Foundations · Reference·~18 min read

Τριγωνομετρικές ταυτότητες — από το τυπολόγιο στην παραγωγή

Η αλγεβρική φύση όλης της διαμόρφωσης είναι πολλαπλασιασμός cosines. Όταν πολλαπλασιάζεις δύο cosines, παίρνεις άθροισμα δύο νέων cosines (product-to-sum). Όταν τετραγωνίζεις ένα cosine, παίρνεις DC + cosine στη διπλή συχνότητα (double-angle). Όταν αναλύεις σύνθετες γωνίες, αναπτύσσεις με τα sum/difference identities ή ξεκινάς από Euler. Όλα τα συμπεράσματα της θεωρίας — bandwidth, ισχύς, sidebands, demodulation — προκύπτουν από αυτές τις εννέα αλγεβρικές κινήσεις.

Μία αρχή που διατρέχει όλη τη σελίδα

Πολλαπλασιασμός στον χρόνο = συνέλιξη στη συχνότητα. Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι ο ευθύς τρόπος να υπολογίσεις αυτή τη συνέλιξη όταν τα δύο σήματα είναι cosines: αντί για συνέλιξη impulses, χρησιμοποιείς product-to-sum και διαβάζεις τις θέσεις των νέων impulses απευθείας ( $f_{c} \pm f_{m}$ , $\pm 2 f_{c}$ , κτλ). Αυτή η ισοδυναμία είναι ο λόγος που τα κεφάλαια AM/FM αναπτύσσονται κυρίως με αλγεβρικές ταυτότητες, όχι με ολοκληρώματα Fourier.

1. Γιατί χρειαζόμαστε αυτές τις εννέα ταυτότητες

Η διαμόρφωση είναι τρεις πράξεις σε ένα carrier:

Πολλαπλασιασμός του message με τον carrier (DSB-SC, conventional AM, mixers): m(t) · cos(2π f_c t).
Τετραγωνισμός σε στάδιο demodulation (coherent receiver, power calculation): cos²(2π f_c t).
Σύνθεση γωνιών μέσα στον carrier (FM, PM, phase-shift SSB): cos(2π f_c t + φ(t)).

Καμία από αυτές τις πράξεις δεν είναι Fourier-friendly από μόνη της. Για να βρεις τι κάνουν στο φάσμα, χρειάζεσαι ένα από αυτά τα τρία εργαλεία:

Πράξη	Εργαλείο	Ταυτότητα
Πολλαπλασιασμός δύο cosines	product-to-sum	$cos x cos y = \frac{1}{2} [cos (x - y) + cos (x + y)]$ — υπάρχουν και οι ανάλογες ταυτότητες για sin·sin και sin·cos (όλες αναλυτικά στη §4)
Τετραγωνισμός	double-angle	$cos^{2} x = \frac{1}{2} [1 + cos 2 x]$ , $sin^{2} x = \frac{1}{2} [1 - cos 2 x]$
Σύνθεση γωνιών	sum/difference	$cos (x \pm y) = cos x cos y \mp sin x sin y$ — και η αντίστοιχη για $sin (x \pm y)$ (αναλυτικά στη §2)
Όλα τα παραπάνω σε Fourier-διαθέσιμη μορφή	complex exponentials	$cos x = \frac{1}{2} (e^{j x} + e^{- j x})$ , $sin x = \frac{1}{2 j} (e^{j x} - e^{- j x})$

Όλες οι ταυτότητες είναι απλές αναδιατάξεις της σχέσης του Euler — αυτό το συζητάμε αναλυτικά παρακάτω και το αφήνουμε για backbone-cross-link στο /reference/complex-numbers#euler. Εδώ ασχολούμαστε με το πώς και πού τις χρησιμοποιούμε.

2. Sum/difference — `cos(x ± y)` και `sin(x ± y)`

cos (x \pm y) = cos x cos y \mp sin x sin y ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

sin (x \pm y) = sin x cos y \pm cos x sin y ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

Τι σημαίνει το $\pm$ / $\mp$ ; Είναι δύο σχέσεις γραμμένες σε μία: διαλέγεις είτε όλα τα πάνω σύμβολα μαζί, είτε όλα τα κάτω μαζί. Το $\mp$ είναι «το αντίθετο του $\pm$ »: αν πάρεις $+$ στο $\pm$ , παίρνεις $-$ στο $\mp$ . Γραμμένες αναλυτικά, χωρίς κανένα $\pm$ , είναι τέσσερις ξεχωριστές σχέσεις:

$cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y$

$sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y$

Ο κανόνας προσήμου: στο cosine το πρόσημο αντιστρέφεται (sum $\to -$ , difference $\to +$ )· στο sine το πρόσημο μένει ίδιο (sum $\to +$ , difference $\to -$ ).

