξύ AM (απλό demod) και SSB (μισό BW).

Επόμενο

VSB

Φόρτωση σχολίων…