Modulation · AM·~22 min read·🔴 Heavy exam — recurring problem

AM Multiplexing (FDM)

Χρειάζεσαι:Fourier transform Bandpass & I/Q canonical form Conventional AM DSB-SC SSB

Αυτή η ύλη εμφανίζεται σχεδόν αυτολεξεί σε 4+ από τα τελευταία θέματα — το πιο επαναλαμβανόμενο πρόβλημα στο corpus εξετάσεων. Αν μάθεις σωστά τι κάνει η FDM και γιατί, παίρνεις δωρεάν μεγάλο μέρος της εξεταστικής σου AM ενότητας.

FDM = Frequency Division Multiplexing. Πολλοί χρήστες μοιράζονται τον ίδιο αναλογικό δίαυλο (αέρας, καλώδιο), ο καθένας σε διαφορετική ζώνη συχνοτήτων. Στο AM ραδιόφωνο, π.χ., κάθε σταθμός έχει το δικό του $f_{c}$ (540, 550, 560 kHz, …) και ο δέκτης διαλέγει ποιον ν' ακούσει με ένα στενό bandpass filter.

1. Η ιδέα — διαφορετικοί carriers, διαφορετικές ζώνες

Έστω δύο messages $m (t)$ και $k (t)$ με bandwidth $W$ καθένα. Τα διαμορφώνουμε σε διαφορετικούς carriers:

g (t) = m (t) cos (2 π f_{1} t) + k (t) cos (2 π f_{2} t)

(εδώ DSB-SC για απλότητα — μπορεί να είναι και Conventional AM ή SSB).

Στο φάσμα:

G (f) = \frac{1}{2} [M (f - f_{1}) + M (f + f_{1})] + \frac{1}{2} [K (f - f_{2}) + K (f + f_{2})]

Δύο sets από sidebands, ένα γύρω από κάθε carrier.

Όρος καθαρής αποπολυπλεξίας: οι δύο sets sidebands δεν πρέπει να αλληλοκαλύπτονται. Διαφορετικά, στον δέκτη, όταν θέλεις το $m$ , θα πιάσεις και κομμάτια του $k$ — crosstalk.

2. Συνθήκη μη-επικάλυψης

Η συνθήκη εξαρτάται από τον τύπο της modulation:

Τύπος modulation	Bandwidth ανά κανάλι	Ελάχιστη απόσταση carriers
Conventional AM	$2 W$	$∣ f_{2} - f_{1} ∣ \geq 2 W$
DSB-SC	$2 W$	$∣ f_{2} - f_{1} ∣ \geq 2 W$
SSB (USB ή LSB)	$W$	$∣ f_{2} - f_{1} ∣ \geq W$
VSB	$\sim W + W_{vestige}$	$\sim W + W_{vestige}$

Η SSB είναι 2x πιο φασματικά αποδοτική — γι' αυτό χρησιμοποιείται σε εφαρμογές όπου το φάσμα είναι πολύτιμο (ραδιοερασιτεχνικά HF, στρατιωτικά).

FDM — τρία κανάλια στοιχειωμένα στο φάσμα

Τρία messages, καθένα με bandwidth W, διαμορφωμένα γύρω από διαφορετικούς carriers. Σύρε το spacing για να δεις πότε συγκρούονται. Toggle modulation type — η minimum απόσταση αλλάζει: 2W για DSB, W για SSB.

Carrier spacing Δf = 2.50 W · ελάχιστο για μη-σύγκρουση: 2.0 W · Καθαρός διαχωρισμός

Η εξεταστική ερώτηση: δίνεται message m(t) = sinc(2Wt) και «πιάστρα» k(t) σε δύο carriers f_1, f_2, ζητείται η συνθήκη μη-επικάλυψης. Αν είναι DSB-SC: |f_2 − f_1| ≥ 2W. Αν είναι SSB: |f_2 − f_1| ≥ W. Αν είναι Conventional AM: ίδιο με DSB-SC ως bandwidth (2W) αλλά με extra carrier impulse που δεν προσθέτει στο BW.

3. Worked example — η canonical εξεταστική άσκηση

Αυτό το πρόβλημα (ή πολύ κοντινή παραλλαγή) εμφανίζεται σχεδόν αυτολεξεί στις εξετάσεις:

4. Μερικά πραγματικά παραδείγματα

4a. AM ραδιόφωνο (medium wave)

Φασματική ζώνη: 540 kHz – 1700 kHz
Carrier spacing: 10 kHz (στις ΗΠΑ), 9 kHz (Ευρώπη)
Message bandwidth ανά σταθμό: ~5 kHz (περιορίζεται για mono ομιλία/μουσική)
Total channels: ~120

Επειδή AM = $2 W$ bandwidth, και $W = 5$ kHz, $2 W = 10$ kHz → carrier spacing οριακό. Στην πράξη υπάρχει minor crosstalk με γειτονικούς σταθμούς (το ξέρεις αν σου έτυχε ποτέ να ακούς δύο σταθμούς ταυτόχρονα).