Αν δεν το θυμάσαι, μην το μαντεύεις — έλεγξέ το βάζοντας $y = x$ . Τότε $cos (x - y) = cos 0 = 1$ , και η μόνη εκδοχή που δίνει $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ είναι αυτή με το $+$ — άρα το cosine-difference παίρνει $+$ (και το sum το αντίθετο, $-$ ). Ο ίδιος έλεγχος πιάνει και το sine: $sin (x - x) = 0$ ταιριάζει μόνο με το $-$ , άρα το sine-difference παίρνει $-$ (και το sum $+$ ). Το λάθος πρόσημο είναι ο πιο συχνός αλγεβρικός γκάφας του εξαμήνου — αυτός ο πεντάλεπτος έλεγχος σε σώζει κάθε φορά.

2a. Γρήγορη παραγωγή με Euler

Εκκινώντας από $e^{j (x + y)} = e^{j x} e^{j y}$ , αναλύουμε με τον τύπο του Euler:

cos (x + y) + j sin (x + y) = (cos x + j sin x) (cos y + j sin y)

Αναπτύσσοντας το γινόμενο:

= real (cos x cos y - sin x sin y) + j imag (sin x cos y + cos x sin y)

Εξισώνοντας real και imaginary parts:

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y, sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

Για την περίπτωση x − y, αντικατάστησε y → −y (cosine άρτιο, sine περιττό): παίρνεις τα ∓ και ± αντίστοιχα. Δύο γραμμές, και οι τέσσερις ταυτότητες ξεκλειδώνονται.

Σύνδεση — γιατί ο Euler είναι «η μάνα» των ταυτοτήτων

Παρατήρησε ότι όλη η παραπάνω παραγωγή χρησιμοποίησε μόνο μια ιδιότητα: ότι το γινόμενο εκθετικών είναι το εκθετικό του αθροίσματος των εκθετών. Όλη η τριγωνομετρία είναι «κρυμμένη» μέσα στους μιγαδικούς αριθμούς. Αυτός είναι ο λόγος που η αλγεβρική κίνηση στις τηλεπικοινωνίες σχεδόν πάντα πρώτα μετατρέπει cosines σε εκθετικά, κάνει αλγεβρική δουλειά εκεί, και επιστρέφει σε cosines στο τέλος. Πλήρης εισαγωγή στο /reference/complex-numbers.

2b. Πού τις χρησιμοποιείς — Coherent demodulation με phase error

Στην DSB-SC ο δέκτης πολλαπλασιάζει το λαμβανόμενο σήμα με έναν τοπικό oscillator που ιδανικά ταυτίζεται με τον carrier. Στην πράξη, ο τοπικός oscillator μπορεί να έχει σφάλμα φάσης $ϕ$ :

y (t) = x_{D S B} (t) \cdot 2 cos (2 π f_{c} t + ϕ) = 2 m (t) cos (2 π f_{c} t) cos (2 π f_{c} t + ϕ)

Το γινόμενο δύο cosines στις ίδιες συχνότητες — αλλά με phase shift. Το ξεμπλέκουμε με την product-to-sum (που θα δούμε αναλυτικά παρακάτω στο §4):

2 cos (a) cos (a + ϕ) = cos (- ϕ) + cos (2 a + ϕ) = cos (ϕ) + cos (2 a + ϕ)

Άρα:

y (t) = m (t) cos (ϕ) + m (t) cos (4 π f_{c} t + ϕ)

Το δεύτερο όρο τον σβήνει το LPF στον δέκτη. Μένει:

y_{L P F} (t) = m (t) cos (ϕ)

Το $cos (ϕ)$ είναι ο factor εξασθένησης του message από το phase error. Όταν $ϕ = 0$ : τέλεια recovery. Όταν $ϕ = π /2$ (quadrature): $cos (π /2) = 0$ → το message χάνεται εντελώς (quadrature null). Αυτή η ευαισθησία στη φάση είναι ο κύριος λόγος που η DSB-SC είναι πιο δύσκολη στην υλοποίηση από την Conventional AM.