4b. FM ραδιόφωνο (VHF)

Φασματική ζώνη: 88 MHz – 108 MHz
Carrier spacing: 200 kHz
FM bandwidth ανά σταθμό: ~150 kHz (Carson's rule, βλ. /fm/carson)

4c. Mobile cellular

4G LTE channel widths: 1.4, 3, 5, 10, 15, 20 MHz (ευέλικτο)
Carriers στις ζώνες 700 MHz – 2.6 GHz
Πολυπλεκτικά πολλοί χρήστες σε κάθε channel μέσω OFDMA (advanced FDM)

4d. Cable TV (αναλογικό, ιστορικό)

6 MHz spacing για NTSC, 8 MHz για PAL
VSB modulation για να χωρά video bandwidth στο spacing

5. Demultiplexing — πώς ο δέκτης διαλέγει ένα κανάλι

Ο δέκτης δεν ακούει ολόκληρο το multiplexed σήμα — διαλέγει ένα κανάλι:

Στενός bandpass filter γύρω από τον carrier του ζητούμενου καναλιού. Διώχνει όλα τα άλλα κανάλια.
Demodulator για το επιλεγμένο σήμα (envelope detector ή coherent, ανάλογα τη modulation).
Τελικό LPF για να καθαρίσει το recovered message.

Σε ένα superheterodyne receiver (το κλασικό AM/FM ραδιόφωνο):

Ο local oscillator μετατοπίζει την επιλεγμένη συχνότητα σε σταθερή «intermediate frequency» (IF — π.χ. 455 kHz για AM ή 10.7 MHz για FM).
Ο IF filter είναι σταθερός και πολύ στενός (πιο εύκολο να φτιαχτεί απότομο φίλτρο σε σταθερή συχνότητα).
Ο demodulator λειτουργεί στο IF.

Όλη η «επιλογή σταθμού» γίνεται μέσω αλλαγής του local oscillator — όχι μέσω αλλαγής του φίλτρου.

6. Σύνοψη formulas (στο τυπολόγιο)

Σχήμα	Bandwidth ανά κανάλι	Ελάχιστη carrier spacing για 2 κανάλια
Conventional AM	$2 W$	$Δ f \geq 2 W$
DSB-SC	$2 W$	$Δ f \geq 2 W$
SSB	$W$	$Δ f \geq W$
VSB	$\sim W + W_{vestige}$	$\sim W + W_{vestige}$

Για N κανάλια στοιβαγμένα:

Total spectrum used = $N \cdot BW_{per channel}$ + guard bands

Πρακτικά αφήνουμε guard bands (μικρά κενά) ανάμεσα σε κανάλια ώστε real (μη-ιδανικά) φίλτρα να μπορούν να ξεχωρίσουν τα κανάλια χωρίς απαιτήσεις απείρως απότομου cutoff.

Εξάσκηση

0 / 5 λυμένα

Πέντε ερωτήσεις πάνω στη συνθήκη μη-επικάλυψης και τη σχεδίαση φάσματος FDM — από τις πιο εξεταζόμενες ασκήσεις.

Τι μάθαμε

FDM = πολλά κανάλια στοιβαγμένα στο φάσμα γύρω από διαφορετικούς carriers, διαχωρίζονται με bandpass φιλτράρισμα στον δέκτη.
Συνθήκη μη-επικάλυψης: carrier spacing ≥ bandwidth ανά κανάλι.
- DSB/AM: $Δ f \geq 2 W$
- SSB: $Δ f \geq W$ (δίνει 2× πιο πολλά κανάλια στο ίδιο φάσμα)
Η canonical εξεταστική άσκηση (4+ εμφανίσεις στο corpus): δίνεται $m = sinc$ και $k = Π$ σε δύο carriers, ζητείται η συνθήκη μη-επικάλυψης + σχέδιο του $G (f)$ . Ξεκίνα σχεδιάζοντας τα baseband φάσματα, μετά εφάρμοσε το modulation theorem για κάθε signal, μετά απαίτησε την απαραίτητη minimum spacing.
Πρακτικές εφαρμογές: AM ραδιόφωνο (10 kHz spacing), FM ραδιόφωνο (200 kHz spacing), TV channels (6/8 MHz), cellular networks.
Demultiplexing: στενό BPF στον carrier του ζητούμενου καναλιού + demodulator. Σε πραγματικά receiver, γίνεται μέσω superheterodyne mixing σε σταθερή IF.

Αυτό κλείνει την AM ομάδα. Επόμενη στάση: FM, όπου η πληροφορία ζει στη φάση/συχνότητα αντί στο πλάτος. Η μαθηματική σύνδεση: η FM είναι η γραμμή « $V = A_{c}$ σταθερό, $θ (t) = ϕ (t)$ » του πίνακα στο /modulation/bridge §5b.

Επόμενο

Η ιδέα του FM + modulation index β

Φόρτωση σχολίων…