3. Complex-exponential μορφή — `cos(x) = ½(e^{jx} + e^{-jx})`, `sin(x) = (e^{jx} − e^{-jx})/(2j)`

cos x = \frac{1}{2} (e^{j x} + e^{- j x}) ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

sin x = \frac{1}{2 j} (e^{j x} - e^{- j x}) ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

Αυτές οι δύο σχέσεις είναι η καρδιά όλης της θεωρίας Fourier και διαμόρφωσης. Κάθε φορά που χρειάζεσαι να βρεις το φάσμα ενός cosine ή ενός γινομένου που περιέχει cosines, μετατρέπεις σε εκθετικά. Δες πλήρη εισαγωγή στο /reference/complex-numbers#euler.

3a. Παραγωγή — απλή αλγεβρική κίνηση από Euler

Από τον τύπο του Euler:

e^{j x} = cos x + j sin x, e^{- j x} = cos x - j sin x

Πρόσθεσε τις δύο σχέσεις:

e^{j x} + e^{- j x} = 2 cos x ⟹ cos x = \frac{1}{2} (e^{j x} + e^{- j x})

Αφαίρεσέ τες:

e^{j x} - e^{- j x} = 2 j sin x ⟹ sin x = \frac{1}{2 j} (e^{j x} - e^{- j x})

Δύο γραμμές, δύο ταυτότητες. Αυτές οι σχέσεις λένε ότι κάθε cosine ή sine είναι το άθροισμα δύο rotating phasors — ένα που στρίβει αριστερόστροφα στη θετική συχνότητα και ένα που στρίβει δεξιόστροφα στην αρνητική. Γι' αυτό κάθε real cosine δίνει δύο impulses στο φάσμα: μία στη $+ f_{0}$ και μία στη $- f_{0}$ .

3b. Πού τις χρησιμοποιείς — Απόδειξη του modulation theorem

Στο modulation theorem γράφουμε:

F {m (t) cos (2 π f_{c} t)} = \frac{1}{2} M (f - f_{c}) + \frac{1}{2} M (f + f_{c})

Πώς το αποδεικνύεις σε τρεις γραμμές; Γράφε το cosine σε exponential μορφή:

m (t) cos (2 π f_{c} t) = \frac{1}{2} m (t) e^{j 2 π f_{c} t} + \frac{1}{2} m (t) e^{- j 2 π f_{c} t}

Παίρνε FT γραμμικά. Κάθε όρος είναι message πολλαπλασιασμένο με complex exponential — αυτό είναι ακριβώς η frequency-shift property: $m (t) e^{j 2 π f_{c} t} \leftrightarrow M (f - f_{c})$ :

F {m (t) cos (2 π f_{c} t)} = \frac{1}{2} M (f - f_{c}) + \frac{1}{2} M (f + f_{c})

Όλος ο modulation theorem είναι αυτή η αλγεβρική κίνηση — μετατροπή του cosine σε δύο εκθετικά, και εφαρμογή frequency-shift δύο φορές. Όλη η AM, DSB-SC, SSB, FM υπάρχουν επειδή ισχύει αυτή η σχέση.

3c. Πού τις χρησιμοποιείς — FT του ίδιου του cosine

Το πιο διάσημο pair του τυπολογίου:

cos (2 π f_{0} t) \leftrightarrow \frac{1}{2} [δ (f - f_{0}) + δ (f + f_{0})]

Πάλι, η παραγωγή είναι μία γραμμή αν χρησιμοποιήσεις την exponential μορφή. Γράψε:

cos (2 π f_{0} t) = \frac{1}{2} e^{j 2 π f_{0} t} + \frac{1}{2} e^{- j 2 π f_{0} t}

Από το pair $e^{j 2 π f_{0} t} \leftrightarrow δ (f - f_{0})$ (που έρχεται με τη σειρά του από το pair $δ (t) \leftrightarrow 1$ μέσω duality), παίρνεις απευθείας:

cos (2 π f_{0} t) \leftrightarrow \frac{1}{2} δ (f - f_{0}) + \frac{1}{2} δ (f + f_{0})

Δες την πλήρη οπτική παρουσίαση στο /reference/fourier-pairs#cos-impulses.

4. Product-to-sum — οι τρεις «μαγικές» ταυτότητες της AM

Όταν πολλαπλασιάζεις δύο cosines (ή sine·cos, ή sin·sin), το αποτέλεσμα είναι άθροισμα δύο cosines στις συχνότητες-άθροισμα και -διαφορά. Αυτή η αναγωγή είναι η αλγεβρική κίνηση που γεννά τις sidebands.

cos x cos y = \frac{1}{2} [cos (x - y) + cos (x + y)] ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

sin x sin y = \frac{1}{2} [cos (x - y) - cos (x + y)] ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

sin x cos y = \frac{1}{2} [sin (x - y) + sin (x + y)] ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

Πώς τις θυμάσαι: όλες είναι αναδιάταξη των sum/difference identities της §2. Πάρε το $cos (x + y)$ και το $cos (x - y)$ :

cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

Πρόσθεσέ τες: $cos (x - y) + cos (x + y) = 2 cos x cos y$ , που δίνει την πρώτη product-to-sum. Αφαίρεσέ τες: $cos (x - y) - cos (x + y) = 2 sin x sin y$ , που δίνει τη δεύτερη. Παρόμοια αλγεβρική κίνηση παράγει την τρίτη από τα sine sum/difference. Δεν είναι ξεχωριστές «μαγικές» ταυτότητες — είναι ξανά οι sum/difference, αντίστροφα.

4a. cos·cos — DSB-SC sidebands από single-tone

Αυτή είναι η κορυφαία χρήση τόσο στις εξετάσεις όσο και στη θεωρία. Στη DSB-SC με single-tone message $m (t) = A_{m} cos (2 π f_{m} t)$ έχεις:

x_{D S B} (t) = m (t) cos (2 π f_{c} t) = A_{m} cos (2 π f_{m} t) cos (2 π f_{c} t)

Product-to-sum με $x = 2 π f_{c} t$ , $y = 2 π f_{m} t$ (έχεις cos·cos, οπότε χρησιμοποιείς την πρώτη):

x_{D S B} (t) = \frac{A _{m}}{2} cos (2 π (f_{c} - f_{m}) t) + \frac{A _{m}}{2} cos (2 π (f_{c} + f_{m}) t)

Δύο cosines στις $f_{c} \pm f_{m}$ , καθένα με πλάτος $A_{m} /2$ . Αυτές είναι οι δύο sidebands. Το bandwidth είναι:

B_{D S B} = (f_{c} + f_{m}) - (f_{c} - f_{m}) = 2 f_{m}

Η σχέση «bandwidth = 2 × message frequency» για DSB-SC, που είδες στα κεφάλαια AM, πηγάζει απευθείας από την product-to-sum. Καμία Fourier-ολοκλήρωση δεν χρειάζεται.

4b. cos·cos — Conventional AM expansion

Στην Conventional AM με single-tone $m (t) = A_{m} cos (2 π f_{m} t)$ :

x_{A M} (t) = [A_{c} + A_{m} cos (2 π f_{m} t)] cos (2 π f_{c} t)

Αναπτύσσοντας:

= A_{c} cos (2 π f_{c} t) + A_{m} cos (2 π f_{m} t) cos (2 π f_{c} t)

Ο πρώτος όρος είναι ο carrier (impulse στο $\pm f_{c}$ ). Ο δεύτερος όρος είναι ακριβώς η DSB-SC του §4a. Με product-to-sum:

x_{A M} (t) = A_{c} cos (2 π f_{c} t) + \frac{A _{m}}{2} cos (2 π (f_{c} - f_{m}) t) + \frac{A _{m}}{2} cos (2 π (f_{c} + f_{m}) t)

Τρία cosines: carrier στη $f_{c}$ , LSB στη $f_{c} - f_{m}$ , USB στη $f_{c} + f_{m}$ . Όλα τα συμπεράσματα για την AM ισχύ (η ½ του $A_{c}^{2}$ για τον carrier, $μ^{2} A_{c}^{2} /8$ ανά sideband) προκύπτουν διαβάζοντας τα πλάτη αυτής της σχέσης και εφαρμόζοντας τον τύπο $P = A^{2} /2$ για κάθε cosine.

4c. sin·sin — NBFM expansion (cos(a−b) − cos(a+b))

Στην NBFM με μικρό modulation index $β ≪ 1$ , η FM προσεγγίζεται γραμμικά:

x_{N B F M} (t) \approx A_{c} cos (2 π f_{c} t) - A_{c} β sin (2 π f_{m} t) sin (2 π f_{c} t)

Ο δεύτερος όρος έχει γινόμενο δύο sines — προσοχή, sin·sin, όχι cos·cos. Από την product-to-sum $sin x sin y = \frac{1}{2} [cos (x - y) - cos (x + y)]$ :

sin (2 π f_{c} t) sin (2 π f_{m} t) = \frac{1}{2} [cos (2 π (f_{c} - f_{m}) t) - cos (2 π (f_{c} + f_{m}) t)]

Πρόσεξε το κρίσιμο πρόσημο − μεταξύ των δύο cosines (από τη sin·sin, διαφορετικά από τη cos·cos). Αντικαθιστώντας:

x_{N B F M} (t) \approx A_{c} cos (2 π f_{c} t) + \frac{A _{c} β}{2} cos (2 π (f_{c} + f_{m}) t) - \frac{A _{c} β}{2} cos (2 π (f_{c} - f_{m}) t)

Σύγκρινε με το AM single-tone της §4b: ίδια τρία cosines στις ίδιες θέσεις, αλλά η μία sideband έχει πρόσημο −. Αυτό το αρνητικό πρόσημο είναι η μόνη αλγεβρική διαφορά μεταξύ NBFM και AM μικρού $μ$ . Δίνει την περιστροφή του phasor στο I/Q canonical form και την constant-envelope ιδιότητα της FM.

4d. sin·cos — SSB από Hilbert pair

Στην SSB με Hilbert μέθοδο γράφεις:

x_{U S B} (t) = m (t) cos (2 π f_{c} t) - \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)

όπου $\overset{m}{^} (t)$ είναι ο Hilbert transform του message (phase shift κατά $- π /2$ σε όλες τις θετικές συχνότητες).

Για να δεις γιατί αυτή η συνδυασμός δίνει μόνο την USB, πάρε single-tone $m (t) = cos (2 π f_{m} t)$ , οπότε $\overset{m}{^} (t) = sin (2 π f_{m} t)$ (cos → sin μέσω Hilbert):

x_{U S B} (t) = cos (2 π f_{m} t) cos (2 π f_{c} t) - sin (2 π f_{m} t) sin (2 π f_{c} t)

Αυτή είναι ακριβώς η σχέση $cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y$ από τη §2, με $x = 2 π f_{c} t$ , $y = 2 π f_{m} t$ :

x_{U S B} (t) = cos (2 π (f_{c} + f_{m}) t)

Μόνο ένα cosine στη συχνότητα $f_{c} + f_{m}$ — δηλαδή μόνο η upper sideband. Καμία LSB. Αυτό είναι το αλγεβρικό «θαύμα» της SSB: ο σωστός συνδυασμός με Hilbert pair κάνει τη μία sideband να αλληλοαναιρεθεί.

Αν αντί για − βάλεις +:

x_{L S B} (t) = m (t) cos (2 π f_{c} t) + \overset{m}{^} (t) sin (2 π f_{c} t)

Με την ταυτότητα $cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y$ :

x_{L S B} (t) = cos (2 π (f_{c} - f_{m}) t)

Μόνο η lower sideband. Το πρόσημο ± στον Hilbert όρο επιλέγει USB ή LSB.

4e. cos·cos — Random-process autocorrelation

Στους random processes με τυχαία φάση, αν $X (t) = A cos (2 π f_{0} t + Θ)$ με $Θ \sim U [0, 2 π)$ , η autocorrelation είναι:

R_{X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X (t_{2})} = A^{2} E {cos (2 π f_{0} t_{1} + Θ) cos (2 π f_{0} t_{2} + Θ)}

Product-to-sum με $x = 2 π f_{0} t_{1} + Θ$ , $y = 2 π f_{0} t_{2} + Θ$ :

cos x cos y = \frac{1}{2} [cos (2 π f_{0} (t_{1} - t_{2})) + cos (2 π f_{0} (t_{1} + t_{2}) + 2Θ)]

Παίρνοντας expectation: ο πρώτος όρος δεν εξαρτάται από το $Θ$ — μένει ως έχει. Ο δεύτερος όρος είναι cosine με τυχαία φάση $2Θ$ — ο μέσος όρος cosine πάνω σε uniform φάση = 0. Μένει:

R_{X} (τ) = \frac{A ^{2}}{2} cos (2 π f_{0} τ) (τ = t_{1} - t_{2})

Εξαρτάται μόνο από $τ = t_{1} - t_{2}$ — το process είναι WSS. Όλη η ανάλυση WSS του random-phase cosine υλοποιείται με αυτή τη μία εφαρμογή της cos·cos product-to-sum.

5. Double-angle — `cos²` και `sin²`

cos^{2} x = \frac{1}{2} [1 + cos (2 x)] ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

sin^{2} x = \frac{1}{2} [1 - cos (2 x)] ✓ Στο τυπολ \overset{ο}{ˊ} γιο

Πώς τις θυμάσαι σε δύο γραμμές: είναι η product-to-sum με $y = x$ . Πάρε $cos x cos y$ με $y = x$ :

cos x cos x = \frac{1}{2} [cos (x - x) + cos (x + x)] = \frac{1}{2} [cos 0 + cos 2 x] = \frac{1}{2} [1 + cos 2 x]

Όμοια για το sin·sin. Δεν είναι ξεχωριστές ταυτότητες — είναι ξανά οι product-to-sum με $y = x$ . Αυτή η παρατήρηση σου εξοικονομεί memory load στις εξετάσεις.

Επίσης παρατήρησε: $cos^{2} x + sin^{2} x = \frac{1}{2} [1 + cos 2 x] + \frac{1}{2} [1 - cos 2 x] = 1$ — η Πυθαγόρεια ταυτότητα επιβεβαιώνεται απευθείας.

5a. cos² — Coherent demodulation που «εκσπρέι» τον carrier

Η κορυφαία χρήση της cos² είναι στη DSB-SC coherent demodulation. Ο δέκτης πολλαπλασιάζει το λαμβανόμενο σήμα με $2 cos (2 π f_{c} t)$ :

y (t) = x_{D S B} (t) \cdot 2 cos (2 π f_{c} t) = 2 m (t) cos^{2} (2 π f_{c} t)

Εφαρμόζοντας $cos^{2} θ = \frac{1}{2} (1 + cos 2 θ)$ με $θ = 2 π f_{c} t$ :

y (t) = 2 m (t) \cdot \frac{1}{2} [1 + cos (4 π f_{c} t)] = m (t) + m (t) cos (4 π f_{c} t)

Δύο όροι: το ζητούμενο message στο baseband, και ένα αντίγραφο μετατοπισμένο στις $\pm 2 f_{c}$ (μακριά, ώστε να το σβήσει ένα LPF). Μετά το LPF μένει $m (t)$ — τέλεια recovery του message.

5b. sin² — Μέση ισχύς cosines

Η μέση ισχύς ενός cosine υπολογίζεται απευθείας από το $sin^{2}$ :

P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} [A cos (2 π f t)]^{2} d t = A^{2} \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} cos^{2} (2 π f t) d t

Από $cos^{2} θ = \frac{1}{2} (1 + cos 2 θ)$ :

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} cos^{2} (2 π f t) d t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} cos (4 π f t) d t

Το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι 0 (μέσος του cosine πάνω σε ακέραιες περιόδους):

P = \frac{A ^{2}}{2}

Αυτή είναι η πιο εξεταζόμενη σχέση ισχύος όλου του εξαμήνου: «μέση ισχύς cosine = πλάτος² / 2». Όλες οι σχέσεις $P_{c} = A_{c}^{2} /2$ , $P_{s b} = (μ A_{c})^{2} /8$ (DSB sidebands), $P_{F M} = A_{c}^{2} /2$ (FM constant envelope) πηγάζουν από αυτή τη μία διπλή ταυτότητα.

5c. cos² + sin² = 1 — Constant envelope της FM/PM

Στις FM και PM, το I/Q canonical form δίνει:

x_{F M} (t) = A_{c} cos ϕ (t) cos (2 π f_{c} t) - A_{c} sin ϕ (t) sin (2 π f_{c} t)

όπου $ϕ (t) = 2 π k_{f} \int m (τ) d τ$ . Το envelope του σήματος (το πλάτος στο μιγαδικό I/Q επίπεδο) είναι:

V (t) = x_{I}^{2} (t) + x_{Q}^{2} (t) = A_{c} cos^{2} ϕ (t) + sin^{2} ϕ (t) = A_{c}

Σταθερό — ανεξάρτητο του message. Αυτή είναι η constant envelope ιδιότητα της FM, που:

Επιτρέπει στον δέκτη να χρησιμοποιήσει limiter για να σβήσει amplitude noise.
Καθιστά τη μέση ισχύ του FM ανεξάρτητη από το $β$ : $P_{F M} = A_{c}^{2} /2$ .
Διαφοροποιεί τη FM από την AM (που έχει envelope εξαρτημένο από message).

Όλη η πιο σημαντική ιδιότητα της FM στηρίζεται σε αυτή τη μία γραμμή Πυθαγόρειας — που με τη σειρά της προκύπτει από τις δύο double-angle.

6. Ορθογωνιότητα ημιτονοειδών — γιατί προστίθενται οι ισχύς

Πολλά σήματα είναι αθροίσματα από τόνους — με «τόνο» εννοούμε ένα απλό συνημίτονο/ημίτονο μιας συχνότητας (π.χ. δύο σταθμοί που εκπέμπουν ταυτόχρονα, ή ένα σήμα FDM). Ας πάρουμε το απλούστερο τέτοιο σήμα, δύο τόνους:

x (t) = A cos (2 π f_{1} t) + B cos (2 π f_{2} t) .

Θέλουμε την ισχύ του. Από την ενότητα Ενέργεια / Ισχύς, η ισχύς είναι ο χρονικός μέσος όρος του $x (t)^{2}$ — οπότε το πρώτο βήμα είναι να υψώσουμε το $x (t)$ στο τετράγωνο.

Τι βγαίνει όταν υψώνεις ένα άθροισμα στο τετράγωνο; Θυμήσου την $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ . Με $a = A cos (2 π f_{1} t)$ και $b = B cos (2 π f_{2} t)$ :

x (t)^{2} = A^{2} cos^{2} (2 π f_{1} t) + B^{2} cos^{2} (2 π f_{2} t) + 2 A B cos (2 π f_{1} t) cos (2 π f_{2} t) .

Έχουμε δύο είδη όρων:

Οι δύο πρώτοι (τα $cos^{2}$ ) είναι ο κάθε τόνος επί τον εαυτό του — οι τετράγωνοι όροι.
Ο τρίτος, $2 A B cos (2 π f_{1} t) cos (2 π f_{2} t)$ , είναι το γινόμενο των δύο διαφορετικών τόνων — ο σταυρωτός όρος (cross term). Υπάρχει ακριβώς επειδή το $(a + b)^{2}$ έχει το $2 ab$ .

Η ισχύς είναι ο μέσος όρος όλου αυτού — δηλαδή ο μέσος όρος κάθε όρου ξεχωριστά:

Τετράγωνοι όροι: τους ξέρουμε ήδη. Ο μέσος όρος του $cos^{2}$ σε μια περίοδο είναι $\frac{1}{2}$ (§5b), άρα δίνουν $\frac{A ^{2}}{2}$ και $\frac{B ^{2}}{2}$ .
Σταυρωτός όρος: εδώ είναι το ερώτημα. Πόσο κάνει, κατά μέσο όρο, το γινόμενο δύο διαφορετικών ημιτονοειδών;

Το κλειδί που τα ξεκλειδώνει όλα: ο χρονικός μέσος όρος ενός ημιτονοειδούς είναι 0 — όση ώρα είναι πάνω από το μηδέν, τόση είναι και κάτω, και αλληλοαναιρούνται. Μοναδική εξαίρεση: αν η συχνότητα είναι μηδέν, τότε δεν είναι κύμα αλλά σταθερά — και η σταθερά δεν αναιρείται.

Πώς βοηθάει αυτό έναν όρο που είναι γινόμενο, όχι απλό κύμα; Με την product-to-sum (§4): το γινόμενο δύο συνημιτόνων ξαναγράφεται σαν άθροισμα δύο καινούριων κυμάτων, στις συχνότητες $f_{1} - f_{2}$ και $f_{1} + f_{2}$ :

cos (2 π f_{1} t) cos (2 π f_{2} t) = \frac{1}{2} cos (2 π (f_{1} - f_{2}) t) + \frac{1}{2} cos (2 π (f_{1} + f_{2}) t) .

Έτσι ο μέσος όρος του σταυρωτού όρου είναι απλώς ο μέσος όρος αυτών των δύο κυμάτων:

Διαφορετικές συχνότητες ( $f_{1} \neq = f_{2}$ ): και το $f_{1} - f_{2}$ και το $f_{1} + f_{2}$ είναι μη μηδενικά → και τα δύο είναι κανονικά κύματα με μέσο όρο $0$ → ο σταυρωτός όρος σβήνει.
Ίδια συχνότητα ( $f_{1} = f_{2}$ ): τότε $f_{1} - f_{2} = 0$ , και το πρώτο κύμα γίνεται $\frac{1}{2} cos (0) = \frac{1}{2}$ — σταθερά — που επιβιώνει στον μέσο όρο.

Γράφοντας $⟨ g ⟩$ για τον χρονικό μέσο όρο ενός $g (t)$ (επίσημα $⟨ g ⟩ = lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} g d t$ ), το ίδιο μοτίβο ισχύει για κάθε ζευγάρι:

γινόμενο	$f_{1} \neq = f_{2}$	$f_{1} = f_{2}$
$⟨ cos \cdot cos ⟩$	$0$	$\frac{1}{2}$
$⟨ sin \cdot sin ⟩$	$0$	$\frac{1}{2}$
$⟨ cos \cdot sin ⟩$	$0$	$0$

Το $cos \cdot sin$ είναι η ειδική περίπτωση: σβήνει ακόμα κι όταν $f_{1} = f_{2}$ , γιατί εκεί το επιζών κομμάτι γίνεται $sin (0) = 0$ (μηδέν, όχι σταθερά). Με λόγια: cosine και sine απέχουν 90° — είναι «κάθετα» (ορθογώνια) ανεξάρτητα από συχνότητα.

Γιατί «η ισχύς απλώς προστίθεται»

Πίσω στο σήμα μας: αφού $f_{1} \neq = f_{2}$ , ο σταυρωτός όρος σβήνει και μένουν μόνο οι τετράγωνοι:

P = \frac{A ^{2}}{2} + \frac{B ^{2}}{2} .

Το ίδιο για οποιοδήποτε άθροισμα τόνων διαφορετικών συχνοτήτων: όλοι οι σταυρωτοί όροι σβήνουν και η συνολική ισχύς είναι το άθροισμα των επιμέρους, $P = \sum_{k} \frac{A _{k}^{2}}{2}$ . Αυτό εννοούμε λέγοντας «διαφορετικές συχνότητες είναι ορθογώνιες» — και γι' αυτό στα FDM και στους πολυτονικούς υπολογισμούς ισχύος απλώς προσθέτεις τις ισχύς. Δεν είναι ξεχωριστός κανόνας· είναι αυτό ακριβώς που μόλις δείξαμε.

7. Quick reference card — όλες οι εννέα μαζί

Ταυτότητα	Τύπος	Κύρια χρήση
`cos(x±y)`	$cos x cos y \mp sin x sin y$	sum/difference στις γωνιακές αποδείξεις, coherent demod με phase error
`sin(x±y)`	$sin x cos y \pm cos x sin y$	SSB derivations, time-shift sine analysis
`cos(x)`	$\frac{1}{2} (e^{j x} + e^{- j x})$	FT, modulation theorem, frequency analysis
`sin(x)`	$\frac{1}{2 j} (e^{j x} - e^{- j x})$	FT του sine, Hilbert relation
`cos·cos`	$\frac{1}{2} [cos (x - y) + cos (x + y)]$	DSB-SC sidebands, AM expansion, autocorrelation
`sin·sin`	$\frac{1}{2} [cos (x - y) - cos (x + y)]$	NBFM expansion (πρόσεξε το −)
`sin·cos`	$\frac{1}{2} [sin (x - y) + sin (x + y)]$	SSB sideband cancellation
`cos²`	$\frac{1}{2} [1 + cos 2 x]$	Coherent demod recovery, μέση ισχύς cosine
`sin²`	$\frac{1}{2} [1 - cos 2 x]$	Μέση ισχύς sine, $cos^{2} + sin^{2} = 1$ → FM constant envelope

Όλες έχουν deep-link στις αντίστοιχες entries του τυπολογίου: trig-cos-sum-diff · trig-sin-sum-diff · trig-cos-complex-exp · trig-sin-complex-exp · trig-prod-cos-cos · trig-prod-sin-sin · trig-prod-sin-cos · trig-double-cos · trig-double-sin.

Εξάσκηση

0 / 6 λυμένα

Έξι ασκήσεις που εξετάζουν αυτές τις ταυτότητες στο πλαίσιο των διαμορφώσεων — όχι ως αποσπασμένη τριγωνομετρία. Λύσε τες πριν προχωρήσεις στα κεφάλαια AM/FM.

Σχετικές σελίδες

Μιγαδικοί αριθμοί και Euler — η αλγεβρική βάση όλων των ταυτοτήτων αυτής της σελίδας: /reference/complex-numbers.
Πλήρες τυπολόγιο με όλες τις 9 ταυτότητες και deep-links σε derivations και παλιά θέματα που τις χρησιμοποιούν: /formulas.
Συνιστώμενη πινακίδα εξέτασης — όπου αυτές οι ταυτότητες εμφανίζονται στη Σελίδα 2 (τυπολογικό mirror): /cheatsheet.
AM applications — όπου η cos·cos δίνει sidebands: /am/conventional, /am/dsb-sc, /am/ssb.
FM applications — όπου η sin·sin δίνει NBFM sidebands και η Πυθαγόρεια δίνει constant envelope: /fm/pm, /fm/idea, /fm/bessel (όπου το Jacobi-Anger expansion γενικεύει σε υψηλά $β$ ).
Random-process applications — όπου η cos·cos δίνει autocorrelation: /randomness/random-processes, /randomness/stationarity.
Fourier pairs — όπου η complex-exp μορφή των cos/sin δίνει το impulse-pair φάσμα: /reference/fourier-pairs#cos-impulses, /reference/fourier-pairs#sin-impulses.

Τελείωσες αυτή τη σελίδα;

Φόρτωση σχολίων…